基在“探究與發(fā)現(xiàn)”教學(xué)中教師該做些什么

馮斌

摘 要：“探究與發(fā)現(xiàn)”課的教學(xué)目標(biāo)定位是什么？從教師“教”的角度思考”該“教什么”？“怎么教”？本文作者在這些方面做了些探索與實(shí)踐，也得到了同行與專家們的認(rèn)同. 本文以人教版選修2-3第一章中的拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)：‘楊輝三角中的一些秘密”一課為例，從教師“教”的角度與同行們交流一下這節(jié)知識(shí)拓展類選修課磨課過程中的所思所為.

關(guān)鍵詞：探究與發(fā)現(xiàn)；教什么；怎么教

背景：兩年一次的浙江省課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)在溫州中學(xué)舉行，本次評(píng)比活動(dòng)的主題為：深化課改背景下的“高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式變革”——知識(shí)拓展類選修課程教學(xué)研究，寧波的指定課題為人教版選修2-3第一章中的拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)：‘楊輝三角中的一些秘密”，并取得了第一名的佳績(jī)，筆者有幸在“浙江省疑難問題解決培訓(xùn)”活動(dòng)中做了點(diǎn)評(píng). 本節(jié)課還代表浙江省參加了“第六屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課觀摩與評(píng)比”活動(dòng)，并榮獲了大會(huì)最優(yōu)秀獎(jiǎng). 成績(jī)的背后離不開參賽選手寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)陳碧文老師自身的努力，更凝聚了專家團(tuán)隊(duì)的集體智慧. 知識(shí)拓展類選修課程作為省級(jí)比賽課內(nèi)容在我省屬于第一次，而且也沒有可以借鑒的資料，本文旨在從教師“教”的角度與同行們交流一下這節(jié)知識(shí)拓展類選修課磨課過程中我們的所思所為.

我們的思考

數(shù)學(xué)知識(shí)拓展類選修課程旨在改變學(xué)生以單純地接受教師傳授知識(shí)為主的學(xué)習(xí)方式，是以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，通過自主探索、合作交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng). 從教師“教”的角度來講，我們思考的問題是教師該“教什么”與“怎么教”.

1. “教什么”的思考

課堂教學(xué)首先要考慮的是“教什么”的問題，即教學(xué)目標(biāo)定位的科學(xué)性與合理性. 人教社章建躍老師的三個(gè)理解，即“理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)”是解決“教什么”的制勝法寶. 通過對(duì)教材、學(xué)生、教學(xué)三方面的分析確定如下教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn).

【教學(xué)目標(biāo)】

從不同的角度，研究楊輝三角中所蘊(yùn)含的規(guī)律，并用組合數(shù)表示；通過楊輝三角的研究，總結(jié)歸納出楊輝三角的研究方法，并拓展為對(duì)一般數(shù)陣的研究方法. 通過自主探究與合作交流，養(yǎng)成觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】

通過不同的角度研究得到楊輝三角的性質(zhì)，并最終總結(jié)出一般數(shù)陣的研究方法.

【教學(xué)難點(diǎn)】

將楊輝三角的規(guī)律用組合數(shù)表示.

2. “怎么教”的思考

作為非高考內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)拓展類選修課，又是選自“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，課堂教學(xué)的模式是探究式教學(xué)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程. 這個(gè)過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜想、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解析或證明.” 探究學(xué)習(xí)充分體現(xiàn)了“以生為本”、“學(xué)為中心”的教學(xué)理念，讓學(xué)生不但學(xué)會(huì)，更重要的是會(huì)學(xué)、樂學(xué). 那么，在學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角 ”中的一些秘密過程中教師該做些什么呢，筆者認(rèn)為可圍繞以下關(guān)鍵詞：引導(dǎo)、組織、幫助、提升.

引導(dǎo)：即導(dǎo)趣、導(dǎo)向、導(dǎo)法. 探究課題的引入力求激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究的興趣，進(jìn)而教學(xué)生如何觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，明確探究的任務(wù)，課題的探究過程中引導(dǎo)探究方向，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（包括實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn)與思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）.

組織：搭建探究平臺(tái)，組織探究形式、明確探究任務(wù)，控制探究時(shí)間，提供展示平臺(tái)，并對(duì)巡視中發(fā)現(xiàn)的問題及時(shí)調(diào)整.

幫助：幫助學(xué)生明確探究的方向、策略，幫助學(xué)生糾正探究中的錯(cuò)誤、解析疑點(diǎn)、評(píng)析難點(diǎn).

提升：不同思路方法的提煉，讓學(xué)生感悟研究問題的思想方法、解決問題的策略，方法的優(yōu)化等.

