數學史在教學設計中的作用

錢競成

摘 要：數學作為人類文化的重要組成部分，“體現數學的人文價值”是《高中數學課程標準》的一條基本理念，而在日常的教學中踐行好這一理念顯得尤為重要，本文中筆者將以兩個具體教學設計案例來闡述數學史在日常教學設計中的重要性.

關鍵詞：數學史；教學設計；作用

數學史融入高中數學教學從提倡到推廣已有100 多年的歷史，今天我國義務教育教學課本中已經添加了數學史知識，高中數學課程也將“數學史選講”編入高中選修課中，這說明，數學史已經進入高中數學課堂，在高中數學教學中運用數學史知識是有必要的. 但是高中數學教師對數學教學中融入數學史知識的看法如何以及如何在數學教學中合理地融入數學史知識呢？筆者將以兩個具體的教學設計案例來進行闡述.

案例1：弧度制

1. 弧度制的引入

通過同行間相互聽課筆者了解到大多數教師是這樣處理的：“以前我們研究角的度量時，規定周角的為1度的角，這種度量角的制度叫做角度制. 今天我們學習另外一種度量角的常用制度——弧度制. 本節主要要求：掌握1弧度角的概念；能夠實現角度制與弧度制兩種制度的換算；掌握弧度制下的弧長公式并能運用解題……”. 這樣處理會導致學生產生一個困惑：我們有了角度制，為何還需要引入弧度制？

那么，要弄清楚弧度制的意義就需要我們追本溯源，利用數學史的知識從弧度制的基本思想入手對其進行分析.

基于歷史的教學案例設計，一般是在教學環境中再現概念產生的背景和動機，從而使學生能以最自然的方式接受概念. 從歷史的演變看. 在弧度制的教學中，首先要抓住從弧長的計算發展到量角制度的轉變這一關鍵點，在弧與角之間建立一一對應.作為教師應該清楚，用統一的方式量弧長與半徑單位的思想，是建立弧度制的精髓.

2. 平常處發現問題，引入認知沖突

一張桌子的尺寸是長1米，寬2尺，試計算桌子的面積. 試說明式子sin30°=中30的度量單位和的度量單位. 設計理由：由于在計算桌子的面積時，沒有指定面積的單位，所以一道題中出現的面積單位有兩個，使用時并不方便.在分析學生答案時，可著重指出這點.但是學生對sin30°=卻習以為常，可著重指出30的度量單位是度，60進制的，的度量單位是長度單位，十進制的. 在同一個問題中使用兩個不同的單位是很不方便的，更何況在同一個式子中使用兩種不同的進位制. 歷史上，統一弧長弓半徑的思想從萌芽到產生之間的跨度有千年之久，這樣設計正是為了激發學生火熱的思考. 問題解決之道是將度量單位統一、進制統一. 具體怎么辦呢？

3. 復習角度制，制造認知沖突

在平面幾何里. 我們把圓周分成360等份，每一份叫做1度的弧. 把1度的弧再細分就得到分和秒. 1度的弧所對的圓心角叫做1度的角. 根據這個定義，整個圓周就是360度的弧，即圓周長是360度，1度=60分，請計算半徑是多少分. 設計理由：這其實是托勒密、阿耶波多的思想.從歷史的角度看. 度、分、秒最初是度量圓弧這樣的曲線的長度單位，在圓弧與圓心角之間建立一一對應后，度、分、秒便成了度量角的單位. 現今的學生已經認識到圓周這樣的曲線的度量單位和半徑的度量別無二致，而度、分、秒是度量角的單位，內心的認知沖突是難以名狀的. 這樣設計是為了反映弧與角之間存在一一對應. 也就是弧與角是同構的. 要理解角及其度量制，離不開對弧及其度量單位的正確認識.

4. 反思—迷茫

上面的做法是用圓周的度量單位度量半徑，但說半徑是多少度、分、秒是很別扭的. 為了消除這種別扭，能否用半徑的度量單位來度量圓周長？設計理由：這是托勒密、阿耶波多的思想的反向運用. 根據C=2πr. 假如半徑的單位是米，那么圓周長的單位也是米. 但是這樣做似乎意義不大. 無論用何種方式度量圓周，都可在弧與角之間建立一一對應. 但是，從角度制的定義看，不論圓的半徑如何，都只把圓周分成360份，1度角的大小不因所在圓的半徑的大小而變化；而若以半徑的度量單位來度量圓周長，此時半徑的單位和圓周長的單位雖然一樣，但因為不同的圓的圓周長不一，得到的“1度角”的大小與所在圓的大小有關. 因此不能這樣定義.

5. 比中劃分圓周長

無論圓周有多長，在角度制里，我們總把它分成360份. 由C=2πr，得到=2π引導學生分析式子表示的意義.

設計理由：這其實是歐拉的思想.歷史上跨出這一步很是困難. =2π表示若以半徑長為單位度量圓周，則無論圓周長如何都只能分成2π個單位，這和角度制是一樣的，無論圓周長如何，都只把圓周分成360個單位. 如果說把圓周分成360份還有一定的主觀成分在里面，那么以半徑長為單位分周長為2π個單位就是不以人的意志為轉移的客觀規律. 這也可作為弧度制在理論上比角度制優越的一種解釋.

