Vandermonde行列式應用初探

倪 飛，廖玉懷

（文山學院 數學學院，云南 文山 663099）

Vandermonde行列式應用初探

倪 飛，廖玉懷

（文山學院 數學學院，云南 文山 663099）

探討Vandermonde行列式在多項式理論、特殊行列式計算、個別特殊矩陣、導數理論、常微分方程理論中的簡單應用,同時將用構造性的思維方法，對一些復雜抽象的行列式計算問題，運用Vandermonde行列式的性質加以解答事半功倍。

Vandermonde；行列式；多項式；微分方程

1 引言

Vandermonde行列式是一類特殊的行列式，它有著獨特的形式和簡明的結果，因此Vandermonde行列式不僅在數學領域中占據著重要的地位，同時在各個領域中也有著廣泛的應用，比如:在進行行列式計算和變換時，將問題適當的變形為可套用Vandermonde行列式解答的形式，可起到簡化解題過程減少計算量的效果。

定義1.1[1]行列式

稱行列式（1）為Vandermonde行列式。

2 Vandermonde行列式的簡單應用

2.1 初等變換下的應用

在行列式計算過程中，有些較難運用行列式性質解答的行列式，可以利用各種方法將其轉化成Vandermonde行列式，運用以上結果（1）進行解答。

例1[2]計算下列行列式

分析 容易觀察得出1, 3, …, 2n-1列和第2, 4,…, 2n行交叉處構成的是Vandermonde行列式。同理2, 4, …, 2n列和第1, 3, …, 2n-1行交叉處同樣構成Vandermonde行列式。

2.2 判斷多項式整除關系上的應用

Vandermonde行列式在求解多項式根，多項式可約類問題都有一定的應用。

例2 設(xn+ xn-1+…+ x+1) | [ f1(xn+1)+xf2(xn+1)+…+ xn-1fn(xn+1)]，證明：(x-1)| fi(x), i=1, 2, 3, …, n。

分析 此題涉及證明多項式整除關系，同時給出了xn+ xn-1+…+ x+1，很容易聯想到與多項式xn+1-1的n個非1單位根建立聯系，若能推導得出fi(1)=0 (i=1, 2, …, n)即可證明結論。

2.3 與循環行列式計算建立的聯系

Vandermonde行列式也可以和一類特殊的行列（循環行列式）式建立聯系。

定義1 令a1, a2, a3,…, an是任意復數，稱行列式

為循環行列式。

對定義1進行求解，很容易想到行列式計算中的初等變換，將行列式所有行加到最左邊，但是接下來將無從下手，于是另尋他法。易想到可以運用一元n-1次多項式函數輔助求解。于是將此循環行列式的問題轉換成一元n-1次多項式函數與Vandermonde行列式的綜合求解問題。對定義1中行列式Dn的求解如下:

2.4 與Laplace定理綜合應用解題

對于有些行列式的求解并不是通過初等變換就能進行解決的，其行列式往往會呈現出一些規律，需要運用所學的定理或概念就可以轉換為我們熟悉的問題，進行求解。

定理1[1]（Laplace定理）設在行列式D中任意取定了k (1≤k≤n-1)個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與他們的代數余子式的乘積的和等于行列式D。

例3[1，3]求下列行列式的值。

分析 此行列式與Vandermonde行列式有所區別，其區別僅在于Vandermonde行列式最后一行的元素次數為n-1次，而本題中為n次，于是運用加邊的方法就可將其化為n+1階Vandermonde行列式求解。

2.5 在數學分析解題中的應用

數學分析，主要是微積分貫穿始終，在求解關于導數的一些證明問題可以構造Vandermonde行列式進行解決。

例4[4]設g(x)在[a, b]內存在n-1階導數，a=x1＜ x2＜…xn=b，證明c∈(a, b)，使得。

分析 觀察以上導數的證明可知，可以通過已知條件中的a=x1＜ x2＜…xn=b,想到運用微分中值定理進行思考，通過g(x)在[a, b]內存在n-1階導數可聯想到一個n-1次函數在行列式中，用行列式求導法則計算過后可使得行列式值為0，于是可通過以上區間各分段點，進行構造行列式解決此題。

2.6 在一類常系數四階線性微分方程中的應用舉例

在微分方程理論中，求解常系數非齊次方程關鍵是要求出其一個特解，普遍運用常數變易法和部分積分法，然而求解過程中為了計算方便運用Vandermonde輔助解答。

定理2[5]形如y(4)+ py" + qy = f(x)的四階非齊次微分方程，其對應的齊次微分方程為：

例5 求方程組y(4)-8y" + 16y = x。

3 結束語

通過對Vandermonde行列式的簡單應用發展概況及Vandermonde行列式的定義的了解，從而引發了思考（是否也應用廣泛?），對其在行列式求解、多項式有關的證明、實際問題轉化為代數問題（插值）、導數理論中的證明、常微分方程理論中的具體應用，而在求解一些規律性行列式的求解過程中應用更為廣泛，這大大的減少了代數理論中計算和證明的復雜問題。同時也對可以運用Vandermonde行列式進行行列式計算的幾類行列式進行了歸納，給出了其一般形式。這簡化了解題時的一些抽象構造與繁瑣步驟。從而加深對Vandermonde行列式的理解與掌握，同時對行列式理論的學習與不同數學學科之間的聯系建立了橋梁，為今后的學習打下堅實的基礎。

[1] 北京大學數學系幾何與代數研究室前代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003：79-83，89-93，102.

[2] 許甫華，張賢科.高等代數解題方法[M].北京：清華大學出版社，2002.1：48-49.

[3] 嚴謙泰，王瀾峰.高等代數考點綜述與問題探討[M].北京：國防工業出版社，2009.8：47-48.

[4] 王卿文.線性代數核心思想及其應用[M].北京：科學出版社，2012：8-14.

[5] 候宗毅.一類特殊四階非齊次方程特解的求法[J].中國科教創新導刊，2009，92（2）：1-2.

Applications of Vandermonde Determinant

NI Fei, LIAO Yuhuai
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

This paper mainly discusses the application of vandermonde determinant in polynomial theory, special determinant calculation, and individual special matrix derivative theory, and uses the constructive way of thinking and Vandermonde determinant nature to answer some complex abstract determinant calculation, which has a multiplier effect and improve our ability of understanding abstract mathematical problems.

Vandermonde; determinant; polynomial; differential equation

O151.22

A

1674-9200（2016）06-0111-04

（責任編輯 劉常福）

2016-07-07

倪飛，男，云南永善人，文山學院數學學院2011級數學與應用數學專業學生；廖玉懷，男，云南文山人，文山學院數學學院講師，該文指導教師，主要從事代數學與數學建模研究。