車軌耦合振動中4種輪軌豎向接觸模型的適用性比較分析

楊靜靜，張　楠，夏　禾

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044)

在既有車軌耦合振動的研究中，一般以剛體動力學方法建立車輛子系統，以有限元法建立軌道子系統，車輛子系統與軌道子系統通過一定的輪軌接觸模型相互聯系。

目前，輪軌豎向接觸模型共有2種：Hertz非線性接觸模型[1-3]和輪軌豎向密貼模型[4-6]。Hertz非線性接觸模型對法向輪軌力描述精確，然而由于輪軌間是非線性關系，需采取較小的時間步長進行迭代求解，導致對車軌系統的動力方程計算緩慢[7]。輪軌豎向密貼模型對輪軌關系的處理較為簡便，然而列車運行時總無法避免出現瞬間的輪軌分離現象，此時輪軌豎向密貼模型則不能較為準確地予以描述[8]。

Dinh-Van Nguyen提出線性近似Hertz接觸模型，定義豎向輪軌力等于輪軌豎向接觸剛度與輪軌接觸點處法向彈性壓縮量的乘積，其中輪軌豎向接觸剛度為常數。Dinh-Van Nguyen給出的輪軌豎向接觸剛度與豎向輪軌力的表達式分為2種情況：①當車軌系統不考慮軌道不平順時，豎向輪軌力與靜輪重大致相等，此時輪軌豎向接觸剛度可以依據靜輪重給出；②當車軌系統需要考慮軌道不平順時，豎向輪軌力則比靜輪重高很多，此時由于輪軌接觸點處的法向彈性壓縮量一般低于2 mm，Dinh-Van Nguyen給出的輪軌豎向接觸剛度的建議范圍為4.602～4.602 GN·m-1[9]。Dinh-Van Nguyen提出的線性近似Hertz接觸模型雖然簡化了豎向輪軌力的計算，然而當車軌系統需要考慮軌道不平順時，用于確定豎向輪軌力的輪軌豎向接觸剛度并不是確定的常數，因此輪軌豎向接觸剛度的選取將影響著豎向輪軌力的計算精度。

本文為進一步簡化豎向輪軌力的計算，對豎向輪軌力的表達式進行統一，將Hertz非線性接觸模型的函數曲線總是以經過某點的直線進行替代。本文提出2種線性近似Hertz接觸模型：① 經過Hertz非線性接觸模型函數曲線上點的割線，下文簡稱為“割線線性近似模型”；②經過Hertz非線性接觸模型函數曲線上點的切線，下文簡稱為“切線線性近似模型”，如圖1所示。

圖1　Hertz非線性接觸模型及其線性近似模型的函數曲線

針對Hertz非線性接觸模型、輪軌豎向密貼模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型，本文以雙塊式無砟軌道為例，比較這4種輪軌豎向接觸模型對車軌系統動力響應的影響。

1　車軌系統方程及求解方法

車軌耦合動力系統包含車輛、軌道兩部分，車輛與軌道之間用輪軌關系相關聯。車軌系統的坐標系定義如下：x軸為列車前進方向，z軸為豎直向上，y軸依右手螺旋法則確定，繞3個坐標軸的轉動自由度依次記為θ，φ和Ψ。假定車輛運行速度在所研究時間范圍內保持不變，則車軌系統不存在縱向相互作用力，本文也忽略車軌的橫向相互作用力，以下僅討論車軌系統的豎向耦合振動。

1.1　車輛

單節車輛的豎向動力方程為

(1)

式中：mV，CV和KV分別為單節車輛的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，可基于Lagrange方程[4-6]或達朗貝爾原理求得[1-3]；ZV為單節車輛的豎向位移向量；FV為單節車輛所受的豎向力向量，即豎向輪軌力。

在只考慮車輛的豎向平面運動時，單節4軸機車共有10個自由度，其中，車體、轉向架各有沉浮和點頭2個自由度，每個輪對有沉浮1個自由度。對于輪軌豎向密貼模型，輪對的自由度不獨立。