6. 水到渠成，定義l弧度角

在定義1度角的時候. 先把圓周長分成360份，每一份弧所對的圓心角就是1度的角. 類似地，在定義1弧度角時，以半徑為單位，把圓周分成2π份. 每一份弧所對的圓心角就是1弧度的角. 這時. 每一份的弧長就是半徑長. 因此，也有定義把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

設計理由：這樣定義1弧度的角與定義1度的角有很好的銜接性. 書本上的定義其實是由這個定義派生出來的. 從歷史的演化看，角度制、弧度制與其說是量角的制度，不如說是量圓周長的制度.在這點上，弧度制比角度制更實至名歸，所以引入弧度制后. 角的大小就是一個實數，而且可以在圓中用弧長來表示. 但不論是量周長還是量整個圓心角，用不同的度量制量同一個對象時總會形成一個關系：2π弧度=360度，正如分別以公里和米量一段1000米的距離時，總有1公里=1000米一樣.

在教學這樣難度較大的概念時. 最好是采用講授法，講清楚概念定義的淵源及合理性. 弧度制、角度制的產生有一個共同點. 那就是如何劃分圓周長.在劃分圓周長時，角度制帶有一定的主觀性（要分成360份，其實劃分成其他份數也是可以的，只不過更不方便了），弧度制更客觀、更科學. 因此教學引入是從角度制帶來的不方便開始的，不方便的表面原因是度量制的不統一，深層次的原因是如何更科學、更合理地劃分圓周長. 本教學設計反映了人們的這樣一個認識過程.

案例2：等差數列前n項和

1. 問題情境

（1）高斯的故事

高斯是德國著名的數學家，18歲時發明了用圓規和直尺作正17邊形的方法，解決了2000年來懸而未解的難題. 相傳在高斯10歲那年，他的數學老師給全班同學出了一道題“1+2+3+…+100=？”高斯僅用幾分鐘就把結果算出來了，使他的數學老師大為折服.

1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50（1+100）=5050.

由學生討論其算法的巧妙之處，教師適時點評，這種方法我們稱之為首尾配對法，它將加法問題轉化為乘法運算，從而迅速準確得到了結果.

（2）泰姬陵的傳說

泰姬陵坐落于印度古都阿格，陵寢用寶石鑲飾，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有21層. 這個圖案一共花了多少寶石？（演示課件，呈現圖案）

即求：S21=1+2+3+…+21，是一個等差數列求和問題，考慮高斯的首尾配對法，但是數列是21項，奇數項，意味著配對下來，中間會剩余一項，如果可以探索出一種方法既可以用到高斯的首尾配對法的思想，又不受項數奇偶性的限制來求和，問題就會迎刃而解.

2. 問題解決

請學生回顧梯形面積公式的推導，受梯形面積公式求法的啟示，將三角形珠寶圖案倒置與原圖形首尾相接，構成一個平行四邊形，這樣每一行的珠寶數都等于三角形圖案所含寶石數，即平行四邊形所含寶石數的一半. 即

3. 課例分析

本例教學的骨架是“等差數列前項和公式”，它作為主線貫穿整個教學過程，而這堂課因為注入豐富的數學史料而豐滿起來，它們是這堂課的肌肉，而公式的推導、公式的運用則是這骨、這肉背后所隱含的靈魂，因此這節課的特點可以概括為“公式是骨、史料即肉、方法為魂”.

這堂課因為數學史料的滲透而變得生動，展示了數學人文的一面，使數學不那么可怕，從而增強學生學習的信心.

問題情境將文化氛圍濃厚的“古跡”融入課堂教學中，讓學生意識到數學問題的產生是有著豐富歷史背景的，它來源于生活又服務于生活，讓學生經歷概念的發生發展過程，在一定程度上培養了學生正確的數學觀；使原本枯燥的、抽象的數學知識變得生動形象，這樣課堂學習氣氛活躍了，學生學習數學的興趣得到了激發，從而充分調動學生的主動性；而聆聽數學家的故事無疑對學生人格成長具有正面的啟發作用. 情境1高斯故事的運用旨在把學生熟悉的“高斯算法”作為新的思想方法的生長點，泰姬陵的傳說承接于情境1提出了新的問題，讓學生看到“高斯算法”自有妙處，卻也有不足之處，因而產生解決問題的需要，是學生探求新知的內在驅動力. 兩個問題情境看似相似，卻并不重復，層層遞進，逐步將學生引到發現新方法的“最近發展區”.

“高斯算法”與“倒序相加法”雖然如出一轍，但是二者之間缺乏必然的聯系，從“高斯算法”到“倒序相加法”需要巨大的思維跨越和思維靈感才能完成. 學生在這個地方存在著很大的認知困惑. “倒序相加法”如果直接被介紹，無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”. 教學的重點是探索與發現公式推導的思路，我們的目標主要是讓學生知道這個公式的來龍去脈，以及這個公式背后隱藏的數學思想方法與思維過程，而并不僅僅是讓學生機械地記住這個公式，因此教師需要適時為學生搭建“腳手架”，引導學生回顧梯形面積公式的推導方法，實現了由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩過渡，有效地培養了學生的數學思維能力，提高了學生的創造性思維品質.

總結反思

數學作為人類文化的重要組成部分，“體現數學的人文價值”是《高中數學課程標準》的一條基本理念，《標準》把數學文化貫穿于數學必修課的三個模塊之中. 將數學史滲透在數學教學中，對數學教育改革具有極其重要的作用. 從文化角度而言，教育總在傳遞、延續著一種文化. 我們的數學教育必然是要深深扎根于傳統文化的土壤之中，發端于過去、承繼至現在并將影響著未來；離開數學史的數學教學會使其成為無本之木、無源之水. 把數學史滲透在教學中能夠使教學變得更有趣一些、容易一些、快樂一些，讓學生更好地理解數學、欣賞數學、熱愛數學.