層狀聲子晶體橫波帶隙結(jié)構(gòu)研究

唐啟祥，邱學(xué)云，胡家光

（文山學(xué)院 信息科學(xué)學(xué)院，文山 云南 663099）

層狀聲子晶體橫波帶隙結(jié)構(gòu)研究

唐啟祥，邱學(xué)云，胡家光

（文山學(xué)院 信息科學(xué)學(xué)院，文山 云南 663099）

對(duì)彈性波通過鋼、環(huán)氧樹脂和鋁三組元構(gòu)成的一維層狀聲子晶體的透射率進(jìn)行了理論推導(dǎo)；以橫波的透射率分布圖表征聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)；以一定的中心頻率換算出來的每個(gè)組元的中心波長為相應(yīng)組元的厚度單位，乘以相同的系數(shù)作為實(shí)際厚度。分別研究了厚度系數(shù)和原胞數(shù)對(duì)聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響。結(jié)果顯示，導(dǎo)帶和禁帶均勻分布，但寬度一般不等；導(dǎo)帶、禁帶的中心均隨厚度系數(shù)增大而向低頻段移動(dòng)，同時(shí)，導(dǎo)帶和禁帶寬度也隨之減??；隨著原胞數(shù)的增加，導(dǎo)帶中心、禁帶中心及導(dǎo)帶寬度及禁帶寬度沒有發(fā)生變化。

聲子晶體；橫波；帶隙結(jié)構(gòu)

1992年，M. M.Sigalas和E. N. Economou 首次從理論上證實(shí)了彈性波帶隙的存在[1]。1995年，M. S. Kushwaha等人在研究鎳/鋁二維固體周期復(fù)合介質(zhì)時(shí)第一次明確提出了聲子晶體的概念[2]。通俗地說來，聲子晶體是由密度和彈性常數(shù)不同的兩種或兩種以上的彈性材料在空間周期性排列構(gòu)成的人造帶隙材料。根據(jù)彈性材料在空間分布的不同，又可將聲子晶體分為一維、二維和三維聲子晶體[3]。作為結(jié)構(gòu)簡單、容易推廣應(yīng)用的是一維聲子晶體。對(duì)該類聲子晶體的研究已有不少的報(bào)道，但是這些研究是以彈性縱波作為入射波，研究聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)特征，并且以兩種彈性材料即2組元為原胞構(gòu)成的結(jié)構(gòu)材料為例進(jìn)行研究的較多[4-8]。還有一部分文獻(xiàn)報(bào)道的是采用集中質(zhì)量法對(duì)一維桿狀聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行的研究[9-11]。本研究采用3種無限大平板彈性材料作為組元，構(gòu)成一維3組元聲子晶體，以橫波為入射波，采用平面波法對(duì)聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，尋找聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征和變化規(guī)律。

1 模型和理論

設(shè)三種不同密度和彈性常數(shù)的無限大平板材料組元A、B和C構(gòu)成1個(gè)原胞“ABC”，多個(gè)原胞沿z軸方向依次排列，構(gòu)成ABCABC…ABC形式的一維3組元聲子晶體結(jié)構(gòu)，置于均勻彈性介質(zhì)E中。讓平面彈性波自E垂直于材料A沿z軸方向傳播，如圖1所示。

圖1 一維3組元聲子晶體的結(jié)構(gòu)模型

彈性縱波和橫波的彈性波，經(jīng)多個(gè)界面反射和透射后，在某個(gè)原胞中的某介質(zhì)組元i（i=A、B、C）中沿z軸正方向和負(fù)方向傳播的位移分別為。其中，kiL=ω/ciL和kiT=ω/ciT分別為縱波和橫波在介質(zhì)組元i中的波矢，ciL和ciT分別為相應(yīng)的波速，ω為圓頻率。用一個(gè)四維向量同時(shí)表示上述四個(gè)波的位移波矢為

當(dāng)位移波矢Ui通過一個(gè)界面后變成新的位移波矢UJ，Ui與UJ之間的的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中Mij為從介質(zhì)i到相鄰介質(zhì)j（j為A、B或C）的轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)胡克定律及彈性波的位移和應(yīng)力在界面兩側(cè)的z分量和x分量的連續(xù)條件可得到

