基于回歸模型的方法分析半干旱流域的降雨徑流關系

余　超，晁麗君，張夢婕，朱家昌，孫靖智

(1.河海大學 理學院， 南京　210098； 2.河海大學 文天學院， 安徽 馬鞍山　243031；

3.河海大學 水文水資源學院， 南京　210098； 4.天津市水務局,天津　300074；

5.遼寧省水利廳， 沈陽　110003)

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基于回歸模型的方法分析半干旱流域的降雨徑流關系

余超1，晁麗君2，張夢婕3，朱家昌4，孫靖智5

(1.河海大學 理學院， 南京210098； 2.河海大學 文天學院， 安徽 馬鞍山243031；

3.河海大學 水文水資源學院， 南京210098； 4.天津市水務局,天津300074；

5.遼寧省水利廳， 沈陽110003)

摘要：以半干旱流域大閣流域為例，通過回歸模型改進半干旱流域降雨徑流關系，用3種方法建立回歸方程，然后對3種方法的結果進行評定。比較3種方法的合格率、許可誤差和確定性系數。結果表明：采用方法3在大閣流域模擬降雨徑流達到了預報精度，很好地描述了降雨徑流關系，從而為改進半干旱流域的降雨徑流關系提供新思路。

關鍵詞：回歸模型； 降雨徑流；相關性；半干旱流域；評定方法；多因子；可分離變量

基于回歸模型方法[1]分析降雨徑流關系[2]是將數據集在空間或時間上外推到其他情形的基本統計計算機技術。數據用于以因變量和一個或多個自變量或解釋變量的收集整理，統計計算用于推導建立一個因變量與自變量的相關關系的方程。

一次降雨的產流量和很多因素有關，也就是R=f(P,Pa,i,季節，…)[3]的函數關系。本方法以流域產流的物理機理為基礎，以主要影響因素為參變量，建立各因素與產流量R之間的關系。這里的各因素包括降雨量P、前期雨量指數Pa、降雨強度i、季節等等。

1回歸方程的描述

多元線性回歸模型[4]是描述因變量y依n項自變量x1,x2,x3,…,xn和誤差項ε取值的方程。

1.1線性回歸模型

設線性回歸模型的一般形式為

(1)

若有m組由因變量y和n項自變量x1,x2,x3,…,xn數據構成的樣本，依式(1)可組成線性回歸模型，可用矩陣表示為

(2)

其中：

利用最小二乘法原理[5]求方程組(2)，從而建立線性回歸方程。

1.2非線性回歸模型

當擬合曲線是非線性時，往往按下述方法求其回歸方程：

假設有n個影響因子：

(3)

首先假設y是關于各因子的可分離變量函數[6]，即

(4)

在自變量x1,x2,x3,…,xn中找出對倚變量y影響最大的主要因子。假設x1對y影響最大，建立數學模型：

(5)

以此確定主要因素與y的函數關系。當取p=2時，即為最小二乘法。

確定y1=f1(x1)及殘差Δy1=y-y1。由于y是x1,x2,x3,…,xn的函數，自y中分離x1的函數y1=f1(x1)后，殘差Δy1應近似為x2,x3,…,xn的函數。再分析Δy1與x2,x3,…,xn的相關關系。比較各因素與殘差的相關性，往往會應用3種方法。

(6)

方法2利用所建立的數學模型(5)分別求出Δy1與x2,x3,…,xn的函數，即Δy1=f(x2),Δy1=f(x3),…,Δy1=f(xn)，然后建立超定方程：

(7)

用最小二乘法求出a2,a3,…,an，由此得出

(8)

方法3利用所建立的數學模型(5)求出Δy1與x2,x3,…,xn的函數：

(9)

2相關分析

在研究兩個水文序列之間的關系時，可采用相關分析法[7]。例如對于一次洪水的徑流深和流域一次洪水的降雨量，可以通過互相關來表示同一次洪水的徑流量與降雨量之間的關系。

