基于橋梁施工節(jié)段長度的車—線—橋耦合系統(tǒng)軌道不平順敏感波長分析

楊宏印，盧海林，陳旭勇，王　波

(1.武漢工程大學 資源與土木工程學院，湖北 武漢　430073；2.中鐵大橋科學研究院有限公司，湖北 武漢　430034)

車—線—橋耦合振動是高速鐵路研究中的一個關(guān)鍵問題。在為研究該問題而進行有限元建模時，由于往往采用相同長度的橋梁單元和軌道單元[1-3]，使得橋跨結(jié)構(gòu)越大，建模和計算越復雜。為提高計算效率，文獻[4—5]指出可以根據(jù)實際情況采用不同長度的單元進行劃分。變截面連續(xù)梁橋具有受力性能優(yōu)越和跨越能力強等優(yōu)點，已被廣泛用于鐵路交通中。這種橋型通常采用分節(jié)段施工法，為模擬施工過程及分析長期受力性能，建模時需要考慮實際施工節(jié)段。此外，軌道不平順是引起輪軌動力作用變化，進而誘發(fā)整個車—線—橋系統(tǒng)振動的重要激勵[6-8]。軌道隨機不平順通常采用連續(xù)波長描述，而明確軌道不平順的敏感波長是線路運營亟待解決的問題[9-10]。

本文針對車—橋耦合振動計算量大的問題，提出用任意長度組合的軌道—橋梁耦合單元建立基于橋梁施工節(jié)段長度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型的方法，用于車—線—橋耦合系統(tǒng)振動分析；并結(jié)合任意波長不平順的生成方法研究軌道隨機不平順的敏感波長。

1　基于橋梁施工節(jié)段長度的系統(tǒng)耦合振動模型

圖1為列車通過某高速鐵路變截面連續(xù)梁橋時的耦合系統(tǒng)模型。它包含列車、軌道和橋梁共3個子系統(tǒng)，其間通過輪軌關(guān)系和橋軌關(guān)系連接起來。1個車輛包含1個車體、2個轉(zhuǎn)向架和4個輪對，車體和轉(zhuǎn)向架有沉浮和點頭2個自由度，輪對只有沉浮1個自由度，共有10個自由度。通過平面Euler-Bernoulli梁模擬軌道和橋梁，并用線性化的Hertz彈性接觸理論模擬輪軌接觸[11-12]。橋上鋪設雙塊式無砟軌道，將軌道板等二期恒載以參振質(zhì)量的方式加于橋梁模型中，而將鋼軌視為離散彈性點支承上的梁[6]。

為提高車—線—橋耦合振動的計算效率，采用較短的軌道單元。將橋梁和軌道結(jié)構(gòu)離散，并根據(jù)要求細化軌道單元，得到圖2所示不同長度組合的軌道—橋梁耦合單元，圖中l(wèi)為單元長度，下標b和r分別代表橋梁和軌道，且lb=Alr，A為1個橋梁單元上存在的軌道單元個數(shù)，kr和cr分別為軌下膠墊的等效剛度和阻尼。

圖1　列車—軌道—橋梁系統(tǒng)模型

圖2　任意長度組合的軌道—橋梁耦合單元

橋梁結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼，橋梁單元的動力方程為

(1)

其中，

式中：M，C和K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；qe為位移向量；上標e表示單元；m為軌道單元編號；N為Hermite插值向量；Fmrb(x,t)為軌道傳給橋梁的力。

軌道傳給橋梁的力Fmrb可表示為

(2)

式中：ymr和yb分別為第m個軌道單元節(jié)點處軌道和橋梁的位移，后者可通過橋梁單元節(jié)點位移的插值得到。

將式(2)代入式(1)，整理可得

(3)

其中，

式(3)為圖2中單個軌道單元作用下橋梁單元的動力方程。同理可得圖2中第m個軌道單元的動力方程為

(4)

其中，

由式(3)和式(4)便可得到圖2中第m個軌道—橋梁耦合單元動力方程為

(5)

車輛考慮為剛體[5, 13]，第i輛車的動力方程為

(6)

式中：下標v表示車輛。

2　車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元方程及求解

根據(jù)式(5)，由形成矩陣的“對號入座”法則便可得到軌道—橋梁系統(tǒng)動力方程，再結(jié)合車輛動力方程式(6)，便可得到車—線—橋耦合系統(tǒng)的有限元方程為

(7)