具有4個輪對的車輛結構側視圖如圖2所示。

圖2　4個輪對車輛模型側視圖

1.2　軌道

雙塊式無砟軌道主要由鋼軌、扣件(包括軌下膠墊)、預制的雙塊式軌枕、混凝土道床板等組成。由文獻[2]可知，對于雙塊式無砟軌道，由于軌枕與混凝土道床板完全聯結在一起，軌下基礎的質量很大，道床板與混凝土底座之間基本沒有彈性，故軌道的彈性主要靠軌下膠墊提供，雙塊式無砟軌道的振動主要體現為鋼軌的振動，因此在用有限元法建立路基上雙塊式無砟軌道振動模型時，僅需考慮鋼軌。雙塊式無砟軌道的振動模型如圖3所示。

圖3雙塊式無砟軌道振動模型

采用有限元法建立鋼軌的豎向動力方程為

(2)

式中：mR，CR和KR分別為鋼軌的總體質量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；ZR為鋼軌的豎向位移向量；FR為車輛作用于鋼軌的豎向力向量。

MR和KR可由有限元法求得，CR可由比例阻尼法求得。

只考慮鋼軌的豎向平面運動時，單個鋼軌節點有豎向及相應彎曲自由度共2個自由度。

1.3　軌道不平順激勵

軌道不平順指用來支承和引導車輪的軌道接觸面沿軌道方向與理論平順軌道面之間的偏差，包括軌向不平順、高低不平順和水平不平順。

分析車軌系統的豎向平面運動時，只考慮高低不平順。為避免隨機不平順規律的不確定性，本次采用正弦波型不平順激勵，分析不平順中不同波長、不同振幅的影響。正弦波型不平順δ(x)的表達式為

(3)

式中：A為不平順幅值；L為不平順波長。

1.4　豎向輪軌力

1.4.1輪軌豎向密貼模型

輪軌豎向密貼模型假定輪對與鋼軌在豎向上始終不分離，輪對運動可表示為鋼軌運動和軌道不平順附加運動的代數和。輪軌豎向密貼模型根據輪對的運動平衡方程求取垂向輪軌力。單節車輛1位輪對的豎向輪軌力Fw1和2位輪對的豎向輪軌力Fw2分別為

(4)

(5)

式中：Fwg為每個輪對平均受到的整節車輛的靜輪重；mw為每個輪對的質量；zw1和zw2分別為單節車輛1位輪對和2位輪對的沉浮自由度；zt1和φt1分別為單節車輛前轉向架的沉浮和點頭自由度；kz1和cz1分別為一系彈簧阻尼器左右兩側的垂向剛度和垂向阻尼系數之和；d為轉向架軸距之半。

1.4.2Hertz非線性接觸模型

Hertz非線性接觸模型下每個輪對的豎向輪軌力Fw均根據Hertz非線性理論確定，即

(6)

式中：G為輪軌接觸常數，對于錐形踏面車輪G=4.57R-0.149×10-8m·N-2/3，R為車輪半徑，對于磨耗型踏面車輪G=3.86R-0.115×10-8m·N-2/3；Δ為輪軌接觸點的法向彈性壓縮量。

當僅考慮輪軌垂向振動時，輪軌法向彈性壓縮量即為輪對與鋼軌的垂向相對位移，Δ包括輪軌間因靜輪重Fwg引起的靜壓縮量Δ0在內。

1.4.3割線線性近似模型

以割線線性近似模型代替Hertz非線性模型(見圖1)時，輪軌豎向接觸模型被視為滿足Fw=ksΔ形式的線性彈簧(ks為割線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度)，滿足Fwg=ksΔ0。割線線性近似模型下每個輪對的豎向輪軌力Fw為

Fw=ksΔ=ks(Δ0+Δ′)=Fwg+ksΔ′

(7)

