GPS高程轉換的總體最小二乘組合方法

王樂洋，吳　飛，吳良才

(1.東華理工大學 測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.流域生態與地理環境監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013；3.江西省數字國土重點實驗室，江西 南昌 330013)

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GPS高程轉換的總體最小二乘組合方法

王樂洋1,2,3，吳飛1，吳良才1

(1.東華理工大學 測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.流域生態與地理環境監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013；3.江西省數字國土重點實驗室，江西 南昌 330013)

摘要：在現有GPS高程轉換的研究中，通常只采用單一的解算方法，然而，不同的計算方法由于適用的條件不同，在對同一組數據進行解算時，解算的精度也各有優劣。針對以上問題，文中提出GPS高程轉換的總體最小二乘組合方法，對多種不同的高程轉換方法進行組合，運用總體最小二乘法計算不同方法的權值，結合實際工程數據，驗證該方法的可行性。計算結果表明，提出的方法能夠有效地提高高程轉換精度。

關鍵詞：總體最小二乘；組合方法；GPS高程；高程轉換；多項式擬合

GPS高程擬合是將高程異常值與平面坐標近似描述為多項式關系，利用已知大地高和正常高的公共點組成誤差方程，進而求解多項式系數[1]。對于大多數的工程應用，由于測區范圍不大，高程異常變化平緩，多項式擬合便可滿足精度要求[2]。通常可以采用最小二乘法求解多項式曲面的參數，該方法計算簡單便捷。但是，在實際參數估計問題中，對于大部分線性模型來說,一般由于數據采樣大小、模型化及測量等原因引起系數矩陣的誤差，其系數陣并非常數陣而是由其他方法計算得到的具有一定誤差的變量矩陣[3]。文獻[4]～[7]分別基于最小二乘、總體最小二乘、加權總體最小二乘和比例總體最小二乘算法進行多項式曲面擬合參數的求解；然而，上述研究中均只采用某一種解算方法，由于各個方法受自身適用條件的限制，其解算精度各不相同。文獻[8]～[10]將二次多項式曲面模型和BP神經網絡法進行組合，提出不同的組合方法。

本文運用一種新的組合計算方法，根據不同方法對組合模型的貢獻度分別賦予相應的權值，并通過采用總體最小二乘法計算不同方法的權值，通過對實際工程數據進行計算，論證該方法的可行性與有效性。

1GPS高程轉換模型與方法

1.1多項式曲面擬合模型

二次多項式曲面的擬合方程為

ξ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2.(1)

三次多項式曲面擬合方程為

ξ=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x2y+b7xy2+b8x3+b9y3.(2)

1.2總體最小二乘法

以二次多項式曲面為例，α為待估參數向量,ξ為觀測向量，A是設計矩陣，eξ是誤差向量，顧及系數矩陣中的誤差EA可得

(3)

本文通過迭代計算對參數進行估計，迭代過程[11]：

1)由最小二乘方法計算參數初值：

(4)

2)中間變量為

計算新的參數估值：

(5)

迭代終止條件為

(6)

判斷是否滿足終止條件，若滿足即終止計算，否則返回步驟2)。

同理，可以得到三次多項式曲面GPS高程轉換參數的總體最小二乘解。

2總體最小二乘組合方法

采用不同的GPS高程轉換方法時，計算得到高程異常函數的表達式記作φj(x,y)(其中下標j表示第j種方法算子)。把這些函數作為基函數，所有的基函數的集合記作Φ，且有φj(x,y)∈Φ。

若φ1,φ2，…,φm關于點(x1,y1),…,(xn,yn)線性無關，其中m為方法的個數，n為點的個數，則Φ中的任一函數在點(xi,yi)處表示為

(7)

并令

(8)

則尋求最優擬合曲面的問題轉換為求多元函數S(c1,c2,…,cm)最小值的問題[12]。

對權值系數ck進行求導計算得到

(9)

可得到關于c1,…,cm的線性方程組

(10)

引入向量

(11)

(12)

記內積向量

(13)

(14)

可得

(15)

由于φ是關于x,y的函數，并且各點坐標均含有誤差，對式(15)引入誤差向量

(16)

其中

(17)

