高中數學弧度概念教學再探究

徐遠志

摘 要：高中數學教學中，概念的教學具有基礎性，這種基礎性不應當因為其只是基礎而忽視教學過程，而應當從學生構建數學概念的角度，發展學生的數學思維，提高學生的數學認識. 尤其是對于像弧度這樣的概念教學而言，要促進學生對引入概念必要性與合理的理解，通過比較與運用，促進學生應用概念的直覺. 調查表明，學生對弧度概念的學習存在著認識上的不足，這種不足又由于教師忽視必要過程引起的. 充實、完善、精設概念教學的情境，對于提高包括弧度在內的數學概念的教學，具有極為重要的意義.

關鍵詞：高中數學；概念教學；弧度；探究

從知識邏輯的角度來看，概念是規律建立的基礎. 在高中數學教學中，大部分概念都是建立在義務教育階段的數學學習基礎之上的，也正因為九年義務教育的積累，學生在高中數學學習過程中才能熟練地利用各個數學概念進行新的數學概念的構建. 但其中也存在一些特殊的概念，這些概念與原來所學的概念看似有聯系，但學生往往又尋找不到這種聯系. 對于這樣的概念而言，如果在教學中不給予高度重視，那學生在理解這些概念的時候很可能就是煮夾生飯，其對于這一概念的理解而言自然沒有好處，對于建立在這些概念之上的其他數學知識的學習與理解，也會存在長時間的隱性障礙. 因此，對于這些概念，在實際教學中必須高度重視，要引導學生知其然也知其所以然. 筆者以為，弧度就是這樣的一個概念.

弧度學習的真實情況掃描

弧度這一概念的學習情形到底怎樣？這個問題的回答憑教師猜想是不太可靠的，最可靠的答案應當在學生那里.

根據筆者近三年來對正在教的學生，與已經畢業后的學生進行調查發現，其實相當一部分學生對為什么要引入弧度表現出很大的困惑. 具體來說有三種情況：一是部分學生想不通為什么要引入弧度，在他們看來，用角度來表示角是最自然、最簡潔的方法，舍易而取難是沒有道理的. 用他們中部分學生的話來說，總不能因為要學三角函數所以才要學弧度吧. 二是部分學生認為弧度制與角度制完全是兩回事，用角度來表示角，很形象，是用有理數來表示，而用弧度來表示角的時候，就有了圓周率π，這是一個無理數，角度怎么會與它有關系呢？三是一部分學生（主要是畢業后的學生，部分數學基礎較好，對高中數學知識還有一定的印象）認為弧度制在學習一段時間之后，感覺其確實有角度制所無法替代的地方，但在新學的時候確實感覺到突兀，很長時間里都是一個陰影.

根據學生的這些反映，筆者以為高中數學教學中，對于弧度這一概念，不能簡單地照搬教材上的安排，而應當引導學生從弧度制引入的必要性角度來認識其重要性，這樣才能在弧度這一概念的起始教學中不至于埋下太多的“隱患”.

為什么在數學中要引入弧度

為什么要引入弧度？這個問題對于高中數學教師來說可能不是一個問題，一部分教師會認為教材中既然有這樣的安排（筆者所使用的蘇教版數學必修四中，弧度概念出現在第一章“三角函數”的第一節），自然是要教的；也有一部分教師認為，學生應該會自然地理解教師所教的弧度，不需要給出特別的注意.事實是不是這樣呢？

根據筆者的教學經驗，數學概念對于學生而言的真正的基礎性作用的理解，在于學生能夠在不對概念本身有任何懷疑的情況下，理解概念本身，并在概念的基礎上去建立新的數學知識. 譬如弧度，蘇教版教材中是怎么安排的呢？是給出一段說明（具體略），然后問出一個問題：720°角是怎樣的一個角？接著介紹“任意角”，并給出正、負角和零角的定義，經由對任意角的一課時左右的學習之后，才給出“弧度制”的概念，其引入是借助于角度制與弧度制的簡單比較來進行的，定義1弧度為“長度等于半徑的圓弧對應的圓心角”，定義弧度制為“用弧度作為角的單位來度量角的單位制”. 這樣的安排，體現了教材編寫者基于角度制建立弧度的意圖，但從數學知識發生的角度來看，仍然顯得比較簡單.

