一類具有時(shí)滯Leslie-Gower捕食模型的Hopf分支

樂　成

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅　蘭州　730070）

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一類具有時(shí)滯Leslie-Gower捕食模型的Hopf分支

樂成

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

摘要：為了能夠真實(shí)地反映自然界的規(guī)律，研究關(guān)于帶時(shí)滯的Leslie-Gower捕食-食餌模型動(dòng)態(tài)規(guī)律，首先給原模型加入了時(shí)滯建立要研究的模型，進(jìn)而討論了關(guān)于帶有時(shí)滯的捕食-食餌模型穩(wěn)定性規(guī)律，通過模型平衡點(diǎn)的雅克比矩陣求得對應(yīng)的特征方程，并根據(jù)特征方程根的分布情況討論其在平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性，進(jìn)一步得到了Hopf分支的存在條件，最終通過利用規(guī)范化的中心流行定理計(jì)算得到正平衡點(diǎn)的Hopf分支的方向和周期解。

關(guān)鍵詞：捕食模型；時(shí)滯；穩(wěn)定性；中心流行定理；Hopf分支

DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.02.021

0　引言

考慮自然界種群之間的相互競爭也需要經(jīng)過一段時(shí)間，在文獻(xiàn)[3]中模型的基礎(chǔ)上，給種群之間競爭加入時(shí)間τ，模型變?yōu)?/p>

1　模型的平衡態(tài)

令系統(tǒng)（1）各式等于零，直接計(jì)算可得平衡點(diǎn)如下

2　平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

可將系統(tǒng)（1）線性轉(zhuǎn)化為

（1）將E0（0,0）和代入（2.1）可知無論τ為何值時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E0（0,0）和都是不穩(wěn)定的。

當(dāng)τ＝0，特征方程為

（3）將E3（x0，y0）代入（2.1）可得到雅克比矩陣相對應(yīng)的特征方程

當(dāng)τ＝0時(shí)有，特征方程為

當(dāng)滿足條件H3時(shí)系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)τ＞0給特征方程是（2.2）式的兩邊同程以eλτ，可以得到

如果iω是方程（2.3）的根代入，分離實(shí)部與虛部得到

由（2.4）式可以得到

整理上式可得到

其中

令ω2＝ν

當(dāng)滿足h70＜0時(shí)方程（2.5有正實(shí)根，可得到條件H4

如果條件H4滿足條件，根據(jù)方程得

下面驗(yàn)證橫切條件

其中

如果H5：MP+NQ≠0則滿足橫切條件，存在著hopf分支。

3　正平衡點(diǎn)分岔方向與分岔周期解的計(jì)算

下面給出系統(tǒng)（1）的Hopf分支方向，并且討論分支周期解的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)（1）可以寫成下面的泛函方程形式

別表示如下

由Riesz定理知，θ∈[－1,0]時(shí)，原系統(tǒng)存在一個(gè)有界變差函數(shù)ρ[θ，V]滿足

故系統(tǒng)方程（1）可與（3.7）等價(jià)

且定義雙線性內(nèi)積為

因?yàn)橹行牧餍卸ɡ砦覀兊玫?/p>

根據(jù)（3.12）這個(gè)方程可以寫成

可以得如下形式

根據(jù)（3.10）、（3.13）、（3.15）、（3.16）有

下面是W20（θ）和W11（θ）的計(jì)算過程，由（3.6）、（3.15）得到

其中

比較系數(shù)有

通過比較（3.19）、（3.20）系數(shù)得到

根據(jù)（3.20）、（3.21）及矩陣A定義有

根據(jù)（3.18）進(jìn)一步可得到

由（3.23）、（3.25）、（3.27）得到

我們知道

由（3.31）可得到

同理得到

到這里已經(jīng)求得W20（θ）、W11（θ），從而可求得g21及下列各值

參考文獻(xiàn)：

［1］Y Q Li,S J Ma.Periodic Solutions of a Time Delay Stagestructured Prey-predator Model［J］.British Journal of Mathematics&Computer Science，2015：102-111.

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［4］Prabir Panja,Shyamal Kumar Mondal,Stability analysis of coexistence of three species prey-predator model［J］.Nonlinear Dyn,2015（81）:373-382.

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作者簡介：樂成（1988-），男，漢族，陜西西安人，在讀研究生，主要研究方向：生物數(shù)學(xué)。

收稿日期：2015-12-18

中圖分類號：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A