可解NPM-群

曹建基

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009；2.山西大同大學教育科學研究所,山西大同037009)

可解NPM-群

曹建基1,2

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009；2.山西大同大學教育科學研究所,山西大同037009)

討論了階被|G|的最小素因子p整除的所有非正規循環子群的正規化子皆極大的可解群（文中稱滿足條件的群為NPM-群）。得到了下面結果:(1)G為可解NPM-群且G的Sylow p-子群P為G的極大子群時給出了G的結構;(2)若G為可解NPM-群且P不是G的極大子群,則G或者為p-閉群,或者為p-冪零群。

極大子群;正規化子;p-冪零群;p-閉群

利用子群的性質研究群G的性質是一種常用的方法，特別是利用正規子群研究群的性質更為常見。而正規化子是正規子群的一種度量,所以很自然地可以利用某些子群的正規化子研究群G的結構,這方面的研究已有許多結果,如文獻[1-10]。另一方面利用極大子群研究有限群更是一種常用的方法這方面也得到了很多有意義的結果,參見文獻[1-4]。受以上結果的啟發,本文討論了階被|G|的最小素因子p整除的所有非正規循環子群的正規化子皆極大的可解群,得到一些這類群的性質。

文中所有的群均為有限群。所用術語與符號參見文獻[11-12]。

1 預備知識

定義設p為|G|的最小素因子。若群G的所有階被p整除的非正規循環子群的正規化子皆極大,則稱G為NPM-群。

引理1設p為|G|的最小素因子。如果G為NPM-群,且E為G的非正規循環p-子群,那么CG(E)存在正規Hallp'-子群K,且K的每個子群均為NG(E)的正規子群。,其中P為的Sylowp-子群。

證明 如果CG(E)為p-群,那么引理成立。所以可設CG(E)不是p-群,且設F為CG(E)的循環q-子群,其中q≠p為素數。因為EcharEF?NG(EF),所以EF?G且由的極大性可得。同理可得F?NG(EF)。因此有。 所以CG(E)的Sylowq-子群正規于NG(E),進一步可得CG(E)存在正規Hallp'-子群K,且K的每個子群均為NG(E)的正規子群。

由p的極小性可得NG(E)/CG(E)為p-群,進而可得NG(E)的Hallp'-子群包含在CG(E)中。因此NG(E)=K?P,其中P為NG(E)的Sylowp-子群。引理得證。

2 主要結果

設p為|G|的最小素因子,P為G的Sylowp-子群。下面我們先假定P為群G的極大子群,給出下面的定理。

定理1設p為|G|的最小素因子,P為G的Sylowp-子群,且P為群G的極大子群。G為可解NPM-群當且僅當G=PQ其中Q為群G的Sylowq-子群,q≠p為素數。并且如果為群G的階被p整除的非正規子群,其中分別為的Sylowp-子群和Sylowq-子群,那么

證明設p為|G|的最小素因子,P為G的Sylowp-子群。由P的極大性可得|G:P|=qi,q≠p為素數。設Q為群G的Sylowq-子群，則定有G=PQ。又設為群G的階被p整除的非正規子群,其中分別為的Sylowp-子群和Sylowq-子群。下面分情況討論:

(a)如果但,那么,由P的極大性和可得xq=1;

(b)如果,那么由,可得為群G的極大子群;

(c)若xp?P,則由引理1得為群G的極大子群,其中P1為的Sylowp-子群,Q為Dedekind群。p的極小性隱含著q定為奇素數，所以Q為交換群。

定理2設p為|G|的最小素因子,P為G的Sylowp-子群,且P不是群G的極大子群。如果G為可解NPM-群,那么G或者為p-閉群,或者為p-冪零群。

證明假設結論不成立,且設G為極小階反例。設p為|G|的最小素因子,P為G的Sylowp-子群,則

(1)G沒有非平凡正規循環p-子群。

如果存在p階循環子群那么P=K。如果K=P?G,那么G為p-閉群,矛盾。故K＜P且G/K也為可解NPM-群。由G的極小性可得G/K或者p-閉,或者p-冪零。故G為p-閉或者p-冪零,矛盾。

