基于分段函數的結構動應力譜分布估計方法

陳道云，孫守光，李　強，張亞禹，王金莎，張學蘋

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京　100044；2.齊齊哈爾軌道交通裝備有限責任公司 貨車分廠，黑龍江 齊齊哈爾　161002)

結構的動應力譜是對結構進行疲勞強度評估的重要依據，其精度直接影響疲勞壽命預測的準確性。實測的結構動應力時程曲線往往是一個有限長的子樣，由此得到的動應力譜不能直接用于結構的疲勞強度評估，需要對其進行統計、推斷，以獲得服役期間可能出現最大值的動應力擴展譜。

在作統計和推斷之前，需要對實測的動應力譜進行分布擬合。在擬合工程結構的動應力譜分布時，常用的分布函數類型有截尾正態分布[1]、對數正態分布[2-4]和威布爾分布[5-7]。經驗表明，采用單一分布函數擬合得到的結構動應力譜很難通過嚴格的卡方檢驗，因而只能用于粗略估計。

除此之外，Giddings[8]函數經常被用于擬合色譜領域的色譜峰，這種函數對數據波動具有很好的適應性，因此可以嘗試將其應用于工程結構動應力譜的分布擬合。

為提高結構動應力譜分布擬合的精度，需找到能夠順利通過卡方檢驗的分布函數。考慮到不同類型的分布函數在不同譜級間擬合的精度不同，本文首次利用分段函數將不同類型的分布函數分段組合，構造出的分段分布函數能夠順利通過卡方檢驗。最后將動應力譜擴展并進行Miner線性累積損傷分析，進而從線性累積損傷的角度對分段函數的分布擬合效果進行校驗。

1　數據采集及處理

選取某型動車組制動吊座的疲勞關鍵點進行動應力數據的采集，測點位置如圖1所示。采樣頻率設為500 Hz，該頻率足以保證所測信號的完整真實[9]。

信號采集期間會有各種因素對真實信號進行干擾，因此測得的數據不能直接用于結構動應力譜的編制，需要先對其進行信號處理，信號處理流程為：原始數據→應變信號轉應力信號→未調平衡處理→去除零點漂移→異常信號處理→濾波→小波處理。處理后的動應力數據還需要進行時間歷程雨流計數，得到的一維應力譜見表1。

圖1　制動吊座的疲勞關鍵測點

級數動應力中值/MPa觀測頻數級數動應力中值/MPa觀測頻數167337867810379029221019208683114136148313669871512448280417124274313482950520581747214517525624057305155521187275130061660418830971301177080893443618

2　動應力譜頻率分布直方圖

動應力譜的頻率分布直方圖對分布擬合的精度將產生很大影響，而直方圖的起點及每級之間間隔的選取直接決定了直方圖的形狀，并間接影響分布擬合的精度。

在對結構進行疲勞可靠性評估時，幅值低于5 MPa的小動應力數據通常要被過濾掉，因此小幅值動應力對結構疲勞損傷的影響可以忽略。由此可以確定，頻率分布直方圖的起點設為5 MPa較為合理。

根據Luise[10]的建議，動應力每級之間的間隔(直方圖組距)Δ應由下式確定。

(1)

式中：R為動應力變化范圍；N為樣本總數。

利用這種方法得到的直方圖是等組距直方圖。對于實測的軌道車輛結構動應力數據來說，在直方圖尾部的高幅值區域數據通常非常少，因此等組距帶來的1個問題就是分布估計時的精度較低。為了克服這個缺陷并滿足后續卡方檢驗的需要，從等距分組的最大幅值對應的頻次開始，逐步向上累加頻次，直到累加頻次大于等于5，停止累加，作為1個頻次。然后按同樣的方法累加合并其他小于5 的頻次，直到所有小于5 的頻次都被累加，最后按累加頻次對應的區間調整區間邊界值，完成分組合并。

結合表1，按照上述方法繪制的制動吊座動應力譜頻率分布直方圖如圖2所示。

圖2　動應力譜頻率分布直方圖

3　單一分布函數擬合

截尾正態分布的概率密度函數f1(x)為

(2)

式中：K為正規化常數；μ1為截尾正態分布的均值；σ1為截尾正態分布的標準差；x為動應力譜每級的動應力中值。

對數正態分布的概率密度函數f2(x)為

(3)

式中：μ2為對數正態分布的均值；σ2為對數正態分布的標準差。

三參數威布爾分布的概率密度函數f3(x)為

(4)

式中：β為威布爾分布形狀參數；η為威布爾分布尺度參數；γ為威布爾分布位置參數。

Giddings分布的概率密度函數f4(x)為

(5)

