環間錯臺效應下基坑開挖引起臨近地鐵盾構隧道變形的能量計算法

周順華，何　超，肖軍華

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海　201804；2.同濟大學 交通運輸工程學院，上海　201804)

隨著地鐵規模的不斷擴大，臨近運營地鐵隧道的基坑工程日益增多，以2014年9月對杭州地鐵1號線保護區內的施工活動巡查為例，沿線施工的基坑數量多達19個[1]。基坑開挖會直接引發臨近運營地鐵盾構隧道的不均勻變形，由此惡化輪軌動力相互作用關系，加速隧道結構性能損傷甚至失效，如盾構隧道管片破壞、結構滲漏水、軌下支承塊及道床破裂、鋼軌斷裂等，對地鐵運營安全造成嚴重威脅。為此上海市地鐵沿線建筑施工保護地鐵技術管理暫行規定[2]：地鐵結構最終絕對位移不能超過20 mm。故研究基坑開挖對臨近運營地鐵隧道的影響具有重要的實用價值。

針對此類工程問題，國內外一些學者已進行了相關研究[3-16]。文獻[3，4]結合工程實測數據，分析了暗挖車站及盾構隧道施工引起的臨近既有地鐵隧道變形規律；文獻[5，6]利用實測數據，推導了基坑開挖卸荷引起臨近隧道豎向位移的經驗計算公式；文獻[7—14]結合具體工程案例，采用有限單元法對周邊施工活動引起的臨近隧道變形進行數值模擬，將土體和隧道作為一個整體，模擬土體的彈塑性和土—隧道間復雜的相互作用特性；文獻[15，16]利用Mindlin解并結合彈性地基梁理論，推導了求解基坑和隧道開挖引起臨近地鐵隧道變形的彈性地基梁法。綜上所述，目前的研究方法可分為經驗公式法、有限單元法、彈性地基梁法。經驗公式需依靠大量實測數據，使用范圍受數據來源限制；有限單元法計算的準確性在很大程度上取決于土體本構模型及參數的選取，且計算量大、建模復雜，需要專業軟件；彈性地基梁法屬于解析方法，通常采用差分法求解四階撓曲微分控制方程，計算過程復雜，需較多的分段數才能達到較好的計算精度，不適宜工程應用。

SHEN W. Y.等[17-19]基于最小勢能原理，提出分析樁頂承受荷載作用時群樁變形和內力的能量變分法，劉曉強等[20]將其應用于分析隧道開挖引起的管線響應。相比有限單元法和彈性地基梁法，該方法具有積分求解簡便、無需對隧道結構進行離散化處理、且容易達到理想的計算精度等優點，便于實際工程中推廣應用。

然而無論彈性地基梁法還是能量變分法，均將隧道或管線視為等效均質彈性地基梁，并假設其沿縱向發生彎曲變形。這種假設對于管線有其合理性，然而盾構隧道在縱向上是由一系列襯砌環通過環間螺栓連接而成的多段式拼裝結構體系，其可能的縱向變形模式有隧道頂、底部剛性張開和環間錯臺，王如路[21]結合工程實例分析得出盾構隧道縱向變形模式為環間錯臺方式，Shui-Long Shen[22]根據上海沉降數據分析也得出相同結論，因此將隧道視為等效均質彈性地基梁的解法顯然與實際情況不符。

本文針對現有研究方法的不足，提出環間錯臺效應下基坑開挖引起盾構隧道變形的能量計算法。利用Mindlin基本解計算基坑開挖卸載引起的盾構隧道附加應力，并通過坐標變換，使得隧道附加應力計算能夠考慮基坑與隧道斜交的情況；然后將盾構隧道襯砌環視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，建立隧道變形計算模型，利用最小勢能原理建立變分控制方程并求解，獲得環間錯臺效應下基坑開挖引起臨近盾構隧道的豎向、水平位移和環間錯臺量。將計算結果與彈性地基梁法和現場實測數據對比，以驗證本文方法的正確性。

1　基坑開挖引起的隧道附加應力

首先作如下假定：①土體為各向同性的半無限彈性體；②基坑開挖會導致基坑底面和側壁的卸載，坑底的應力釋放率取100%，而側壁的釋放應力全部由支撐體系平衡，不作考慮；③不考慮隧道存在對土體附加應力計算的影響。

定義參數：L，B和h分別為基坑開挖的長度、寬度和深度；Z0為隧道軸線的埋深；L0為隧道軸線距離基坑中心的水平距離；D為隧道外徑；γ為土體重度；μ為泊松比；Ω為基坑開挖區域。

當基坑與臨近盾構隧道平行時，兩者的位置關系如圖1所示。

圖1　基坑與臨近隧道位置關系

基于上述假定，基坑開挖的力學效應，理論上可認為是在基坑底部施加豎直向上的均布荷載。以地表處基坑中心為原點建立三維直角坐標系x′y′z′，根據Mindlin基本解[23]可知，在基坑底部某點(ξ,η,h)的荷載(γhdξdη)作用下，引起隧道軸線上點(x′,L0,Z0)的豎向附加應力σz和水平附加應力σy分別為

