寒區隧道溫度場的時空演化規律及溫控措施研究

周小涵，曾艷華，范　磊，周曉軍

(1.西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都　610031；2.中鐵大橋勘測設計院集團有限公司，湖北 武漢　430050；3.中鐵二院工程集團有限責任公司 土建一院隧道所，四川 成都　610031)

寒區隧道溫度場的準確預測有助于設計者選擇合適的防寒抗凍措施。國內學者對多條寒區隧道進行了溫度場的現場監測及研究[1-5]。張耀等[6-7]通過對隧道現場實測氣溫資料的整理，建立了圓形隧道傳熱方程，得到了寒區有隔熱層的圓形隧道溫度場解析解和簡化計算方法。肖琳等[8]利用模型試驗，探討了地鐵隧道圍巖內部溫度場的分布規律。M.Krarti等[9]根據能量守恒原理獲得了地下風洞內氣體溫度場的解析解。YM Lai等[10]采用攝動技術，通過無量綱法推導出圓形隧道凍結過程溫度場的解析解。Prashant K J等[11]，Suneet S[12]等利用疊加原理和分離變量方法得到了圓形斷面隧道在考慮溫度隨坐標變化的對流邊界條件下瞬態溫度場的解析解。夏才初等[13]計算了考慮襯砌和隔熱層的寒區隧道溫度場解析解。陳功勝[14]研究了巷道圍巖調熱圈半徑及溫度場分布規律。江亦元[15]和王引生[16]分別對寒區昆侖山隧道的排水系統進行了保暖的探討和試驗研究。這些研究得到了關于寒區隧道溫度場的解析計算公式及隔熱層簡化計算方法，而以隧道洞口風溫及洞內風速為邊界條件，同時考慮空氣、襯砌、保溫隔熱層和圍巖的對流換熱和熱傳導耦合作用的研究還未見報道。

本文推導寒區隧道圍巖—襯砌—氣流的非穩態熱傳導的有限差分方程，以在建的牡綏鐵路綏陽隧道為例，計算分析寒區隧道溫度場隨通風時間的變化規律以及隔熱層對寒區隧道溫度場的影響規律等；并與現場的實測溫度場對比，驗證有限差分方程的準確度。

1　理論推導

在寒區隧道圍巖—襯砌—氣流傳熱系統中，冷空氣與隧道襯砌和圍巖進行熱交換，引起隧道圍巖溫度的降低。能量交換存在熱傳導、對流換熱和熱輻射3種方式：圍巖與隧道襯砌之間的能量交換屬于熱傳導；襯砌與隧道內氣流之間的傳熱則既含有對流換熱，又有熱輻射，相對于對流換熱而言，熱輻射引起的熱量傳遞很小，在此忽略不計；同時隧道內的氣流自身也存在熱交換，這種熱交換使得隧道內的氣流溫度趨于平均分布。故隧道圍巖—襯砌—氣流系統的傳熱過程主要是指圍巖與隧道襯砌的熱傳導和隧道襯砌與氣流之間的對流換熱。

1.1　隧道溫度場的控制方程

隧道溫度場計算模型如圖1所示，圖中R為隧道洞室當量半徑。

圖1　隧道溫度場計算模型

隧道溫度場的形成及重新調整屬于熱傳導過程，笛卡爾坐標系中三維非穩態熱傳導微分方程的一般形式[17]為

(1)

式中：ρ為襯砌或圍巖的密度，kg·m-3；cp為襯砌或圍巖的恒壓比熱容，J·(kg·℃)-1；λ為襯砌或圍巖的導熱系數， W·(m·℃)-1；t為襯砌或圍巖內部任一點的溫度，℃；τ為通風時間，s；φ為單位時間內通過某一給定面積的熱量，W。

隧道圍巖的徑向傳熱量遠大于其軸向[13]，隧道斷面面積相對于研究區域很小，洞內氣溫只沿隧道軸線方向變化；假定圍巖的導熱系數λ為常數，溫度場是無內熱源的穩態分布；則微分方程(1)可轉化為如下柱坐標系下的計算方程。

(2)

式中：r為襯砌或圍巖中任一點到隧道中心的距離，m。

1.2　隧道溫度場計算模型的離散化

隧道貫通后，受到氣流溫度影響的圍巖厚度(調熱圈)增大，并最終到達極限值。隧道斷面內非穩態傳熱分析基于如下假定：隧道橫斷面為圓形，其直徑采用當量直徑；對于圍巖和每一種襯砌而言，都為獨立的、各向同性的、均勻的連續介質；在計算零時刻，襯砌溫度等于圍巖原始溫度，圍巖原始溫度沿徑向不變；隧道內氣流與壁面發生對流換熱。

沿徑向，將二襯、初支和隔熱層按等厚劃分網格。為計算精確且節省時間，將隧道外圍巖區域劃分為2部分，如圖2所示。第1部分為D1(r≤10R)，步長為Δr1；第2部分為D2(r>10R)，步長為Δr2，Δr1<Δr2。圖2中：節點1為對流邊界，節點6，8，13為復合材料傳熱邊界，節點14為圍巖內部的點。