課例的打磨點(diǎn)滴

本節(jié)課從試教到正式比賽歷時(shí)6個(gè)月，經(jīng)過幾番打磨，形成如下共識(shí).

1. 引入探究課題

課題引入圍繞“聚神、激趣、點(diǎn)題、啟思”八字方針. 本節(jié)課通過簡(jiǎn)要講解有關(guān)河圖、洛書的歷史知識(shí)引出數(shù)陣的概念，通過數(shù)陣的概念引出楊輝三角，提出本節(jié)課的研究課題“探究與發(fā)現(xiàn)‘楊輝三角中的一些秘密”. 通過這個(gè)引入環(huán)節(jié)，旨在體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不僅引出研究課題，而且為后續(xù)探究其他數(shù)陣做好鋪墊.

2. 搭建探究平臺(tái)

（1）構(gòu)建知識(shí)平臺(tái)

讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的楊輝三角的性質(zhì)，構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供知識(shí)平臺(tái).

教學(xué)片斷一：知識(shí)回顧環(huán)節(jié)

教師：楊輝三角在我們學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)時(shí)已經(jīng)有所接觸. 那么，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過楊輝三角的哪些性質(zhì)呢？我請(qǐng)一位同學(xué)來回答一下.

學(xué)生1：楊輝三角中每一個(gè)數(shù)都是二項(xiàng)式系數(shù).

教師：賈憲在他的《開方作法本源圖》中寫道：“左衺乃積數(shù)，右衺乃隅算，中藏者皆廉”. 用今天的話來講，就是說楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都是二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式系數(shù)都可以寫成組合數(shù). 從而我們就可以把楊輝三角寫成以下的形式（課前已板書），其中第n行第r個(gè)數(shù)可以寫成an，r=C，這對(duì)我們今天的研究非常重要.

教師：還有嗎？

學(xué)生2：楊輝三角中每一個(gè)數(shù)都是兩肩上數(shù)之和.

教師：非常好！楊輝三角中每一個(gè)數(shù)都是兩肩上數(shù)之和，用組合數(shù)表示就是：

C+C=C，這個(gè)結(jié)論最早是由南宋時(shí)期的楊輝所發(fā)現(xiàn)的，所以稱之為楊輝恒等式.

還有其他性質(zhì)嗎？

學(xué)生3：楊輝三角每一行數(shù)字之和是2的n次.

教師：很好，楊輝三角每一行之和為2n，用組合數(shù)來表示就是：

C+C+C+…+C+…+C+C=2n.

學(xué)生4：楊輝三角是左右對(duì)稱的：C=C.

教師：以上幾個(gè)性質(zhì)，是我們已經(jīng)知道的. 接下來我們就要研究一下楊輝三角的其他性質(zhì)了.

（2）提供導(dǎo)學(xué)案

為便于探究活動(dòng)，教師給學(xué)生提供了導(dǎo)學(xué)案，內(nèi)容包括：

①閱讀材料：楊輝三角的歷史

②搭建探究活動(dòng)的支架：回顧楊輝三角；初探楊輝三角（提供了兩個(gè)楊輝三角：用數(shù)字表示的楊輝三角，用組合數(shù)表示的楊輝三角）；再探楊輝三角（提示：將楊輝三角擺放成直角三角形，談?wù)勀銈兘M的發(fā)現(xiàn)）；三探楊輝三角（提示：將楊輝三角中的奇數(shù)涂黑，又會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)）；小結(jié)與收獲（通過本節(jié)課，你對(duì)數(shù)陣的研究有什么心得）；課后探索（查找資料，并閱讀華羅庚的《從楊輝三角說起》，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現(xiàn)的秘密；用我們今天所學(xué)的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個(gè)數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)哪些秘密呢）.

（3）提供技術(shù)支持

為便于學(xué)生展示探究成果，教師在課堂上借用了多媒體“交互式電子白板”.

3. 指明探究方向

“楊輝三角”中有很多秘密，有許多數(shù)學(xué)家都研究過，華羅庚先生在1964年2月就出版過《從楊輝三角談起》一書，教材內(nèi)容只是“楊輝三角”秘密中的冰山一角. 一節(jié)課中對(duì)內(nèi)容的廣度與深度把握非常關(guān)鍵，本節(jié)課對(duì)內(nèi)容的取舍原則是在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用“最近發(fā)展區(qū)”理論對(duì)內(nèi)容進(jìn)行取舍：引導(dǎo)學(xué)生從二項(xiàng)式系數(shù)出發(fā)，聯(lián)想已學(xué)的組合數(shù)公式“C=C、C+C=C”，類比數(shù)列的有關(guān)問題如“通項(xiàng)、遞推、求和”，及從函數(shù)的角度去探究“楊輝三角”中的秘密.