λi及μi為拉梅常數(shù)。將式中的i換成j即得Mj。

彈性波通過厚度為di的介質(zhì)i，波矢的相位發(fā)生變化，相應(yīng)的傳遞矩陣為

彈性波通過置于均勻彈性介質(zhì)E中具有N個(gè)原胞的整個(gè)聲子晶體的傳遞矩陣為

W=MEAGAMABGBMBCGC(MCAGAMABGBMBCGC)N-1MCE。

由W的矩陣元求得縱波透射率TL和橫波的透射率TT分別為

2 實(shí)例計(jì)算

縱波在上述一維3組元聲子晶體中傳播形成的帶隙結(jié)構(gòu)已在文獻(xiàn)[12]一文中作了詳細(xì)的研究和報(bào)道，這里僅對(duì)橫波在相同的聲子晶體中傳播形成的帶隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究。設(shè)材料組元A為鋼，B為環(huán)氧樹脂，C為鋁，外界均勻介質(zhì)E為有機(jī)玻璃。有關(guān)材料參數(shù)見表1。

表1 組元材料參數(shù)

選取中心頻率f0=1000 Hz，計(jì)算不同組元的中心波長λi0（i=A, B, C）；以各組元的波長為長度單位，乘以適當(dāng)?shù)暮穸认禂?shù)x，設(shè)計(jì)各自的厚度di=xλi0（i=A、B、C）。首先取原胞數(shù)N=4，厚度系數(shù)x=0.2為例，通過MATLAB設(shè)計(jì)程序計(jì)算和模擬，得到在可聞聲范圍內(nèi)用橫波的透射率表征的帶隙結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)顯示，導(dǎo)帶（黑色部分）和禁帶（白色部分）相間分布，所有導(dǎo)帶寬度相等，所有禁帶寬度相等，但二者的寬度不等，如圖2所示。

圖2 一維3組元聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)

下面分別改變聲子晶體各組元的厚度系數(shù)x和原胞數(shù)N計(jì)算帶隙結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律。

2.1 組元厚度系數(shù)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響

從圖2看出，在給定參數(shù)下，各個(gè)導(dǎo)帶和禁帶分別有各自相同的寬度，于是，只需對(duì)其中一個(gè)導(dǎo)帶和一個(gè)禁帶進(jìn)行研究，即可得到所有導(dǎo)帶和禁帶的變化規(guī)律。

固定原胞數(shù)N=4，改變組元厚度系數(shù)x，分別考查第1導(dǎo)帶的頻率中心值f1D0和導(dǎo)帶寬度Δf1D、第1禁帶頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J的變化規(guī)律。

計(jì)算模擬后發(fā)現(xiàn)，第1導(dǎo)帶的頻率中心值f1D0和導(dǎo)帶寬度Δf1D、第1禁帶的頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J隨厚度系數(shù)x的增加而減小， 如圖3所示。

2.2 原胞數(shù)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響

固定組元厚度系數(shù)x=0.2，改變?cè)麛?shù)N，分別考查第1導(dǎo)帶的頻率中心值f1D0和導(dǎo)帶寬度Δf1D、第1禁帶頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J的變化規(guī)律。

計(jì)算模擬后發(fā)現(xiàn)，第1導(dǎo)帶的頻率中心值f1D0和導(dǎo)帶寬度Δf1D、第1禁帶的頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J均幾乎不隨原胞數(shù)N變化，如圖4所示。