翻開相關資料可以發現，弧度制在數學史上的引入比較復雜，而引入這段數學史對于學生來說可能也有著重要的意義. 數學史上，弧度制顯然是在如何描述角的問題驅動之下形成的. 描述角的方法其實很多，角度制與弧度制只是其中的兩種，兩者之間“360度=2π弧度”的關系，奠定了學生由已知到未知的基礎. 事實上，弧度制的引入更多的是服務于弧形的計算，從弧形的周長，到弧形的面積，用弧度制來計算都是極為簡潔的，如圓弧長度s就可以表示為rθ.要知道，“簡潔”是數學最為基本的特征，也是數學發展的重要推動力，在教學中如果注重這個因素，那學生的思維障礙往往可以迎刃而解. （此外，從三角函數求導的角度建立弧度制的必要性也很重要，只是其對于高中數學學習無法產生直接作用，故此不贅述.）

高中數學教學弧度有效教學

那么，到具體的教學實際中，如何有效地實施弧度概念的教學呢？或者說，怎樣的教學策略才是有效的呢？幾經探索，筆者形成如下觀點：

其一，提供弧度制的建立必要性，打破學生原有的認知平衡，激發學生的學習動機.

這一策略重在給學生創設弧度制學習必要性的情境，筆者的做法是這樣的：先給學生提供兩個利用角度制解決問題的題目，讓學生回憶角度制的優點與形象特征. 在此基礎上提供新的問題：某圓半徑為r，面積為S，則兩者關系是什么？這是一個極為簡單的問題，瞬間即可完成. 在此基礎上，教師將面積公式S=πr2轉換成S=πr×r，然后問學生，此等式中πr是否存在著什么特別的含義？這個問題學生基本上是無法回答的，但他們會意識到既然老師提出了這個問題，那就可能有著某種意義. 在學生這一心理的基礎上，教師讓學生去觀察這個因式，學生會發現其是由π和半徑r相乘而得. 這個時候教師再告訴學生，在某種表示角的單位制中，扇形的面積都可以表示為半徑平方與某個角的乘積的一半，即S=，那么，同學們能否從這兩個看起來沒有關系的表達式當中發現一些聯系呢？學生在這一問題的驅動之下就會仔細觀察，一般情況下，會有三五個學生發現其中的關系，有三分之一的學生能夠隱約發現這種關系，但無法準確描述.有了這樣的思維基礎，教師再給出最終的闡述：新的表示角度的單位制中，1弧度角即為長度等于半徑的圓弧所對的角. 學生就會尋找到上述兩個式子之間的對應關系，從而完成從角度制向弧度制的轉換.

其二，讓學生闡述弧度制與角度制的異同，并提供具體情形，理解弧度制的優點.

在接受了弧度制之后，還要尋找到它的好處，才能讓學生接受弧度這一概念. 筆者首先讓學生認識到“角度是幾何角度的理解，而弧度是函數角度的應用”，然后在后續知識的學習中，只要運用到弧度，就可以讓學生思考一個問題：如果此時不是弧度，而是角度，那么我們解決問題可能會遇到什么樣的困難？這樣的問題，常常可以引得學生的會心一笑，弧度制應用之廣泛也可以深入學生之心.

其三，提供足量訓練，讓學生養成運用弧度制的習慣. 足量的訓練是十分重要的，只有學生在不斷的訓練當中生成運用弧度的直覺，學生才會將弧度概念當成一個基本的、可以直接運用的數學概念. 當然，這里所說的足量訓練應當是一種變式訓練，而不是某一種類型題目的重復訓練，這里還需要考慮到學生的學習心理，不能產生厭惡情緒.

以上三個策略的運用，一般可以讓學生知弧度之然，也可以知弧度之所以然. 事實上隨著高中數學知識學習的不斷深入，學生可以在三角函數、導數，對于較好的學生，教師還可以適當滲透微積分的基本概念，讓學生認識到弧度制的應用，要遠比角度制廣泛，且更為簡潔，因此成為更具廣泛性的度量角的方法. 在此過程中也可以引導學生認識到：數學知識的發展一定是向著廣泛與簡潔兩個方向的，數學建模也是為了讓復雜的生活對象變成簡潔的數學對象. 這種規律性的認識，可以引導包括弧度概念在內的很多數學概念的深層次理解.

弧度概念教學之后的再思考

弧度概念只是高中數學中一個不太起眼的概念，可以從學生構建概念的角度去了解學生的學習實際，并提出更為有效的教學策略時，筆者發現對高中數學教學的研究空間還非常大，一些經驗性的教學行為當中還存在著許多值得思考的地方.

就概念教學而言，一般認為概念具有基礎性，這種基礎性不應當是因為只有基礎性而忽視，而應當注意到這種基礎既是概念本身的基礎，也是基于其上的其他概念與規律的基礎. 同時更應當注意到在基礎概念的教學中要培養學生的數學思維，讓學生認識到數學概念的建立有其必然性與科學性，要讓學生形成關于數學的邏輯性發展認識，只有建立這樣的認識，學生才會發現自己所學習的數學過程，就是一個數學知識不斷積累、數學大廈不斷形成的過程，這對于提高學生的數學素養來說，也是有積極意義的.