式中：F為荷載向量；下標c表示輪軌耦合項，組合下標為相應的耦合項。

式(7)中Kcr，Krv，Kvr，F(xiàn)cr和Fcv均與輪軌耦合有關(guān)，是時變的，而其他項均是非時變的。在求解時先組裝非時變部分，作為初始方程，然后在每個時間步根據(jù)時間和實際輪軌接觸狀態(tài)疊加時變部分，便可得到系統(tǒng)振動方程，系統(tǒng)振動方程的組裝和計算流程見文獻[3]。采用Newmark-β方法直接積分求解，不需迭代。

3　基于橋梁施工節(jié)段長度的耦合振動分析

現(xiàn)以某高速鐵路連續(xù)梁橋為工程實例，建立基于橋梁施工階段長度的車—線—橋耦合系統(tǒng)模型，進行車—線—橋耦合系統(tǒng)振動分析。橋梁主梁為4跨預應力混凝土連續(xù)箱梁，全長160 m，采用掛籃懸臂法施工，混凝土彈性模量為34.5 GPa，阻尼比取0.025，橋墩墩高為20 m，如圖3(a)所示。根據(jù)施工過程可將主梁劃分為50個節(jié)段。每個墩左右各存在長度為17 m、高度按拋物線變化的變截面段。每個長17 m的變截面段有5個節(jié)段，若按0.5 m進行劃分，則共有35個關(guān)鍵截面(見圖3(b))。采用MIDAS/Civil建立了橋梁有限元模型，如圖3(c)所示。列車由5輛車組成，車輛和軌道模型參數(shù)參見文獻[3-4]。

圖3　變截面連續(xù)梁橋模型(單位：m)

對分節(jié)段施工的橋梁建模時，應盡量根據(jù)其節(jié)段的長度劃分單元，但橋梁節(jié)段長度普遍較大，故為提高計算精度和方便建模，主梁單元仍根據(jù)節(jié)段長度劃分，而將軌道單元細化。為說明這樣考慮的合理性，對比分析如下3種單元劃分工況。

工況1：主梁單元的劃分根據(jù)節(jié)段的長度劃分，橋上軌道單元的劃分按0.5 m長劃分。

工況2：主梁單元和橋上軌道單元的劃分均按0.5 m長劃分。

工況3：主梁單元和橋上軌道單元的劃分均根據(jù)節(jié)段的長度劃分。

在這3種工況中，對于過渡段上軌道單元的長度均采用0.5 m，橋墩單元的劃分也一樣。列車以100～425 km·h-1速度通過時，不同工況下左中跨跨中橋梁和軌道的最大加速度響應如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可見，工況1和工況2下所得結(jié)果非常一致，并且由于工況2中對橋梁單元和軌道單元劃分得最精細，因此其分析結(jié)果是可靠的[5, 12]，這相應說明工況1的計算精度也較高；工況3的結(jié)果卻與工況1和工況2的結(jié)果明顯不同，這說明橋梁和軌道的振動加速度響應對軌道單元的長度很敏感。

圖4　左中跨跨中橋梁最大加速度

圖5　左中跨跨中處軌道最大加速度

圖6為列車以200 km·h-1通過時不同工況下中間車輛的1位輪對的輪軌接觸力時程曲線。

圖6　中間車輛1位輪對的輪軌接觸力時程

由圖6可見，工況1和工況2下所得結(jié)果非常一致，表明橋梁單元的長度取施工節(jié)段的長度而只對軌道單元進行細化方法能達到滿意的計算精度；但在工況3中，輪軌接觸力響應幅值明顯比較大，特別在橋墩處的振蕩最為劇烈，說明計算結(jié)果不可靠。

綜上，相對于工況3，在工況1和工況2的單元劃分方法均具有較高的計算精度。同工況2相比，在工況1下系統(tǒng)模型的自由度會減少，從而節(jié)省計算時間，在相同計算機環(huán)境下，兩者的計算時間分別為451.7和223.3 s，后者僅為前者的49%。因此，建立耦合系統(tǒng)模型時，應根據(jù)實際施工節(jié)段長度建立橋梁單元，而采用分布均勻的較短的軌道單元，既能方便建模，也能達到滿意的計算精度和計算效率。說明本文方法是可行的。

4　橋上軌道隨機不平順的敏感波長分析

實際線路的幾何狀態(tài)往往是隨機的，通常用功率譜密度函數(shù)(軌道譜)描述。本文對波長為1～30 m的中波長軌道不平順采用德國高速鐵路“低干擾”譜模擬，即

(8)