其中，

式中：A為Giddings分布的面積系數；ω為Giddings分布的寬度系數；xc為Giddings分布的中心系數；Jl(x)為柱貝塞爾函數。

采用單一分布函數擬合得到的參數值見表2。

表2　單一分布函數擬合參數值

對頻率分布直方圖進行分布擬合后，還需要進行擬合效果的檢驗，通過檢驗的分布才能作為最終的動應力譜分布。比較嚴格的檢驗方法是采用擬合優度的卡方檢驗對動應力譜分布進行檢驗，卡方值的計算公式為

(6)

式中：χ2為動應力譜分布擬合檢驗的總卡方值；k為分組數；i為動應力譜的級數；vi為觀測頻數；F為累積分布函數；xi為動應力譜第i級的動應力下限；xi+1為動應力譜第i級的動應力上限。

根據式(6)分別計算以上4種分布函數的各級卡方值，結果見表3。

表3　4種分布的各級卡方值及總卡方值

由表3可見，在4種分布函數中截尾正態分布函數的總卡方值最大，擬合效果最差，另外3種分布函數的總卡方值較截尾正態分布函數小。

由表3得到對數正態分布函數、威布爾分布函數和Giddings分布函數擬合檢驗的各級卡方值圖，如圖3所示。

圖3　3種分布函數擬合檢驗的各級卡方值對比

由圖3可見，由Giddings分布函數得到的前6組卡方值較小，即對前6組的數據擬合較好，威布爾分布函數對中間組(7～12組)的數據擬合較好，對數正態分布函數對尾部(13～17組)數據擬合較好。

4　分段函數擬合

考慮到Giddings分布函數、威布爾分布函數和對數正態分布函數在不同譜級段的擬合優勢，構造1個分段函數，對數據進行分段擬合。分段函數的概率密度函數f5(x)為

f5(x)=

(7)

式中：x1,x6,x7,x12,x13和x17分別為動應力譜頻率分布直方圖第1級、第6級、第7級、第12級、第13級和第17級的動應力。

采用式(7)對表1的動應力譜數據進行分布擬合，得到的各參數值見表4。

結合式(6)，擬合檢驗的各級卡方值見表5。

表4　分段函數擬合參數值

表5　分段函數擬合檢驗的各級卡方值

由表5可見，分段函數擬合的各級卡方值均較小且17級譜的總卡方值小于卡方檢驗的臨界值，因此分段函數分布順利通過了卡方檢驗。

為了更加直觀地觀察分段函數的擬合效果，將分段函數的概率密度曲線與實測動應力譜的頻率分布直方圖作比較，如圖4所示。

圖4分段函數分布概率密度曲線與實測動應力譜頻率分布直方圖比較

由圖4可見，基于分段函數分布的概率密度曲線與實測動應力譜頻率分布直方圖的吻合程度很好，表明分段函數分布能夠很好地用于描述實測的動應力譜分布趨勢。

由于研究動應力譜分布擬合的最終目的是要通過計算損傷來預測結構的疲勞壽命，因此分布擬合的優劣還需要經過疲勞損傷的校驗。

5　譜分布擬合的疲勞損傷校驗

易當祥[11]建議以概率為10-6的動應力為最大動應力，利用超越概率10-6反解分布函數，得到服役期可能出現的動應力最大值。

由于制動吊座的實測動應力譜的總循環次數不足106，因此為得到實測擴展譜，需對實測譜的各級統一乘以1個系數，使總循環次數達到106，假設動應力譜的最小值仍為5 MPa，由利用分段函數推斷得到的動應力譜最大值為81.13 MPa，稍大于實測最大值77.72 MPa。由實測譜推斷的擴展譜與由分段分布推斷的擴展譜對比結果見表6。

表6　實測動應力譜和分段函數動應力譜的擴展譜對比

動應力譜損傷的計算基于Miner線性累積損傷法則[12]，則動應力譜損傷D為

(8)

式中：zi為各級動應力實際循環次數；Ri為各級動應力作用下循環至破壞的壽命；C1和m為材料的S—N曲線參數；σ-1i為各級動應力。

由表6和式(8)得到各級損傷值如圖5所示。

由圖5可見，分段函數的動應力譜損傷與實測譜損傷的總體走勢一致；2種損傷在前幾級與后幾級的損傷值比較接近，中間級的損傷值相差較大且分段分布每一級的損傷都大于實測損傷，這表明分