(1)

(2)

其中，

β1=Z0-h

β2=Z0+h

針對基坑與隧道斜交的情況，則可在兩者平行的基礎上通過坐標變換進行考慮。如圖2所示，隧道軸線上距離基坑中心最近點為(x0′,y0′,z0′)，以該點在平面上的投影點(x0′,y0′, 0)為原點，隧道軸線方向為x軸，與隧道軸線垂直方向為y軸，豎直方向為z軸建立新坐標系xyz。因此隧道軸線上的點在新坐標系xyz中的坐標(x,y,z)可分別按下式由原坐標(x′,y′,z′)得到，即

(3)

式中：θ為斜交夾角，順時針為正，逆時針為負。

圖2　基坑與隧道斜交時計算模型平面投影圖

2　考慮環間錯臺效應的隧道縱向變形計算

2.1　基坑開挖引起臨近盾構隧道的總勢能

將盾構隧道視為一系列由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，基坑開挖會導致盾構隧道發生錯臺變形，由此建立的隧道縱向變形計算模型如圖3所示。任取1環寬為δ編號為m的襯砌環，其所受荷載Fl由3部分組成。①基坑開挖引起的土體附加荷載；②地基抗力；③環間剪切力。Fl可表示為

Fl=Pl(x)-kDsl(x)-kt[wl((m+1)δ)-wl(mδ)]-kt[wl(mδ)-wl((m-1)δ)]

(4)

其中，Pl(x)=Dσl

式中：Pl(x)為隧道受到的土體附加荷載；σl為基坑開挖引起的隧道附加應力， 由式(1)和式(2)確定；l為坐標方向，l=2, 3分別對應于y和z坐標方向，即隧道的水平方向和豎向；sl(x)為地基彈簧的位移， 根據位移協調條件可知sl(x)=wl(x)， 而wl(x)為盾構隧道位移；kt為環間剪切剛度；k為地基基床系數，采用Vesic[24]公式計算；Es為地基土彈性模量；Et為盾構隧道襯砌環的彈性模量；It為慣性矩。

圖3　考慮環間錯臺效應的隧道縱向變形計算模型

根據隧道每環管片受力情況，可得基坑開挖引起的臨近盾構隧道總勢能也由以下3部分組成。

(5)

式中：2N為受基坑開挖影響的隧道襯砌環數。

(6)

(7)

綜合式(5)—式(7)可得基坑開挖引起的臨近盾構隧道總勢能為

(8)

2.2　盾構隧道位移的級數展開

在基坑與隧道斜交情況下，盾構隧道位移并非左右對稱，故將其展開為傅里葉級數時包含正弦和余弦2部分，即

=(Tcn(x)Tsn(x))(AlBl)T

(9)

其中，

Al=(al0al1…aln)T

Bl=(bl1bl2…bln)T

式中：Al和Bl為傅里葉級數中的待求系數矩陣；n為傅里葉級數的展開階數。

2.3　變分控制方程及其求解

將隧道位移展開式(9)帶入式(8)，基于最小勢能原理，對隧道總勢能取極值，即

(10)

對式(10)求解，整理得環間錯臺效應下基坑開挖對臨近盾構隧道影響的變分控制方程為

1)δ)Tsn((m+1)δ))-(Tcn(mδ)Tsn(mδ))]+

(11)

將式(11)化簡并寫成矩陣形式可得

(Kt+Ks)(AlBl)T=(PlcnPlsn)T

(12)

其中，

(Tcn((m+1)δ)-Tcn(mδ)Tsn((m+1)δ)-Tsn(mδ))

式中：Kt為隧道環間剪切剛度矩陣；Ks為土體剛度矩陣。

由式(12)可求得系數矩陣Al和Bl，將其代入式(9)便可求得基坑開挖引起臨近盾構隧道的豎向位移和水平向位移。

任意相鄰襯砌環間錯臺量Δwl的計算公式為

Δwl=wl(mδ)-wl((m-1)δ)

(13)

3　算例分析

選取2個臨近隧道的基坑工程實例，工程概況見表1。

表1　臨近盾構隧道的基坑工程實例

3.1　工程實例1

采用本文方法計算得到工程實例1中上、下行線盾構隧道的豎向位移，如圖4所示；為了驗證本文方法的正確性，將彈性地基梁法的計算結果[15]以及實測數據[10]也繪于圖4中。由圖4可知：本文方法計算得到的與實測的盾構隧道豎向位移變化規律基本一致，均呈明顯的高斯正態分布；相對于彈性地基梁法，本文方法所得的隧道變形槽寬度更小，并且與實測結果更為接近；本文方法計算所得上、下行線隧道最大豎向位移與實測數據的偏差量分別為2.1和4.9 mm，能夠滿足實際工程預測需要。此外，由于本文方法無需對隧道進行離散化處理，具有更高的計算效率。由此說明本文方法可應用于實際工程中估算基坑開挖引起盾構隧道的豎向位移。