式中：Δ′為輪軌接觸點的法向彈性總壓縮量與靜壓縮量之差。

1.4.4切線線性近似模型

從數學意義上講“以直代曲”時，一般取曲線過某點的切線。以切線線性近似模型代替Hertz非線性模型(見圖1)時，輪軌豎向接觸模型被視為滿足Fw=ktΔ+b形式的線性彈簧(kt為切線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度,b為截矩)，滿足Fwg=ktΔ0+b。切線線性近似模型下每個輪對的豎向輪軌力Fw為

Fw=ktΔ+b=kt(Δ0+Δ′)+b=Fwg+ktΔ′

(8)

其中，

1.5　車軌系統方程及求解

將車輛運動方程、軌道運動方程、豎向輪軌力組合在一起，即可構成車軌系統的動力平衡方程

(9)

式中：Kq和Fq分別為由豎向輪軌力引起的車軌系統附加剛度矩陣、附加輪軌力。

輪軌垂向力的計算與輪軌相對位移相關，而使用有限元法對鋼軌進行動力分析時，只能得到每個時刻鋼軌各個節點的位移。因此求解輪軌接觸點處的鋼軌位移需要根據輪對所在位置鋼軌單元兩端節點的位移通過形函數插值求得[3]。設輪軌接觸點距某一鋼軌單元節點i和j的距離分別為l1和l2，單元總長度為l，l1/l=q；i和j節點的豎向位移及彎曲角位移分別為zi，φi，zj和φj，如圖4所示。因此輪軌接觸點處的鋼軌豎向位移zR為

zR=fzizi+fφiφi+fzjzj+fφjφj

(10)

其中，

fzi=1-3q2+2q3

fφi=l(-q+2q2-q3)

fzj=3q2-2q3

fφj=l(q2-q3)

式中：f為梁單元位移的分布形函數。

圖4　輪軌接觸點位置示意圖

鋼軌所受的輪軌力不一定作用在鋼軌的節點上，可按照結構力學的矩陣位移法將非節點豎向輪軌力Fw轉化為鋼軌節點荷載Fi，Mi，Fj和Mj，如圖5所示。

圖5　鋼軌單元豎向等效節點荷載示意圖

Fi=fziFw

(11)

Mi=fφiFw

(12)

Fj=fzjFw

(13)

Mj=fφjFw

(14)

由于豎向輪軌力Fw與輪軌相對位移Δ(即zR-zw)相關，zR為i和j節點的豎向位移及彎曲角位移zi，φi，zj和φj的函數，故鋼軌節點荷載Fi，Mi，Fj和Mj也均為zw，zi，φi，zj和φj的函數。將Fw，Fi，Mi，Fj和Mj表達式中與自由度zw，zi，φi，zj和φj相關的項移至方程(9)的左邊，得到Kq與Fq分別為

Kq=

(15)

(16)

式中：k為割線線性近似模型或切線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度，而Hertz非線性接觸模型隨時間變化的k在本質上與割線線性近似模型和切線線性近似模型相同。

對于車軌系統動力平衡方程的求解，若輪軌關系滿足線性條件，同振型疊加法相比，采用直接剛度法則更為簡便。因此本文采用直接剛度法求解車軌系統的動力平衡方程。由于輪軌豎向密貼模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型均滿足線性輪軌關系，因此在求解車軌系統的整體動力方程時，可避免時間步內2個子系統間的迭代，提高計算效率與計算精度。而Hertz非線性接觸模型滿足非線性輪軌關系，求解車軌系統的整體動力方程時需要迭代并將前后迭代步所有輪對的豎向輪軌力相對誤差低于0.001作為收斂判斷。

2　4種輪軌豎向接觸模型的對比分析

在僅對豎向平面運動進行分析時，車軌耦合系統的動力指標主要包括車輛運行平穩性指標(車體豎向加速度)、車輛運行安全性指標(輪重減載率)、軌道動態變形指標(鋼軌垂向動態位移[1])。其中，輪重減載率為減載側車輪的輪重減載量(即輪對的平均靜輪重與減載側車輪的豎向輪軌力之差)與輪對的平均靜輪重之比，為簡明起見，輪重減載率以最小輪軌力代替。

