帶有分數積分的波動方程解的非存在性

許勇強

( 1．閩南師范大學數學與統計學院，福建漳州363000; 2．廈門大學物理與機電工程學院，福建廈門361005)

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帶有分數積分的波動方程解的非存在性

許勇強1，2

( 1．閩南師范大學數學與統計學院，福建漳州363000; 2．廈門大學物理與機電工程學院，福建廈門361005)

摘要:通過選擇恰當的檢驗函數與平移討論相結合，給出了一類非線性項具有非局部性質的波動方程局部解和全局解存在的必要條件．

關鍵詞:波動方程;非線性項;分數積分;全局非存在性;弱解

本文主要研究下面的波動方程

的弱解的非存在性問題．它滿足如下的初值條件:

由于下面的極限

在分布意義下存在，所以方程( 1)可以認為是經典的半線性波動方程

的逼近問題，這里Γ是歐拉γ函數．

顯然，方程( 1)中的非線性項包含自相似的記憶類型，且可以看作是Riemann－Liouville積分算子

對于該算子，最早于1832年，Liouville引進了α=－∞的特殊情形，然后于1876年，Riemann考慮了α= 0的形式［1］．因而，方程( 1)具有下面的形式:

其中Jα0|t表示Riemann－Liouville分數積分(見公式( 10) )．

我們來描述與方程( 1)相聯系的一些方程的存在意義．最近，Chen等［2］研究了下面的方程:

該方程用于描述聲音在黏性流體中的傳播，其中c0表示無黏性相速度，2α0則代表熱力黏性系數．因此，方程( 5)可以看作是早期Greenberg等［3］重要工作的推廣．該作者考慮了下面的方程:

其中ρ0，λ表示與介質有關的常數，而g( x，t)則表示外力的一個給定函數．

因為方程( 5)可以認為是非線性方程的逼近問題，所以方程( 3)包含了一個具有應用價值的非線性項．同時，Carvalho等［4］研究了方程( 3)．假如在方程( 3)中取β=0，那么得到了帶有線性阻尼項ut的波動方程．許多數學工作者對此做了廣泛的研究［5－8］．實際上，文獻［5］對方程( 3)作了全面研究，這對應于β= 0的情況．Fino［9］應用文獻［5］研究了下面的問題

其中0＜γ＜1，p＞1，( u0，u1)∈H1( RN)∩L2( RN)，這是方程( 1)在β=0的特殊形式．

本文主要考慮0＜β≤2的情形，主要目的是研究方程( 1)在這種情形下的局部解和全局解不存在的必要條件，同時揭示了初值在無窮遠處的值對局部解和全局解的存在性具有很深的影響．本文所采用的方法來源于文獻［6－7，10－11］．

1預備知識

在這部分，我們將給出有關分數階拉普拉斯算子、分數積分以及分數導數的相關結果．

首先考慮下面的特征值問題

其中Ω是有界開集．取λk( k=1，2，…，+∞)是－Δ在L2(Ω)中的特征值，φk是λk對應的特征向量，則

且

所以，對于任意的u，v∈D( (－Δ)β/2)，有下列的性質

關于更多的細節，可參看文獻［12］．

下面來定義Riemann－Liouville分數左右導數．設AC［0，T］表示所有在［0，T］( 0＜T＜∞)上絕對連續的函數空間．如果f∈AC［0，T］，則Riemann－Liouville分數左右導數Dα0|tf( t)和Dαt|Tf( t)可定義如下:

這里f∈Lq( 0，T) ( 1≤q≤∞)，α∈( 0，1)，

表示Riemann－Liouville分數積分［3］．而且對于任意的f，g∈C(［0，T］)，如果Dα0|tf( t)和Dαt|Tg( t) ( t∈［0，T］，0＜α＜1)存在且連續，有下面的分部積分公式［12］:

注意到當f∈ACN+1［0，T］且N≥0時，有［12］

其中

?N表示一般意義下的N次導數．而且對于1≤q≤∞，t下面的公式［12］

在［0，T］上幾乎處處成立．

本文將用到下面的結果:

所以有

這里

2本文的主要結果

定義1取u∈Lploc( QT)，如果對于任意的檢驗函

數φ∈C∞0( RN×［0，T］)都有

那么函數u( u∈L1loc( QT) )是方程( 1)的一個弱解，這里φ≥0，0＜T＜+∞，α=1－γ，φ( x，T) =φt( x，T) = 0．

本篇文章的主要結果如下:

定理1取p＞1，0＜β≤2且u0≥0，T＞0．如果

或者

那么問題( 1)沒有非負的局部解．

注1根據定理1可估計局部解的存在時間如下:

定理2(全局解的必要條件)取p＞1，1≤β≤2且u0( x)≥0．如果問題( 1)有一個非平凡的全局解，那么存在常數K1，K2和K3使得

3定理1的證明

現在方程( 1)兩邊乘以φ，然后在QT=( 0，T)×RN上積分，根據式( 17)和( 18)，得到

聯合式( 13)，( 17)和( 18)，并且考慮到(－Δ)β/2φ1( x/ R) =λβ1/2R－βφ1( x/R)，可推出

這里

為了估計方程( 22)的右邊的第一個積分，把它寫為下面的形式:

因而，

相似地，

假如3ε=1，易于得到

這時引入變量替換t=τT，x=Ry，然后在式( 23)中聯合( 14)，( 15)和( 16)，可推出

這里

在不等式( 24)中，使用下面的估計

于是

讓R→+∞，有極限

估計式( 25)和( 26)可推出下面的結果:

當T＜+∞時，假如lim+infu1= +∞或者lim+infu0|x|→∞|x|→∞=+∞，我們將得到矛盾．

4定理2的證明

從式( 24)得出

然后在式( 27)中取T=R，有

因而

因為1≤β≤2，有

現在式( 29)的右邊使用sup pφ1?{ x | R≤| x |≤2R}，有

并且在式( 29)的左邊再次使用sup pφ1?{ x| R≤| x| ≤2R}，有

聯合式( 30)和( 31)可推出

最后我們在式( 32)的兩邊分別除以∫| x|≤2R| x |(α+2) q－(α+1)φ1( x/R)，得出

讓R→+∞，有

相似地，從式( 28)可得出

或者

與式( 34)的討論相類似，有

或者

綜上，完成了定理2的證明．

參考文獻:

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［12］SAMKO S G，KILBAS A A，MARICHEV O I．Fractional integrals and derivatives，theory and applications［M］．New York: Gordon and Beach Science Publishers，1987: 1－1016．

Nonexistence of Solutions to a Wave Equation with Fractional Integrals

XU Yongqiang1，2

( 1．School of Mathematics and Statistics，Minnan Normal University，Zhangzhou 363000，China; 2．School of Physics and Mechanical＆Electrical Engineering，Xiamen University，Xiamen 361005，China)

Abstract:In this paper，using a method based on a duality argument with an appropriate choice of the test function and a scaling argument，we establish some conditions that ensure the absence of global solutions to a wave equation with a nonlocal nonlinearity and obtain necessary conditions for the local and global solvability．

Key words:wave equations; nonlinearity; fractional integral; global nonexistence; weak solutions

基金項目:國家自然科學基金( 10976026)

收稿日期:2014－10－31錄用日期: 2015－08－26

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．016

中圖分類號:O 175．25

文獻標志碼:A

文章編號:0438－0479( 2016) 01－0086－05

Email: yqx458@ 163．com

引文格式:許勇強．帶有分數積分的波動方程解的非存在性［J］．廈門大學學報(自然科學版)，2016，55( 1) : 86－90．

Citation: XU Y Q．Nonexistence of the solutions to a wave equation with fractional integral［J］．Journal of Xiamen University( Natural Science)，2016，55( 1) : 86－90．( in Chinese)