采用本文方法并按照考慮和不考慮基坑與隧道斜交2種情況計算隧道的豎向位移，如圖5所示。由圖5(a)可知：對于上行線隧道(位于基坑正下方)，無論是否考慮基坑與隧道斜交，所得的隧道豎向位移曲線基本一致，最大豎向位移僅相差0.3 mm，說明當隧道位于基坑正下方時，斜交角度對隧道縱向位移影響很小，可忽略不計。由圖5(b)可知：對于下行線隧道(距離基坑中心線18 m)，考慮基坑與隧道斜交與否，所得的盾構隧道豎向位移相差較大；考慮斜交時所得的盾構隧道豎向位移與實測的更加吻合；不考慮斜交時所得的盾構隧道最大豎向位移僅為2.4 mm，遠小于實測的11.9 mm；說明當隧道不位于基坑正下方，特別是從基坑側旁穿行時，須考慮斜交角度對計算結果的影響，這主要是因為當隧道位于基坑旁側時，斜交角度的不同會導致隧道至開挖區域間的距離差別較大，使得隧道受基坑開挖影響引起的附加荷載差異較大，進而導致隧道的變形差異也較大；而當隧道位于基坑正下方時，則不存在此現象。

圖4　工程實例1隧道豎向位移對比

圖5　考慮基坑與隧道斜交與否對隧道豎向位移的影響

隧道環間錯臺是影響盾構隧道結構安全的重要因素之一，過大的錯臺量會引發管片局部開裂、接縫滲漏、甚至凹凸榫碎裂等病害，從而嚴重影響結構和行車的安全，因此對基坑開挖引起的隧道環間錯臺量進行估算十分必要。

對于工程實例1，采用本文方法計算得到的隧道環間錯臺分布如圖6所示。由圖6可知：在豎向位移最大值位置上基本不發生環間錯臺；隨著位移減小，環間錯臺量逐漸增大，直到位移高斯曲線的反彎點上，環間錯臺量達到最大，隨后錯臺量逐漸減小；較大的錯臺量主要集中在豎向位移曲線反彎點兩側一定范圍內，即隧道差異變形較大的區域。工程實例1中基坑開挖引起上、下行隧道環間最大錯臺量分別為1.3和0.6 mm，可見，即便基坑開挖引起的環間錯臺量較小，但在基坑開挖影響范圍內隧道豎向變形仍然可以累積到較大的量值。

圖6　工程實例1隧道環間錯臺分布

3.2　工程實例2

對于工程實例2，采用本文方法計算所得下行線盾構隧道的豎向位移和水平位移如圖7所示，并與實測數據[13]對比分析。由圖7可知：計算所得下行線盾構隧道的豎向位移和水平位移與實測結果基本一致，計算所得的最大豎向位移、水平位移分別為3.6和5.3 mm，相比實測值，分別僅相差0.3和1.6 mm，說明本文方法可同時應用于實際工程中估算基坑開挖引起隧道的豎向位移和水平位移。

圖7　工程實例2隧道豎向和水平位移曲線對比

4　結　論

(1)將隧道視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，提出環間錯臺效應下基坑開挖引起臨近盾構隧道變形的能量計算法。首先采用Mindlin基本解計算基坑開挖卸載引起的隧道附加應力，并通過坐標變換使其可以考慮隧道與基坑軸線存在夾角的情況；然后將盾構隧道襯砌視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，建立隧道變形計算模型，利用最小勢能原理建立變分控制方程并求解，從而獲得環間錯臺效應下基坑開挖引起臨近盾構隧道的豎向位移、水平位移和環間錯臺量。將計算結果與彈性地基梁法和現場實測數據對比可知，本文方法與實際情況吻合更好，且本文方法無需對隧道進行離散化處理，具有更高的計算效率，可用于實際工程中預測基坑開挖引起臨近盾構隧道的豎向位移、水平位移和環間錯臺量。

(2)當盾構隧道位于基坑正下方時，無論考慮斜交角度與否，所得結果基本一致；而當盾構隧道位于基坑旁側時，斜交角度對計算結果的影響很大，考慮斜交角度的計算結果更加符合實際情況。

(3)基坑開挖引起的盾構隧道最大環間錯臺量所在位置并非位于最大位移點處，而是在位移高斯曲線的反彎點上，即盾構隧道差異變形最大處；且即便基坑開挖引起的環間錯臺量較小，但在基坑開挖影響范圍內盾構隧道的豎向變形仍然可以累積到較大的量值。

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