圖3 帶隙結(jié)構(gòu)隨厚度系數(shù)x的變化規(guī)律

圖4 帶隙結(jié)構(gòu)隨厚度系數(shù)x的變化規(guī)律

3 理論分析

不同頻率的彈性波，無論是縱波還是橫波，通過聲子晶體在相鄰組元界面上來回反射疊加，當(dāng)各組元的厚度剛好為波長的整數(shù)倍或分?jǐn)?shù)倍時(shí)，由該組元引起的相位延遲將會(huì)是整數(shù)倍數(shù)或分?jǐn)?shù)倍的π。根據(jù)Bragg散射機(jī)理，整數(shù)倍中偶數(shù)倍的被透射，奇數(shù)倍的被反射。選取一定的頻率（本研究中取1000Hz）為中心頻率，分別計(jì)算各組元的中心波長，并以一定的系數(shù)乘以各自的中心波長設(shè)計(jì)各自的厚度。當(dāng)固定組元厚度而改變?nèi)肷洳ǖ念l率后，總會(huì)出現(xiàn)某個(gè)頻段的彈性波滿足Bragg原理，以致出現(xiàn)聲子晶體的導(dǎo)帶和禁帶的現(xiàn)象。改變組元厚度系數(shù)，也即改變了組元厚度，產(chǎn)生的相位延遲不一樣，無論導(dǎo)帶還是禁帶的中心和寬度均要發(fā)生相應(yīng)的變化，正如圖3所示結(jié)果。對(duì)于增加原胞數(shù)，物理作用的實(shí)質(zhì)是增加了對(duì)入射波的反射和透射次數(shù)，結(jié)果使得導(dǎo)帶和禁帶的分界更加清晰，導(dǎo)帶內(nèi)部的透射率線更加密集，正如圖2所示，導(dǎo)帶好像是連續(xù)分布似的，而不會(huì)改變導(dǎo)帶和禁帶中心位置及寬度，這也正是圖4所顯示的結(jié)果。

4 結(jié)束語

以無限大平板形狀的鋼、環(huán)氧樹脂和鋁為3個(gè)組元，構(gòu)成一維層狀聲子晶體的一個(gè)原胞；以1000 Hz為中心頻率，計(jì)算3個(gè)組元的中心波長作為各組元厚度的單位，乘以厚度系數(shù)x后作為各組元的厚度；以橫波為入射波，分別改變厚度系數(shù)x及原胞數(shù)N，得到了該聲子晶體模型的橫波帶隙結(jié)構(gòu)特征及相應(yīng)的變化規(guī)律。

（1）當(dāng)厚度系數(shù)x=0.2，原胞數(shù)N=4時(shí)，帶隙結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)導(dǎo)帶和禁帶相間分布，所有導(dǎo)帶寬度相等，所有禁帶寬度相等，但二者的寬度不等的特征。

（2）固定原胞數(shù)N=4，以第1導(dǎo)帶和第1禁帶為例，導(dǎo)帶的頻率中心值和導(dǎo)帶寬度、禁帶的頻率中心值和禁帶寬度隨厚度系數(shù)x的增加而減小。

（3）固定厚度系數(shù)x=0.2，仍以第1導(dǎo)帶和第1禁帶為例，導(dǎo)帶的頻率中心值和導(dǎo)帶寬度、禁帶的頻率中心值和禁帶寬度均與原胞數(shù)N的改變無明顯的關(guān)系。

本研究中的變化參數(shù)僅有厚度系數(shù)和原胞數(shù)，有關(guān)其他參數(shù)變化對(duì)橫波帶隙結(jié)構(gòu)的影響有待進(jìn)一步研究。

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[2] Kushwaha M. S. ,Halevi P. , Dobrzynski L. et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites. Phys. Rev. Lett., 1993(13)：2022-2025.

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Study on Shear Band Gap Structure of Layered Phononic Crystal

TANG Qixiang, QIU Xueyun, HU Jiaguang
(School of Information Science, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

The transmissivity of the elastic wave in one dimensional layered photonic crystal formed by three elements of steel, epoxy resin and aluminum is theoretically deduced; the band gap structure of the phononic crystal is characterized by the distribution of the shear wave transmissivity; the center wavelength of each component is de fi ned as the unit of thickness of the corresponding component, and multiplied by the same coef fi cient as the actual thickness. The effects of thickness coefficient and the number of cells on the band gap structure of the photonic crystal are studied respectively. With the increasing of the thickness coef fi cient, the conduction bands and band gaps are evenly distributed, but they are generally unequal in width; Their center positions move to the low frequency band; meanwhile, their widths decrease together. With the increasing of the number of cells, their centers and widths don't change.

phononic crystal; shear wave; band gap structure

O735

A

1674-9200（2016）06-0059-04

（責(zé)任編輯 劉常福）

2016-09-16

云南省教育廳科研基金項(xiàng)目“一維周期性彈性材料結(jié)構(gòu)傳輸特性的研究”（2014Y474）。

唐啟祥，男，云南東川人，文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，主要從事材料物理的研究；邱學(xué)云，男，云南宣威人，文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，主要從事聲子晶體研究；胡家光，男，云南丘北人，文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事聲學(xué)研究。