水文序列Xt和Yt的相關系數ρk(X,Y)定義為

(10)

式中C(X,Y)為序列Xt和Yt的互協方差。通常應用式(11)由樣本序列(Xt,Yt;t=1,2,…,n)估計互相關系數。

(11)

3降雨徑流關系中各要素的計算原理

3.1流域平均次降雨量計算

流域平均次降雨量又稱面雨量，是指一次降雨過程中整個流域面上的平均累計降雨量。推求流域平均次降雨量最常用的方法有算術平均法和垂直平分法(又叫做泰森多邊形法)，也有用繪制等雨量線圖來推求的。

(12)

其中：ωi為流域內各雨量站權重(無量綱)；Pi為流域內各雨量站的時段降雨量(mm)；P為時段流域平均降雨量(mm)；n為流域內雨量站的個數(無量綱)。

3.2前期影響雨量的計算

前期影響雨量Pa為衡量流域濕潤程度的指標[8]，反映流域蓄水量的大小。Pa越小表示流域的干旱程度越大；Pa越大表示流域的濕潤程度越大。流域前期影響雨量(Pa值)采用遞推公式計算，并以流域土壤最大損失量(Im值)進行控制。Im為流域最大損失量，范圍一般在80～120 mm。本次研究中Im統一取為120 mm。單站前期影響雨量Pa的計算式為[9]

(13)

其中：Pa,t，Pa,t+1分別為第t天和第t+1天開始時刻的前期影響雨量(mm)，Pa,t+1≤Im；Pt為第t天該站的日降雨量(mm)；Ka為流域土壤含水量消退系數(無量綱)，取值范圍一般為0.8～0.95。

3.3雨強的計算

根據前面計算的流域平均次雨量P可以推出雨強i：

(14)

其中：P為時段流域平均降雨量；t為本次洪水的歷時；i為雨強。

3.4地表徑流量的計算

產流是流域內各種徑流成分的生成過程，也就是流域下墊面對降雨的再分配過程。當降雨強度小于下滲強度時，降落在地面的雨水將全部滲入土壤；當降雨強度大于下滲能力時，雨水除按下滲能力入滲外，超出下滲能力的部分便形成地面徑流。滲入土壤中的水量除被土壤蒸發和植物吸收散發而損耗掉外，余下的補充了土壤含水量。當土壤包氣帶的水量超過田間持水量時，則產生壤中徑流，同時通過淺層地下徑流和深層地下徑流補給河流。因此，一次降水的產流過程是由不同水源組成的徑流過程。

3.4.1流量過程的分割

由于地面徑流和地下徑流有不同的匯流特性[10]，根據實測洪水流量過程線，采用斜線分割法對地面徑流和地下徑流進行劃分。首先，從整個流量過程線中分割出前、后期徑流和深層基流，并獲得本次降雨所形成的流量過程，然后進行地表、地下流量過程的分割，這就是所謂的基流分割[11]。該方法的基本思路：先尋找洪水過程的直接徑流終止點，然后用斜線連接漲點與終止點，則斜線上部為地面徑流，下部為地下徑流。

對于半干旱、干旱地區，地面徑流終止點可用目估法確定。對于濕潤、半濕潤地區，地面徑流終止點可通過經驗法確定。該方法是通過對實測資料的分析確定洪峰時間到地面徑流終止點的時距N[12]，并認為同一流域的N值是常數。求取N的經驗公式為

(15)

其中：F為流域面積(km2)；N為洪峰時間到地面徑流終止點的時距(h)。

3.4.2地表徑流量的計算

在分割出一次降雨所形成的地面徑流過程線后，即可根據起漲點、終止點及洪水過程線包圍的面積計算次洪徑流深。計算公式為

(16)