式中：Sv(Ω)為功率譜密度；Ω為空間頻率，rad·m-1；Av為粗糙度常數(shù)，其值為4.032×10-7m2·rad·m-1；Ωc和Ωr為空間截斷頻率，其值分別取0.824 6和0.020 6 rad·m-1。

對波長為0.03～1 m的短波不平順，本文采用文獻[8]建議的軌道短波不平順公式模擬，即

Sv(Ω)=0.036Ω-3.15

(9)

根據(jù)軌道不平順頻域功率譜密度函數(shù)，采用逆傅里葉變換法[6]便可生成軌道不平順的時域模擬樣本。若對整個頻率范圍進行等帶寬離散，再令不在截斷頻率范圍的譜密度為0，便可得到任意波長的時域樣本。根據(jù)式(8)可生成1～30 m的中波長軌道不平順的時域樣本，根據(jù)式(9)可生成0.03～1 m的短波長軌道不平順的時域樣本，將兩者疊加便可得到波長為0.03～30 m的軌道不平順時域樣本，如圖7所示。

采用上節(jié)基于橋梁節(jié)段長度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型分析橋上軌道隨機不平順的敏感波長。不同列車速度和軌道不平順下左中跨橋梁跨中的最大響應如圖8所示。

圖7　波長區(qū)間為0.03～30 m不平順的時域樣本

圖8　左中跨跨中橋梁最大響應

由圖8可見：各不平順條件下的橋梁位移響應與軌面光滑時的相差不大，說明軌道不平順對橋梁位移的影響有限；當列車速度小于175 km·h-1時，橋梁的振動加速度主要來源波長0.03～1 m短波軌道不平順的貢獻；而當列車速度大于175 km·h-1時，波長1～5 m的軌道不平順對橋梁振動加速度的影響很明顯。

圖9為不同列車速度和軌道不平順條件下左中跨跨中橋上軌道最大響應。由圖9可見：橋上軌道的最大位移隨列車速度變化的趨勢不同于橋梁位移，這是由于橋軌間為彈性連接，使得橋梁和軌道的振動不同；當列車速度大于175 km·h-1時，橋上軌道的最大位移受波長1～5 m軌道不平順的影響較大；橋上軌道振動加速度對波長為0.03～1 m的短波軌道不平順很敏感。

列車中間車輛的車體最大振動加速度響應如圖10所示。由圖10可見，列車高速通過時，波長為0.03～1 m的軌道不平順對車體的振動加速度影響很小，說明車輛的懸掛系統(tǒng)很好地隔離了短波軌道不平順激起的高頻振動；在5～30 m波長中的3個子波長軌道不平順對車體振動加速度的影響隨列車速度的增加而增大。

圖9　左中跨跨中軌道最大響應

圖10　中間車輛的車體最大振動加速度

圖11為中間車輛1位輪對的最大輪軌接觸力響應。由圖11可見，1位輪對的輪軌接觸力主要受波長小于5 m的2種波長區(qū)間不平順控制，當列車速度小于175 km·h-1時，受波長為0.03～1 m的短波軌道不平順影響更大；而當列車速度大于175km·h-1時，1位輪對的輪軌接觸力對1～5 m波長的軌道不平順更為敏感。

圖11　中間車輛的1位輪對最大輪軌接觸力

5　結(jié)　論

(1) 在車—線—橋耦合振動有限元分析中軌道單元的長度對系統(tǒng)動力響應的影響很大，軌道單元的長度選取不當甚至會導致計算結(jié)果不可靠。采用本文提出的基于橋梁施工節(jié)段長度的車—線—橋耦合系統(tǒng)有限元模型進行車—線—橋耦合系統(tǒng)的振動分析，能夠得到滿意的計算精度和計算效率。

(2) 生成的軌道不平順時域樣本的功率譜密度和解析值基本一致，說明對軌道不平順功率譜密度函數(shù)進行逆傅里葉變換生成任意波長軌道隨機不平順的方法是合理、有效的。

(3) 橋梁位移對軌道不平順不敏感。高速行車時，橋梁振動加速度、軌道位移和列車中間車輛1位輪對輪軌接觸力的敏感軌道不平順波長區(qū)間均為1～5 m；波長為0.03～1 m的短波軌道不平順對軌道振動加速度的影響很大，但對中間車輛車體振動加速度的影響很小，而其他子波長區(qū)間不平順對中間車輛車體振動加速度的影響均較大。

(4) 高速鐵路養(yǎng)護維修中應重點關(guān)注5 m以下波長的軌道不平順；為提高乘坐舒適性，有必要對中長波的軌道不平順進行控制。

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