圖2　斷面內差分節點劃分示意圖

1.3　有限差分方程

1.3.1圍巖溫度的近似表達式

用偏微分方程的替代法建立中心有限差分方程，求出其一階、二階偏導數并代入式(2)中，可得圍巖內部節點j(j≥14)的溫度tj, n+1的近似計算式為

(3)

其中，

式中：tj,n+1為節點j在n+1時刻的溫度，℃；Fo為傅里葉準數；Δri為距離步長，m；Δτ為時間步長，s。

1.3.2對流邊界節點溫度的近似表達式

節點1為對流邊界條件，其傳熱模型如圖3所示，θ為所取區域范圍的夾角，弧度。

根據能量守恒定律，節點1單元控制體積吸收的熱量等于其增加的內能，則有

圖3　對流換熱模型

(4)

其中，

Qf-1=h(tf-t1,n)Rθ

式中：Qf-1為風流向對流邊界的導熱量；Q2-1為襯砌向對流邊界的導熱量；t1,n+1為節點1在n+1時刻的溫度，℃；t1,n為節點1在n時刻的溫度，℃；t2,n為節點2在n時刻的溫度，℃。tf為風流溫度，℃；h為對流換熱系數，W·(m2·℃)-1。

整理式(4)可得對流邊界節點1的溫度t1,n+1近似計算式

(5)

其中，

式中：Bi為畢奧數。

1.3.3復合材料交界點處節點溫度的近似表達式

節點兩側的距離步長、傳熱介質的熱物性參數均不相同，其節點溫度按能量守恒法推導。其傳熱模型如圖4所示。

復合材料交界節點j所在的單元控制體積內包含了2種材料，對于非穩態問題，須求出ρcp項的當量值，其值可由下式給出。

(6)

其中，

圖4　復合材料交界處傳熱模型

式中：u和v分別為單元控制體中介質1和2的體積；Δra為a種介質步長；Δrb為b種介質步長；rj為節點j距隧道中心的距離。

根據能量守恒定律可得

(7)

式中：Qa-j為介質a向節點j的導熱量；Qb-j為介質b向節點j的導熱量。

整理可得復合材料交界點處節點j(節點6、節點8、節點13)的溫度tj,n+1的近似計算式為

(8)

2　實例分析

2.1　溫度實測斷面和測點的選取

以牡綏線鐵路改造工程中在建的綏陽隧道為例展開研究。綏陽隧道于2013年9月貫通，長度為6 170 m(DK491+549—DK497+719)。2015年1月對隧道內的風速、風向和溫度場進行了實測。測試斷面沿隧道縱向分布，自DK491+770起每隔250 m左右設置1個測試斷面，每個測試斷面內布置5個測點，其位置如圖5所示。使用機械風表對隧道內的風速和風向進行了實測。測試結果為：綏陽隧道內的平均自然風速約為3.8 m·s-1，其值為隧道正中測點和隧道排水溝上部測點的平均值；風向都是自小里程端吹向大里程端。使用紅外線測溫儀GM1150對隧道斷面二襯4個測點的溫度進行實測，使用溫度記錄儀Testo174T對隧道保溫側溝的溫度進行實測。

圖5　隧道斷面內測點分布圖

2.2　計算參數的選取及溫度場的計算

應用式(3)、式(5)和式(8)計算隧道貫通后的溫度場。選擇洞內距離小里程端洞口2 211 m(DK493+760)斷面(簡稱為計算斷面)上的溫度進行分析。

根據當地的地層溫度梯度3 ℃·(100 m)-1和隧道斷面埋深得出計算斷面上原始巖溫tw=9.35 ℃。隧道斷面的等效水力半徑R′=2.5 m，即當量半徑R=5 m。參考關于對流換熱系數的實驗研究[18]，取對流換熱系數h=15.9 W·(m2·℃)-1。斷面各介質材料參數見表1。

表1　介質材料參數

對綏陽隧道所在綏芬河地區自該隧道貫通時起至溫度實測時止的氣流溫度進行統計分析，得出風流溫度tf(℃)隨時間i(自隧道貫通之日開始統計的天數)變化的關系，并根據實測隧道內氣溫對洞口風流溫度隨時間的變化函數進行修正，修正后的計算斷面處風流溫度的計算公式見式(9)，可見風流溫度變化曲線為正弦曲線。

(9)

在隔熱層厚度為0(即無隔熱層)的條件下，徑向距離分別取5.0，5.6，12.6，22.6，32.6，42.6，52.6 m(其中，徑向距離5.0 m對應于對流換熱節點1，徑向距離5.6 m對應于初支與圍巖交界的節點，徑向距離12.6～52.6 m分別對應于圍巖內部的5個節點)，計算自隧道貫通時起共24個月的隧道計算斷面沿徑向各點的各月平均溫度隨貫通時間的變化，如圖6所示。