其中：Rs為流域地面徑流深(mm)；Qi為流域時段流量(m3/s)；Δti為計算時段(h)，常取1 h；F為流域面積(km2)；3.6為單位換算系數(無量綱)。

4精度評定

徑流深預報以實測值的20%作為許可誤差，當一次預報的誤差小于許可誤差時為合格預報。

5流域概況

大閣流域位于密云水庫流域。密云水庫建于1960年，蓄水以來，為京、津、冀部分地區工農業與城市生活用水發揮了巨大作用。潮白河密云水庫以上流域位于東經115°30′～117°30′，北緯 40°20′～41°30′。東部和東北部與灤河流域為界，北面與內陸河閃電河為鄰，西與永定河支流洋河流域相鄰。密云水庫流域面積15 788km2，占潮白河流域面積18 000km2的88%。本流域除水庫庫區附近地勢稍低，其高程一般在海拔500m以下外，其他地方地勢均較高，具有山高、坡陡、溝深、流急的特點，河道比降較大。東支潮河發源于河北省承德地區，河源至水庫全長220km，河道平均比降為1.87%。西支白河發源于河北省張家口地區，河源至水庫全長248km，河道平均比降為4.87%。流域內基本屬于土石山區，一般土層較薄，植被較好，但流域內各地差異較大，不少地方巖石裸露，裂隙較大。

密云水庫流域面積較大，本次研究采用潮河的大閣流域。大閣位于東經116°41′，北緯41°11′，流域面積為1 850km2。該流域屬于中緯度大陸性季風氣候，據1951—1981年資料統計，流域平均降雨量為525mm，暴雨分布以庫區為中心，分別沿潮白河向東北和西北方向漸減。潮河上游多年平均降雨量約為500mm。降雨量主要集中在6～9 月份，尤其集中在7～8月份。

6算例

選取大閣流域為例，倚變量為流域地面徑流深Rs，自變量分別是流域平均次降雨量P、前期影響雨量Pa、雨強i，共44組資料。本次算例采用泰森多邊形法計算流域平均次降雨量P[13-18]。大閣流域雨量站及權重和位置如表1所示。

表1　大閣流域雨量站及其權重、位置

6.1計算相關性

采用式(10)計算出倚變量流域地面徑流深Rs與自變量流域平均次降雨量P、前期影響雨量Pa、雨強i各自的相關系數，結果如表2所示。

表2　相關系數

通過比較可以看出：倚變量流域地面徑流深Rs與流域平均次降雨量P相關系數最大，其次是雨強i，最小的是前期影響雨量Pa。這里采用的是Pearson 相關性和顯著性雙側檢驗。

6.2計算結果

本算例分別采用方法1～3進行計算。選取大閣流域44場洪水中的前30場洪水用于模型的參數率定，后14場用于預報模型驗證。由相關系數可知：倚變量流域地面徑流深Rs與流域平均次降雨量P的相關系數最大。利用式(5)擬定Rs=f(P)，計算結果如表3所示，式(5)中取p=2時即為最小二乘法。

表3　Rs= f(P)計算結果

序號Rs實測PPaif(P)Δy1162.4217.0974.470.280.002.42170.677.2245.280.120.000.67183.7336.8825.660.613.80-0.07196.2140.1276.080.396.140.07200.9613.5726.770.130.000.96210.9314.5127.150.160.000.93221.7817.0352.410.200.001.78233.2531.6982.680.380.053.20242.1439.2576.600.382.19-0.05250.7430.4641.580.300.070.67261.2313.0945.490.210.001.23270.7515.6047.120.220.000.75280.9512.9351.840.180.000.95297.1066.0079.150.637.12-0.02303.5249.0544.080.653.57-0.04

采用方法1計算出Δy1后用式(5)擬定Δy1=f(i)，而后計算Δy2，即Δy2=f(P)+f(i)-Rs實測。用式(5)擬定Δy2=f(Pa)，最后得到Rs預報值=f(P)+f(i)+f(Pa)，計算結果如表4所示。