GPS高程轉換的總體最小二乘組合方法的基本思想：

1)利用總體最小二乘法求解不同方法對應的高程異常計算參數并得到對應的函數表達式φj(x,y)；

3)組成式(17)，從而得到最佳擬合曲面的組合式。

3算例分析

采用文獻[4]中的數據，選取12個點作為高程異常已知點，分別采用不同的方案進行計算，求出5個待定點的高程異常，并對計算結果進行評價。圖1為已知高程異常點的坐標經過標準化處理之后的空間分布，表1為各方案列表。

圖1　已知與未知高程異常點的空間分布

方案方法1二次多項式曲面(TLS)2三次多項式曲面(TLS)3二次多項式曲面(WTLS)4二次多項式曲面(WTLS)5方案1、方案2組合6方案1、方案3組合7方案1、方案4組合8方案3、方案4組合9方案2、方案3組合10方案2、方案4組合11方案1、方案2、方案3組合12方案1、方案2、方案4組合13方案1、方案2、方案3、方案4組合

由于各個方案計算得到的結果差別較小，在計算各個方案所占權重的過程中，將引起法方程病態，在運用總體最小二乘組合方法解算時，將不同方案解算的內符合點高程異常與已知點的高程異常值進行標準化處理，最后將通過組合方法計算得到的結果進行反標準化處理。

本文一共采用13種方案，其中方案1與方案3、4的計算結果較接近，即使對內符合點的高程異常再進行標準化處理，得到的組合模型的法方程仍然出現病態，故文中對應的組合方案采用了廣義逆進行計算。

圖2為各個方案的外符合精度，從圖中可以看出，組合方法相對于僅采用單一計算方法的效果更好，且計算得到的精度提高17%～32%。表2中的c1，c2，c3，c4分別為各個方案中的不同方法的權值，可以看出待定點計算結果較好的方法，獲得的權值越大，其對組合模型的貢獻也更大。

圖2　外符合精度

4結論

本文通過運用總體最小二乘法，組合了多種常用的GPS高程轉換方法，對不同的高程異常轉換方法賦予不同權值，結合實際工程數據對轉換參數及待定點高程異常值進行計算，并對計算結果進行比較分析，論證本文采用方法的可行性與有效性。但是，本文僅分析了高程異常變化較小且點位分布較均勻的情況，對于點位分布較離散或者高程異常變化較大的情況，可以結合其它不同高程異常轉換方法的特點進行組合，以達到提高精度的目的，具體的組合方法也有待進一步研究。

表2　不同方案各方法所占權重

參考文獻：

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[15] 楊娟，陶葉青.穩健估計下的坐標系統轉換總體最小二乘算法[J].測繪科學，2015，40(4)：15-18.

[責任編輯：李銘娜]

Total least squares combination method of GPS height transformation

WANG Leyang1,2,3，WU Fei1，WU Liangcai1

(1.School of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China;2.Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASG，Nanchang 330013，China；3.Jiangxi Province Key Lab for Digital Land，Nanchang 330013,China)

Abstract：In the current research on GPS height transformation，single calculation methods are used only.However，due to different calculation methods applicable for different conditions，though for the solution of the same set of data，the precision of each will also have advantages and disadvantages.In view of the above problems，this paper puts forward the total least squares combination method of GPS height transformation；it makes the combination of a variety of different height transformation methods and calculates the weight of different schemes.Calculations are performed by using the actual engineering data to verify the feasibility and effectiveness of the method.The test results show that the method can effectively improve the accuracy of height transformation.

Key words：total least squares；combination method；GPS height；elevation transformation；polynomial fitting

中圖分類號：P228

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)04-0011-04

作者簡介：王樂洋(1983-)，男，博士，副教授，碩士生導師.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(41204003，41161069，41304020)；測繪地理信息公益性行業科研專項(201512026)；江西省自然科學基金資助項目(20132BAB216004)；江西省教育廳科技項目(GJJ13456，KJLD12077，KJLD14049)；地理空間信息工程國家測繪地理信息局重點實驗室項目(201308)；東華理工大學博士科研啟動金(DHBK201113)

收稿日期：2015-03-01；修回時間：2015-09-10