圖5　Miner線性累積損傷對比

段分布對動應力譜中間段的擬合估計偏保守，使得利用分段分布損傷估算疲勞壽命時的壽命偏低，這種保守的結構疲勞壽命估計對于保證結構在運用時的安全是非常有必要的。

6　結　論

(1) 對于軌道車輛結構的動應力譜分布估計而言，單一分布函數的分布擬合不能通過卡方檢驗。

(2) 當應力譜的組數較多時，不同分布函數對應的擬合精度不同。截尾正態分布的擬合精度最差，Giddings分布對前6組數據擬合較好，威布爾分布對中間組(7～12組)數據擬合較好，對數正態分布對尾部(13～17組)數據擬合較好；利用這一特點，將不同的分布函數分段組合得到1個分段分布函數，該分段函數的分布擬合能夠順利通過卡方檢驗。

(3) 利用分段函數分布推斷得到的動應力譜，其Miner線性累積損傷走勢與實測譜的總體走勢一致，且其每級損傷均大于實測譜損傷，使得其對結構的疲勞壽命能做出偏安全的預估。

[1]李強，劉志明，張桂青，等. 提速客車轉向架動應力分布擬合的研究[J]. 鐵道學報，2001，23 (4)：105-108.

(LI Qiang，LIU Zhiming，ZHANG Guiqing，et al. Research on Distribution of Dynamic Stress for Speed Increased Passenger Car Bogies[J]. Journal of the China Railway Society，2001，23 (4)：105-108. in Chinese)

[2]趙宇剛，毛保華，蔣玉琨. 基于列車運行時間偏離的地鐵列車運行圖緩沖時間研究[J]. 中國鐵道科學，2011，32 (1)：118-121.

(ZHAO Yugang，MAO Baohua，JIANG Yukun. Study on the Buffer Time of Metro Train Diagram Based on Train Running Time Deviation[J]. China Railway Science，2011，32(1)：118-121. in Chinese)

[3]惠曉龍，王文靜. 動車組構架垂向載荷統計特性研究[J]. 鐵道機車車輛，2015，35(增1)：91-95.

(HUI Xiaolong，WANG Wenjing. Research on Statistics Characteristic of Vertical Load for High-Speed Train Bogie[J]. Railway Locomotive & Car，2015，35 (Supplement 1)：91-95. in Chinese)

[4]薛廣進，李強，王斌杰，等. 軌道車輛結構動應力譜分布的估計[J]. 機械工程學報，2013，49 (4)：102-105.

(XUE Guangjin，LI Qiang，WANG Binjie，et al. Estimation of Distribution for Rail Vehicle Dynamic Stress[J]. Journal of Mechanical Engineering，2013，49(4)：102-105. in Chinese)

[5]周素霞，謝基龍，趙方，等. 基于概率分布函數的動車組車軸應力譜試驗分析[J]. 中國鐵道科學，2013，34 (2)：95-99.

(ZHOU Suxia，XIE Jilong，ZHAO Fang，et al. Experimental Analysis on the Stress Spectrum of EMU Axle Based on Probability Distribution Function[J]. China Railway Science，2013，34 (2)：95-99. in Chinese)

[6]張永亮. 基于跟蹤測試的高速動車組構架載荷特性研究[D]. 北京：北京交通大學，2013.

(ZHANG Yongliang. Study on Load Characteristic of High-Speed EMU's Bogie Frame Based on Tracking Test[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2013. in Chinese)

[7]毛賀. 高速列車載荷譜編制方法的研究[D]. 北京：北京交通大學，2009.

(MAO He. Study of Load Spectrum Compiling Method of High Speed Train[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2009. in Chinese)

[8]OriginLab Corporation. Origin Help[EB/OL]. Northampton：OriginLab Corporation, 2015[2015]. http：//www.originlab.com/doc/Origin-Help/Giddings-FitFunc.

[9]王萌, 李強, 孫守光. 耦合作用下各載荷對結構疲勞損傷影響程度的評估方法[J]. 中國鐵道科學，2015，36(3)：94-99.

(WANG Meng, LI Qiang, SUN Shouguang. Evaluation Method for Influence Degree of Each Load on Fatigue Damage of Mechanical Structure under Coupling Effect[J]. China Railway Science, 2015, 36(3)：94-99. in Chinese)

[10]LEWES E E. Introduction to Reliability Engineering [M]. New York：Wiley，1986.

[11]易當祥，呂國志，周雄偉. 用概率推斷法確定多工況二維疲勞設計譜的載荷最大值[J]. 應用力學學報，2006，23 (3)：484-487.

(YI Dangxiang，Lü Guozhi，ZHOU Xiongwei. Maximal Loading Calculation for Two Dimensional Fatigue Design Spectrum under Multiple Working Conditions with Probability Extrapolation Method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics，2006，23(3)：484-487. in Chinese)

[12]MINER M A. Cumulative Damage in Fatigue[J]. Journal of Applied Mechanics, 1945, 12 (3)：159-164.