（2）G沒有非平凡循環正規p'-子群。

假設群G存在非平凡循環正規p'-子群，可以令M為G的所有非平凡循環正規p'-子群的乘積。容易驗證G/M為可解NPM-群,故G/M或者p-閉或者p-冪零。如果G/M為p-冪零群,那么G也為p-冪零群,矛盾。所以G/M為p-閉群,且PM?G。對任意x?P,由(1)得且由引理1可得其中Kx為的Hallp'-子群,Px為的Sylowp-子群。 如果Px?Sylp(G),那么定有M≤Kx。若否,由的極大性可得為p-冪零群,矛盾。因此可得x?CG(M)。如果Px?Sylp(G),那么Kx為群G的Hallp'-子群,也可得到M≤Kx，進而可得x?CG(M)。故由x的任意性可得PM=P×M。注意到PcharPM?G,可得P?G,矛盾。

（3）Op'(G)=1。

如果Op'(G)≠1,那么定存在極小正規子群R為初等交換q-群，q≠p為素數。 對任意x?P,由(1)得且由引理1可得其中Kx為的Hallp'-子群,Px為的Sylowp-子群。類似于（2）的證明可得R≤Kx。對任意的s?G,。由R?G可得R≤Kxs。任取r?R,由(2)得r?G。又由引理1可得R的每個子群均正規于,故由的極大性得=,進而可得。我們斷言Px?Sylp(G)。若否,Kx為G的Hallp'-子群,且由,可得Kx?G,矛盾。由x的任意性可得P為Dedekind群。任取x1,x2?P,由(1)得均非G的正規子群,且由引理1可得。若,則由的極大性可得為群G的正規Hallp'-子群,矛盾。故Kx1=Kx2,即對任意。注意到Pchar?G,可得P?G,矛盾。

(4)最后矛盾。

由(3)可得F(G)=Op(G)。 設N為G的極小正規子群,則N為初等交換p-群。取為p階子群,由引理1得。注意到Op(G)≤P,可得到[Ky,Op(G)]≤Ky∩Op(G)=1。故Ky≤CG(Op(G))=CG(F(G))≤Op(G)。即Ky=1,所以為群G的極大子群,與假設矛盾。定理證畢。

[1]ARAD Z,CHILLAG D,HERZOG M.Classification of finite groups by a maximal subgroup[J].Algebra,1981,71(1):235-244.

[2]ASAAD M.On maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups[J].Comm Algebra,1998,26(11):3647-3652.

[3]ASCHBACHER M,SCOTT L.Maximal subgroups of finite groups[J].Algebra,1985,92(1):44-80.

[4]BALLESTER-BOLINCHES A,EZQUERRO L M.On maximal subgroups of finite groups[J].Comm Algebra,1991,19(8):2373-2394.

[5]BALLESTER-BOLINCHES A,SHEMETKOV L A.On normalizers of Sylow subgroups in finite groups[J].Siberian Math,1999,40(1):1-2.

[6]BIANCHI M,GILLIO A,HAUCK P.On finite groups with nilpotent Sylow-normalizers[J].Arch Math,1986,47(3):193-196.

[7]BOROVIK A V.Normalizers of 2-subgroups in finite groups[J].(Russian)Sibirsk Mat Zh,1981,22(4):532-544.

[8]GUO W B,SHUM K P.A note on finite groups whose normalizers of Sylow 2,3-subgroups are prime power indices[J].Appl Algebra Discrete Struct.,2005,3(1):1-9.

[9]GUO W B,SHUM K P.On Sylow normalizers and derived lengths of soluble groups[J].Adv Algebra Anal,2006,1(2):133-140.

[10]GUO X Y.Finite groups in which the index of every nonnilpotent maximal subgroup is a prime power,Chinese Ann[J].Math Ser A,1994(15):721-725.

[11]徐明曜.有限群導引(上冊)[M].北京:科學出版社,1987.

[12]徐明曜,黃建華,李慧陵,等.有限群導引(下冊)[M].北京:科學出版社,2001.

Solvable NPM-grou

CAO Jian-ji1,2
(1.School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009,2.Institute of Educational Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,we concenter a class of group such that all the non-normal cyclic subgroup whose order are divided by the minimal divider p of|G|have maximal normalizer(we call such a group an NPM-group).We give some properties of solvable NPM-group.(1)If G is an NPM-group and the Sylow p-subgroup P of G is maximal in G,then we give the structure of G;(2)If G is an NPM-group and P is not maximal in G,then G is either p-closed or p-nilpotent.

maximal subgroup;normalizer;p-nilpotent group;p-closed group

O152.1

A

1674-0874(2016)05-0007-03

2016-04-08

山西大同大學青年基金項目[2009Q14];山西大同大學博士科研啟動項目[2014-B-08]

曹建基(1979-),男,山西介休人,博士,講師,研究方向:群論。

〔責任編輯 高海〕