4. 組織探究活動(dòng)

“自主、合作、交流”是新課程標(biāo)準(zhǔn)下倡導(dǎo)的一個(gè)學(xué)生重要的學(xué)習(xí)方式，已被一線教師們接受和采納，但要避免假探究. 本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的學(xué)情采用的是教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究與合作交流相結(jié)合的探究方式，4人一小組，探究活動(dòng)的流程：獨(dú)立思考—小組合作—展示成果—師生互動(dòng)—總結(jié)提升，其中“獨(dú)立思考”與“小組合作”時(shí)間大概15分鐘左右.

5. 引導(dǎo)探究策略

教師的引導(dǎo)主要讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)陣的方法：取數(shù)的方法、研究的內(nèi)容、研究的方法.

（1）取數(shù)的方法（“形”的角度）：①借鑒蘇軾的《題西林壁》，從“橫看”、“側(cè)看”（45°，30°）、“整體” 、“局部”等四個(gè)角度取數(shù). ②改變楊輝三角的擺放形狀，如變“等腰三角形”為“直角三角形”等.

（2）研究的內(nèi)容（“數(shù)”的角度）：①類比數(shù)列的有關(guān)問題，如“通項(xiàng)、遞推、求和”. ②聯(lián)想特殊的數(shù)列，如高階等差數(shù)列、斐波那契數(shù)列等. ③聯(lián)系函數(shù)的性質(zhì)，如，“對(duì)稱性”、“奇偶性”、“增減性”、“最值”等.

（3）研究的方法：為降低探究難度，提高學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)學(xué)情教師提出要求：“用數(shù)字表示的楊輝三角尋找規(guī)律，用組合數(shù)表示的楊輝三角總結(jié)和論證規(guī)律”，學(xué)生采取：“觀察—?dú)w納—猜想—驗(yàn)證—證明”的探究問題步驟，合情推理與演繹推理相結(jié)合. 同時(shí)教師還滲透實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，提醒學(xué)生猜想不一定正確，如學(xué)生猜想的結(jié)論“第n項(xiàng)看做一個(gè)數(shù)，猜想這個(gè)數(shù)是11n-1”是錯(cuò)誤的.

6. 展示探究成果

由于課堂時(shí)間的限制，教師通過巡視，有選擇地挑選幾個(gè)組上臺(tái)展示探究成果，并追問探究的思路.

教學(xué)片斷二：小組成果展示環(huán)節(jié)

（第一組）學(xué)生1：將梯形中5個(gè)數(shù)相加就是下面隔行的數(shù)（如圖1）.

C+C+C+C+C=C.

思路：因?yàn)闂钶x三角的每一個(gè)數(shù)都是肩上兩數(shù)之和，我們就在想，是不是可以進(jìn)一步向上推導(dǎo)？

教師：從已知的結(jié)論中挖掘出新的內(nèi)容，非常好！

（第二組）學(xué)生2：我們組發(fā)現(xiàn)每一斜行前n個(gè)數(shù)加起來都是下面一行的第n個(gè)數(shù)

C+C+C+C+…+C=C.

推導(dǎo)到一般情形：C+C+C+…+C=C（n>r）.

思路：我們是從求和的角度來研究的，既然橫的一行相加存在規(guī)律，那么斜的一行相加看是不是也可以得到一些結(jié)論？

教師：采用類比方法進(jìn)行研究，類比是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法之一.

（第三組）學(xué)生3：楊輝三角中每一行數(shù)的平方和都是楊輝三角中的數(shù)

（C）2+（C）2+…+（C）2=C.

思路：既然楊輝三角每一行的和存在規(guī)律，那么每一行的平方和是不是也有規(guī)律呢？

（第四組）學(xué)生4：將楊輝三角30°角斜行加起來得到數(shù)列1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，…每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和.

思路：通過教科書上的提示得到的.

教師：查找資料也是一種非常好的學(xué)習(xí)方式，這個(gè)數(shù)列恰好是斐波那契數(shù)列.

（第五組）學(xué)生5：我們發(fā)現(xiàn)單純用數(shù)字的角度去看的話，每一行都是11的次數(shù)冪.第一行11的0次冪，第二行11的1次冪，第三行121是11的2次冪，我們驗(yàn)算了一下，11的3次冪正好是第四行1331，因此我們猜測(cè)將楊輝三角第n行數(shù)字依次寫下來是11的n-1次冪.

教師：11的1次冪為11，11的2次冪為121，11的3次冪為1331，好像確實(shí)是這樣.那么我們一起來幫他們驗(yàn)算一下11的4次冪.

學(xué)生眾：14641.

教師：11的5次冪是多少呢？

學(xué)生眾：11的5次冪為161051.

