多項式分布滯后模型在地面沉降預測中的應用

凌勝任

(蘇州工業(yè)園區(qū)測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000)

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多項式分布滯后模型在地面沉降預測中的應用

凌勝任

(蘇州工業(yè)園區(qū)測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000)

摘要：介紹多項式分布滯后模型(PDL模型)建立過程，針對地面沉降相對于地下水水位變化的滯后作用，建立考慮滯后作用的多項式分布滯后預測模型，應用該模型對某地區(qū)地面沉降實測數(shù)據(jù)進行模擬預測，并評價模型各項指標。實例分析表明，PDL模型應用到地面沉降變形趨勢具有預測精度高、擬合效果好的特點，可以有效實現(xiàn)地下水水位變化導致地面滯后性沉降的定量模擬和預測。

關鍵詞：PDL模型；地面沉降預測；地下水水位；滯后作用

地面沉降是指區(qū)域性地面標高降低的一種環(huán)境地質(zhì)變化，是全球范圍內(nèi)普遍存在的問題，其沉降幅度不斷加大、影響范圍不斷擴大趨勢[1,2]。在工程建設過程中，地面沉降導致的事故層出不窮，影響形式表現(xiàn)為造成建筑的差異沉降、城市道路的開裂及地下隧道管線的損壞等[3,4]。因此，地面沉降的準確預測，及時提供沉降報警信息對減災防災和指導地區(qū)工程建設具有重要的意義。

地面沉降的誘發(fā)因素主要分為人為因素和天然因素。天然因素主要包括軟土層的自重固結、火山運動及地震的沖擊等，人為因素主要有抽取地下水、地表施加荷載及各種地下工程建設等[5,6]。本文基于PDL模型對某地區(qū)地面沉降數(shù)據(jù)進行預測，重點考慮地下水對地面沉降量的影響，其思想是地面沉降量受到自身發(fā)展趨勢影響的同時受到地下水的影響并分布到多個時段。

1模型建立

1.1PDL模型定義

PDL模型是一種動態(tài)的回歸分析模型，不僅考慮因變量本身滯后項的影響關系，還加入自變量跨時段對其的影響，集合回歸模型和時間序列模型的優(yōu)點，是一種解釋能力較強的預測模型[7,8]，其表達形式：

(1)

式中:yt為因變量；yt-i為因變量的滯后項；xt-j為自變量的滯后項；μt為隨機擾動項；c為常數(shù)；αi,βj分別為因變量滯后項的系數(shù)和自變量滯后項的參數(shù)；t為時刻；i,j為滯后量；m,n分別為因變量和自變量的滯后期數(shù)。

模型中可以只存在一個自變量，也可以存在多個自變量，而滯后期長度可以是有限項也可以是無限項，具體根據(jù)地面沉降滯后理論認識與自變量對因變量的解釋能力確定，選擇對因變量影響較大的滯后項[9]。

1.2模型建立

地面沉降影響因素具有復雜性、多變性，其性質(zhì)及形式也是多種多樣的，且不同因素引起的地面沉降速度、范圍和持續(xù)時間不同，因此影響因素的擇取十分重要。本文在分析建模過程中重點考慮地下水對地面沉降量的影響，經(jīng)大量的研究表明，地面沉降量與地下水水位變化幅度呈正相關，分布范圍與區(qū)域地下水降落漏斗基本保持一致，而且地面沉降的產(chǎn)生和發(fā)展過程往往與地下水的開采過程保持一致或存在時間滯后，其相應的PDL模型為

(2)

式中:Yt為地面沉降預測值；Yt-i為地面沉降量過去一系列歷史值；Ht-j為地下水水位時間序列；αi是地面沉降量自身滯后項的參數(shù)；βj是地下水水位影響因子的參數(shù)；m為地面沉降量滯后期數(shù)；n為地下水水位滯后期數(shù)。

1.3滯后期數(shù)的確定

采用PDL模型進行地面沉降預測時，首先要利用樣本數(shù)據(jù)確定模型各影響因子的滯后期數(shù)。在理論上大致決定模型右端包含的滯后期數(shù)，然而在許多情況下，僅從理論上不能完全確定模型滯后期數(shù)，這時，必須研究樣本數(shù)據(jù)，從而得到合理的滯后期數(shù)，可以采用常用的統(tǒng)計檢驗來確定[10-12]。

(3)

式中:RSS為殘差平方和；TSS為總離差平方和；n為樣本容量；k為自變量個數(shù)；R2為決定系數(shù)。

2)赤池信息準則(Akaike Information Criterion)和施瓦茨準則(Schwartz Criterion)。進行模型選擇時，可以通過AIC準則和SC準則確定模型滯后分布的長度，即滯后期數(shù)，AIC和SC準則表達式如下：

(4)

(5)