圖6　隧道計算斷面徑向各點溫度隨貫通時間的變化曲線

由圖6可知：隧道貫通后，隨著時間的推移，距離襯砌表面一定范圍內襯砌和圍巖溫度的變化曲線也為正弦曲線，與風流溫度的相同；越往斷面徑向深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅(最高溫與最低溫之差)劇烈衰減，在r≈10R時，振幅衰減為0，深度繼續增加，圍巖溫度不再隨氣流溫度作周期性變化。

2.3　溫度場的實測值與計算值的對比

在隧道貫通后第455天，計算斷面上測點1到測點4的溫度實測值分別為-8.300，-8.600，-8.675，-9.125 ℃，這4個測點的實測平均值為-8.675 ℃；保溫側溝測點的溫度實測值為-5.080 ℃。此時計算斷面的計算值(圖2中的節點1)為-9.050 ℃，計算斷面襯砌背后圍巖(圖2中的節點13)的溫度計算值為-5.555 ℃。

對比計算斷面的實測溫度與計算溫度可知：測點1(拱頂)的溫度最高，測點4(軌面)的溫度最低；從拱頂到軌面(測點1到測點4)的溫度逐漸降低，且這4個測點的溫度平均值與測點3(拱腰)的溫度接近；溫度的計算值低于4個測點的實測平均值約0.375 ℃，但滿足工程使用精度要求；保溫側溝測點的溫度高于4個測點的實測平均值約3.595 ℃，經查，與計算斷面襯砌背后圍巖溫度接近，保溫側溝測點的溫度高出計算斷面襯砌背后圍巖溫度約0.475 ℃。

3　加設隔熱層對溫度場的影響

選用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱材料，該材料的密度為ρ=370 kg·cm-3，恒壓比熱容為cp=1 500 J·(kg·℃)-1，導熱系數為λ=0.021 5 W·(m·℃)-1。圍巖初始溫度取tw=12℃，參考隧道內最冷月平均溫度選取恒定風溫tf=-11.8 ℃。隔熱材料分為2種鋪設方式：中隔式(在初支和二襯之間)，外貼式 (在二襯表面)。隔熱層厚度分別取0(無隔熱層)，0.03， 0.05， 0.07， 0.09， 0.10 m。取連續30 d的計算斷面溫度進行分析，不同工況下隔熱層對隧道二襯背后節點(圖2中的節點6)溫度場的影響如圖7和圖8所示。選取2種鋪設方式中分別設置0.03和0.05 m厚隔熱層后隧道二襯背后節點(圖2中的節點6)的溫度進行對比，如圖9所示。

圖7不同厚度的中隔式隔熱層對隧道二襯背后節點溫度的影響

圖8不同厚度的外貼式隔熱層對隧道二襯背后節點溫度的影響

由圖7和圖8可知：采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區隧道襯砌和圍巖溫度；隔熱層厚度越大，二襯背后初襯以及圍巖的降溫越慢；隔熱層厚度為0.05 m左右時，工作效率最高；厚度大于0.07 m后，繼續增加厚度所提升的保溫效果不再顯著，通過增加隔熱層厚度來提高隧道襯砌和圍巖溫度的效果也是有限的。

如圖9可知：外貼式和中隔式隔熱層均能起到較好的保溫效果；相比較而言，對于二襯背后節點溫度，鋪設0.03 m厚的隔熱層時，外貼式比中隔式高0.36 ℃左右，鋪設0.05 m厚的隔熱層時，外貼式比中隔式高0.45 ℃左右，可見外貼式的保溫效果更好。考慮到外貼式隔熱層便于維護和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此，在施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

圖9不同隔熱層鋪設方式及厚度對隧道二襯背后節點溫度的影響

4　結　論

通過推導寒區隧道斷面內非穩態熱傳導的有限差分方程，得到了隧道襯砌及圍巖的溫度場數值解，通過對寒區隧道溫度場的計算和現場溫度實測及保溫隔熱材料的分析，得到以下結論。

(1)隧道貫通后，隨著時間的推移，距離襯砌表面一定范圍內襯砌和圍巖溫度的變化曲線與風流溫度的相同；往斷面徑向越深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅劇烈衰減，在r≈10R時，振幅衰減為0，深度繼續增加，圍巖溫度不再隨氣溫做周期性變化。

(2)隧道二襯拱頂處的溫度最高，軌面處的溫度最低，從拱頂到軌面的溫度逐漸降低，各測點溫度的平均值與拱腰處的溫度接近；二襯溫度的計算值稍低于實測平均值，但滿足工程使用精度要求。保溫側溝處的溫度與計算襯砌背后圍巖溫度接近。

(3)采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區隧道襯砌和圍巖溫度。隔熱層厚度為0.05 m左右時，工作效率最高；厚度大于0.07 m時，繼續增加厚度所提升的保溫效果不再顯著。

(4)計算表明，外貼式和中隔式隔熱層均能起到良好的保溫效果，而外貼式的保溫效果更優；同時，考慮到外貼式隔熱層便于維護和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此在材料及施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

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