教師：太可惜了，這是一個(gè)多么美好的結(jié)論啊，問題出在哪兒呢？我們一起來看一下，同學(xué)們，我們11的4次冪是如何計(jì)算的??？我們是通過1331×11計(jì)算得到的. 從這里我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，14641其實(shí)是兩個(gè)1331錯(cuò)位相加得到的. 那么11的5次冪是不是也是由兩個(gè)14641錯(cuò)位相加得到？而在這個(gè)過程中，出現(xiàn)了一個(gè)問題，大家發(fā)現(xiàn)了沒有？

學(xué)生眾：進(jìn)位了！

教師：非常好. 產(chǎn)生了進(jìn)位就會(huì)出現(xiàn)問題，所以我們是不是只需要把這個(gè)結(jié)論改一改，將楊輝三角中每一行數(shù)字錯(cuò)一位疊加所得到的結(jié)果是11的若干次方.

其實(shí)我們?cè)谘芯窟^程中，不要被自己的慣有思維所約束，比如，我們可以從數(shù)的奇偶性角度去研究數(shù)：

①當(dāng)我將楊輝三角中的奇數(shù)涂黑.大家看，是不是會(huì)得到一個(gè)有趣的圖形？其中第2的k次行均為奇數(shù)，奇數(shù)行的下面一行除兩端之外均為偶數(shù).

②將楊輝三角中的奇數(shù)用線段連接起來，就可以得到一個(gè)有趣的三角形——謝爾賓斯基三角，對(duì)謝爾賓斯基三角進(jìn)行拓展，得到：謝爾賓斯基塔、謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基海綿，我們就誕生了一門新的數(shù)學(xué)分支——分形數(shù)學(xué). （多媒體展示優(yōu)美圖案）

又比如，我們?yōu)槭裁匆欢ㄒ褩钶x三角放成等邊三角的形式呢？有些人就不這么認(rèn)為，他把楊輝三角擺放成直角三角，也得到了一些有趣的結(jié)論，留給同學(xué)們課后探究.

7. 總結(jié)探究收獲

本環(huán)節(jié)通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生從知識(shí)與方法兩個(gè)側(cè)面總結(jié)本節(jié)課的收獲，并由教師做必要補(bǔ)充.

教學(xué)片斷三：總結(jié)提升環(huán)節(jié)

教師：接下來，我們來總結(jié)一下.通過這節(jié)課，你收獲了些什么？

學(xué)生1：通過這節(jié)課的研究，我們發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的很多秘密. 比如，楊輝三角每一斜行都是一個(gè)特殊的數(shù)列（高階等差數(shù)列），并且這些數(shù)列的和又是下一行中的數(shù). 楊輝三角每一橫行的平方和也是楊輝三角中的數(shù). 通過30°的斜行求和，還可以得到斐波那契數(shù)列.

教師：總結(jié)得很好！當(dāng)然，我們這節(jié)課不僅僅是研究楊輝三角，我們更需要通過對(duì)楊輝三角的研究，學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)陣的研究方式. 那么通過這節(jié)課，你們對(duì)數(shù)陣的研究又有哪些心得呢？

學(xué)生2：從楊輝三角的研究中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)陣可以從橫的、斜的、豎的這幾個(gè)角度去看，也可以局部看、整體看.

學(xué)生3：從楊輝三角的研究中，得到數(shù)陣研究的內(nèi)容可以類比數(shù)列，從通項(xiàng)、遞推、求和這幾方面入手.

教師：很好！我們發(fā)現(xiàn)可以從橫看、側(cè)看、豎看這幾個(gè)角度去研究數(shù)陣. 既然數(shù)陣與數(shù)列的概念如此相似，我們也可以借鑒數(shù)列的研究?jī)?nèi)容，從數(shù)陣中的通項(xiàng)、遞推、求和，以及數(shù)陣中所蘊(yùn)含的特殊數(shù)列這幾個(gè)角度來研究數(shù)陣.

教師：通過今天的研究，我們已經(jīng)把楊輝三角的秘密都找到了嗎？（學(xué)生：沒有）當(dāng)然沒有，我在課堂的開始就講過，賈憲用它手算高次方根，那么它是如何計(jì)算的呢？牛頓的微積分與它有一定的關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)在哪呢？我希望大家課后查找資料，并閱讀華羅庚先生的《從楊輝三角說起》，去尋找這些答案，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現(xiàn)的秘密. 有興趣的同學(xué)還可以運(yùn)用我們今天所學(xué)的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個(gè)數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)哪些秘密呢？

當(dāng)然，教學(xué)過程的打磨還包括板書設(shè)計(jì)、時(shí)間分配、視頻制作等，這里就不一一贅述了.