式中：RSS為殘差平方和；n為樣本容量；k為自變量的個數(shù)。

在確定PDL模型滯后期數(shù)的過程中，可以通過添加滯后項直至AIC和SC不再降低為止確定滯后的結構。

1.4參數(shù)估計

根據(jù)代數(shù)中的韋亞斯特拉斯(weierstress)定理，PDL模型中參數(shù)可用一個適當高次的多項式來逼近。運用該多項式可以有效減小模型待估參數(shù)的個數(shù)、避免可能存在的高度共線性以及削弱參數(shù)估計中的自由度損失。為此，可將式(2)中模型參數(shù)βj用一個關于j的多項式來表述，將βj分解為

(6)

在實際運用中，多項式次數(shù)p通常取2或3，一般不超過4，本文取p=2，同理將模型參數(shù)αi分解為αi=a0+a1i+a2i2,i=1,2,…,m，將分解后的模型參數(shù)αi和βj代入式(2)，模型變?yōu)?/p>

(7)

其中

采用最小二乘法對式(7)進行估計，將估計的參數(shù)代入式(6)得到模型參數(shù)βj(j=0,1,2,…,n)，同理得到αi(i=1,2,…,m)，最后將αi,βj代入式(2)即可得到所需的PDL模型。

2工程實例及模型評價

2.1工程實例

利用PDL模型對地面沉降進行預測，實驗數(shù)據(jù)來自某地區(qū)1984年到2006年連續(xù)23年內(nèi)的地面沉降量及地下水水位(水位面高程)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1　某地區(qū)連續(xù)23年地面沉降量及地下水水位統(tǒng)計數(shù)據(jù)

分別用Y和H表示地面沉降量和地下水水位數(shù)據(jù)，對Y和H兩個時間序列分別取對數(shù)，因為取對數(shù)后可有效減弱變量異常值及隨機誤差異方差性對模型的影響，并可使模型參數(shù)變?yōu)閺椥浴８鶕?jù)上述滯后期數(shù)的確定原則以及綜合考慮各方面的影響因素，選取地面沉降自身滯后期數(shù)m=3，地下水水位滯后期數(shù)n=3。對lnY和lnH兩時間序列統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立PDL模型，其表達式如下

lnYt=0.031+0.569lnYt-1+0.348lnYt-2-

0.022lnYt-3+0.863lnHt-0.194lnHt-1-

0.524lnHt-2-0.129lnHt-3.

(8)

2.2模型評價

表1　PDL模型各項評價指標

圖2　模型預測值與實測值對比

對PDL模型做預測分析，其各項預測指標如表2所示，均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE由因變量規(guī)模決定，被作為相對指標來比較相同序列在不同模型中的預測結果，誤差越小，該模型的預測能力越強，本文RMSE和MAE均較小；平均絕對百分誤差MAPE和希爾不等系數(shù)TIC統(tǒng)計值是相對量，一般認為0

表2 PDL模型預測分析結果

列實際值的偏差程度，方差率VP反映預測方差與序列實際方差的偏離程度，協(xié)方差率CP反映非系統(tǒng)誤差的大小，預測結果較好的模型，那么偏差率和方差率應該較小，協(xié)方差率較大。本文BP和VP較小，CP較大，符合指標且表明預測效果較好。

3結語

PDL模型集合時間序列模型和回歸模型的優(yōu)點，考慮因變量自身滯后項以及自變量跨時段對其的影響，是一種解釋能力較強的預測模型。針對地面沉降相對于地下水水位變化存在時間滯后，建立PDL模型，并采用該模型對某地區(qū)地面沉降進行模型預測，結果表明，PDL模型應用到地下水水位變化引起的地面沉降模擬和預測是可行的，并且PDL模型擬合效果良好，預測精度較高，可以有效反映研究區(qū)域的地面沉降態(tài)勢。

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[責任編輯：李銘娜]

A PDL model used for the prediction of ground subsidence

LING Shengren

(Suzhou Industrial Park Surveying,Mapping and Geoinformation Co.,Ltd.,Suzhou 215000,China)

Abstract：The process of establishing polynomial distributed lag model (PDL model) is introduced.According to the ground subsidence it shows a nature of hysteresis effect comparing with the fluctuation of groundwater level,and the polynomial distribution lag prediction model is established,which is used to simulate and forecast the ground subsidence based on the measured data of a certain area.The index of the model is evaluated.Example analysis shows the PDL model used to forecast the trend of settlement deformation has the characteristics of high forecast precision and good fitting effect.The quantitative simulation and prediction of the lag of ground subsidence caused by the fluctuation of groundwater level are implemented efficiently.

Key words：PDL model；ground subsidence prediction；groundwater level；hysteresis effect

中圖分類號：TU196

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)03-0064-04

作者簡介：凌勝任(1986-)，男，助理工程師.

收稿日期：2014-12-15