考慮到輪軌豎向密貼模型與Hertz非線性接觸模型的不同主要體現為輪對運動，故本文選取輪對豎向加速度及其輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度進行對比分析。

2.1　動力響應

以雙塊式無砟軌道為例，分別采用4種不同的輪軌豎向接觸模型，計算單節車輛以250 km·h-1速度通過軌道系統時的車體豎向加速度、豎向輪軌力、鋼軌豎向位移、輪對豎向加速度、輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度。其中，鋼軌考慮570個扣件范圍，扣件間距為0.65 m，為保證鋼軌的計算精度，經試算，本文將每個扣件間距分割為10個單元；采用4種不同的輪軌豎向接觸模型時均采用0.1 ms的時間步長，計算時間為5 s；為避免隨機不平順規律的不確定性，采用正弦波型不平順激勵，分析不平順中不同波長、不同振幅的影響，波長分別取2, 4和8 m，幅值分別取0.2，0.5和0.8 mm。車輛與鋼軌的結構參數見表1。

表1　車輛與結構的計算參數

各動力指標的計算結果如圖6—圖10所示。其中，對于輪軌豎向密貼模型，輪對豎向加速度及其輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度等價。

圖6　不同不平順波長與幅值時車體最大豎向加速度

由圖6可知：采用4種輪軌豎向接觸模型計算的車體最大豎向加速度基本相同，波長為4 m時車體最大豎向加速度最小。

圖7　不同不平順波長與幅值時最小豎向輪軌力

由圖7可知：采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計算的最小豎向輪軌力與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型計算的結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。為偏安全考慮，建議采用Hertz非線性接觸模型及割線線性近似模型和切線線性近似模型。

圖8　不同不平順波長與幅值時鋼軌最大豎向位移

由圖8可知，采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計算的鋼軌最大豎向位移與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

圖9　不同不平順波長與幅值時1位輪對最大豎向加速度

由圖9可知：采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計算的輪對最大豎向加速度與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

圖10不同不平順波長與幅值時1位輪對輪軌接觸點處鋼軌最大豎向加速度

由圖10可知：采用切線線性近似模型計算的輪軌接觸點處鋼軌最大豎向加速度與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，采用割線線性近似模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏小，而采用輪軌豎向密貼模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

2.2　輪軌振動的頻譜分析

以正弦型不平順波長4 m、幅值0.5 mm為例，4種不同輪軌豎向接觸模型下各動力指標的時程曲線如圖11—圖15所示。

圖11　車體豎向加速度時程曲線

圖12　1位輪對豎向輪軌力時程曲線

圖13　1位輪對輪軌接觸點處鋼軌豎向位移時程曲線

圖14　1位輪對豎向加速度時程曲線

圖151位輪對輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度時程曲線

由圖11—圖15可知，4種不同輪軌豎向接觸模型下各動力指標具有相同的頻譜成分。

考慮到輪軌豎向密貼模型與Hertz非線性接觸模型的不同主要體現為輪對運動，故以正弦型不平順波長4 m、幅值0.5 mm為例，分析Hertz非線性接觸模型下輪對豎向加速度及其輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度的頻譜成分，分析結果如圖16和圖17所示。

圖16　1位輪對豎向加速度功率譜

圖17　1位輪對輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度功率譜

由圖16可知，輪對振動的卓越頻率為17.1 Hz。由圖17可知，1位輪對輪軌接觸點處鋼軌振動的卓越頻率為17.1和107.4 Hz。

當輪對周期性通過正弦波型不平順的軌道時，輪對及其輪軌接觸點處鋼軌的振動頻率為1/(波長/車速)=1/(4×3.6/250)=17.4 Hz，接近17.1 Hz。

鋼軌扣件間距為0.65 m，當輪對周期性通過鋼軌時，輪對及其輪軌接觸點處鋼軌的振動頻率為1/(扣件間距/車速)=1/(0.65×3.6/250)=106.8 Hz，接近107.4 Hz。然而由于輪對質量遠大于鋼軌質量，此頻率對輪對豎向加速度的作用并不顯著，而對輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度具有顯著影響。因此，輪軌豎向密貼模型假定輪對與鋼軌在豎向上始終不分離，會導致在高頻段的計算有較大誤差。