表4　 方法1計算結果

采用方法3計算出Δy1后用式(5)擬定Δy1=g(i,Pa)，得到Rs預報值=f(P)+g(i,Pa)，方法2、3的計算結果如表5所示。

表5　方法2、3計算結果

6.3誤差評定

根據徑流深預報以實測值的20%作為許可誤差,且許可誤差小于20 mm時點據評定為合格。對大閣流域的14場洪水進行方案評定，結果如下：方法1得到的合格率QR為71.4%，相對平均誤差為18.9%，確定性系數DC為0.997；方法2得到的合格率QR為42.9%，相對平均誤差為26%，確定性系數DC為0.995；方法3得到的合格率QR為78.6%，相對平均誤差為18.3%，確定性系數DC為0.995。誤差計算結果如表6所示。

從評定結果可以看出：3種方法的確定性系數都很高，達到評定要求，但是只有方法3合格率達到乙級精度要求。分析數據可以看出：產生這種現象的原因是大閣流域的徑流深相對較小，但是其中會出現一些大數，這就導致確定性系數普遍很高。

根據誤差評定出的結果，大閣流域應選取方法3進行徑流深的預報。通過與文獻[9]中應用的降雨徑流相關圖法進行比較，運用降雨徑流相關圖法的合格率QR只有34%，相對平均誤差為36%；運用回歸模型的合格率QR為78.6%，相對平均誤差為18.3%，大大提高了精度。

表6　誤差計算結果

7結論

1) 基于回歸模型的分析方法可用于估算模型參數或無觀察資料地區的徑流深。

2) 通過與文獻[9]在大閣流域的比較可以看出：預報精度得到明顯提高，說明基于回歸模型的分析方法可以彌補降雨徑流相關圖在半干旱地區應用的不足。

3) 模擬的關鍵點是在最終確定方程時如何選取自變量。

4) 回歸的預報值取決于模型與原始數據的擬合情況。

5) 所有預報成果都應當計算誤差聯系起來，這種估算標準誤差可表述預報結果的不確定性。

6) 預報成果所依據數據的代表性好，其估算的標準誤差就小；代表性差，標準誤差就大。

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(責任編輯劉舸)

Methods Analysis on Rainfall-Runoff of Semi-Arid Basin Relationship Based on Regression Model

YU Chao1, CHAO Li-jun2, ZHANG Meng-jie3, ZHU Jia-chang4,SUN Jing-zhi5

(1.College of Science, Hohai University, Nanjing 210098,China;2.Wentian College, Hohai University, Maanshan 243031, China;3.College of Hydrology and Water Resources, Hohai University, Nanjing 210098, China;4.Tianjin Water Authority Water Conservancy Department, Tianjin 300074,China;5. Liaoning Provincial Department of Water Resources, Shenyang 110003,China)

Abstract:The relationship between rainfall and runoff of the semi-arid region was revised by using the regression model. Taking the Dage basin that is a semi-arid basin for example, three methods were used to build the regression equation. The percent of pass, the permissible error and the deterministic coefficient of the three methods were calculated and compared to evaluate the performance of them. The results indicate that the third method shows the best precision in Dage basin and has a good description of the relationship between rainfall and runoff in semiarid region. It is an effective approach to revise the relationship between rainfall and runoff in semiarid region.

Key words:regression model; rainfall-runoff; correlation; semi-arid basin; evaluation method; multi-factor; separable variable

文章編號：1674-8425(2016)02-0058-08

中圖分類號：P338

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.02.011

作者簡介：余超(1989—)，男，江西人，碩士研究生，主要從事水文預報和流域水文模型研究；通訊作者 晁麗君(1987—)，女，陜西人，主要從事水文預報和流域水文模型研究。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(41130639，51179045, 41101017，41201028)；院級科研項目(WT14001ZD)

收稿日期：2015-03-27

引用格式：余超，晁麗君，張夢婕，等.基于回歸模型的方法分析半干旱流域的降雨徑流關系[J].重慶理工大學學報(自然科學版)，2016(2):58-65.

Citation format：YU Chao, CHAO Li-jun, ZHANG Meng-jie,et al.Methods Analysis on Rainfall-Runoff of Semi-Arid Basin Relationship Based on Regression Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(2):58-65.