圖16與圖17顯示，當輪對周期性通過正弦波型不平順的軌道時，輪對及其輪軌接觸點處鋼軌的振動共有卓越頻率為17.1 Hz。然而，兩者在此頻率上的功率譜密度幅值卻存在顯著差別，這說明車輛運行過程中輪對與其輪軌接觸點處鋼軌的振動是不同的。

2.3　時間步長的適應條件

由于Hertz非線性接觸模型滿足非線性輪軌關系，因此只能在2個系統間迭代求解，為有條件收斂；而另外3種輪軌接觸模型滿足線性輪軌關系，因此可將車輛、軌道子系統整合為統一的線性系統，若采用Newmark-β法求解，為無條件收斂。

為分析4種輪軌豎向接觸模型對時間步長的適應條件，計算多種軌道不平順下各輪軌接觸模型在不同時間步長下的輪軌力，并以時間步長0.1 ms、Hertz非線性接觸模型的輪軌力為基準值，計算不同軌道不平順下各時間步長、各輪軌接觸模型的標準差。其中，正弦型不平順波長分別取2, 4和8 m，幅值分別取0.2，0.5和0.8 mm；對于相同的計算時間5 s，分別取時間步長為10，5，1，0.5和0.1 ms。輪軌力標準差e的計算公式為

(17)

式中：Fw,bi為時間步長取0.1 ms且用Hertz非線性接觸模型求得的第i時間步時的輪軌力；Fw,ei為采用其他時間步長和其他線性輪軌接觸模型求得的第i時間步時的輪軌力。

輪軌力標準差的計算結果如圖18所示。

圖18　不同波長、不同幅值正弦波型軌道不平順條件下的輪軌力標準差

由圖18可知：輪軌豎向密貼模型在各種軌道不平順狀態下隨著時間步長的改變，輪軌力標準差均較大且未出現顯著改變；采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型，當軌道不平順波長為2 m、時間步長低于10 ms時，輪軌力標準差比較小；當軌道不平順波長為4與8 m、時間步長低于1 ms時，輪軌力標準差比較小。綜合考慮軌道不平順的各個波段，當時間步長低于1 ms時，采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型的計算誤差均是可以接受的。切線線性近似模型與Hertz非線性接觸模型計算的輪軌力標準差基本相同，也驗證了切線線性近似模型替代Hertz非線性接觸模型的可行性。

3　結　論

(1)對于車體豎向加速度，采用4種輪軌豎向接觸模型的計算結果基本相同。

(2)對于豎向輪軌力、鋼軌豎向位移及輪對豎向加速度，采用割線線性近似模型和切線線性近似模型的計算結果與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。為偏安全考慮，建議采用Hertz非線性接觸模型及割線、切線線性近似模型。

(3)對于輪軌接觸點處鋼軌豎向加速度，采用切線線性近似模型的計算結果與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，采用割線線性近似模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏小，而采用輪軌豎向密貼模型的計算結果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

(4)綜合各動力指標，無論是否存在軌道不平順，切線線性近似模型可替代Hertz非線性接觸模型進行計算，且切線線性近似模型滿足線性輪軌關系，在求解車軌系統的整體動力方程時，可避免時間步內2個子系統間的迭代，提高計算效率與計算精度。

(5)當輪對周期性通過正弦波型不平順軌道時，輪對及其輪軌接觸點處鋼軌的振動在其共有卓越頻率上的功率譜密度幅值存在顯著差別，表明車輛運行過程中輪對與其輪軌接觸點處鋼軌的振動是不同的。由于輪軌豎向密貼模型假定輪對與鋼軌在豎向上始終不分離，因此會導致在高頻段的計算有較大誤差。

(6)綜合考慮軌道不平順的各個波段，當時間步長低于1 ms時，采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型的計算誤差均是可以接受的。

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