HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘

徐章韜，汪曉勤

?

HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘

徐章韜1，汪曉勤2

（1．華中師范大學數學與統計學學院，湖北武漢 430079；2．華東師范大學數學系，上海 200241）

HPM是一個新興的研究領域．教育取向的數學史對課堂教學，對認識數學的文化性，對師范生的培養均有重要意義．認知的歷史相似性原理的系列實證研究、基于數學史的教學設計研究、數學史知識在課堂教學中運用的實驗研究、運用數學史促進教師專業發展的行動研究等挖掘了教育取向的數學史的教育價值．利用信息技術挖掘教育取向的數學史的教育價值是一條值得嘗試的新路．

HPM；教育價值；信息技術

1 HPM是一個新興的研究領域

對數學史的研究歷來有不同的取向．李文林認為數學史的研究具有三重目的[1]：一是歷史的目的，即恢復歷史本來的面目；二是數學的目的，即古為今用，為現實的數學研究與自主創新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數學教育中利用數學史．第三種取向在當前已成為一種國際現象，以教育取向的數學史HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，HPM）的成立及其相關工作為標志．Sierpinska分析了看待、研究和運用數學史的4種不同方式[2]，分別稱之為歷史學家、認知學家、教育學家Ⅰ、教育學家Ⅱ．歷史學家主要關注數學發生發展的精確時間，把數學史本身當作一門學科；當運用數學史于課堂教學時，歷史學家關注所呈現的歷史事實的精確性，重考據．認知學家關注數學知識的本質和學生如何學數學，關注數學思想方法的發生發展過程及其對學生思維發生發展的啟迪．兩種類型的教育家都關注歷史上的數學思想方法本身對數學學與教的重要性．教育學家Ⅰ的關注點在于把數學史作為一種教學設計的工具，以這種方式營造意義豐富的背景，在此情境中自然地引出數學概念．教育學家Ⅱ比第教育學家Ⅰ走得更遠，他們在數學歷史發生發展的長河中，力求通過比較、對比等方式尋求理解特定數學概念、方法或理論的適切方法和探尋學生學習困難的真正原因．

教育取向地運用數學史具有十分重要的意義．如果把數學看作是固定的、完成了的知識體系，把數學教學看作是從教師到學生的知識傳遞，那么在數學學與教的過程中很難有數學史、數學文化的位置．相反，把數學看作是多種知識形式中的一種文化表現形式或人類活動，那么研究數學的歷史將是有意義的，研究數學的歷史將是在一定的文化背景中更好地理解人類自身和數學知識之間關系的一種比較好的方式．真正地整合數學史到數學教學中，將引導學生把數學史看成聯結不同時間、不同地域和不同領域的數學之紐帶，能讓學生了解數學的發生發展過程，明白數學是一種動態的和創造性的人類活動，明白數學是一種文化現象．課堂教學是學校教育的主陣地，立足于課堂教學探尋教育取向的數學史之于教育系統各要素，如，課程與教材，教學、學習等之間的關系，就顯得非常有必要了．這里以已有的研究為基礎，著重探討HPM的教育價值及其由此衍生的教育應用，并展望在信息技術背景下，HPM的發展態勢．

2 HPM教育價值剖析

教育取向的數學史對課堂教學，對認識數學的文化性，對師范生的培養均有重要意義．

2.1 HPM有助于“理解數學”“理解學生”可以是教學的指南

理解數學、理解學生是做好教學工作的兩個重要前提．HPM在這個兩個方面都能給教師以裨益．

整合數學史到課堂教學中對教師數學素養和教學水平的提升大有裨益．對教師而言，數學史可以改變教師自身對數學的洞察力和對數學的了解，可以幫助教師思考數學．這是一個隨著時間的進行而不斷反思并改善的過程；有了這樣的認識之后，就會影響教師的教學方式，使教師對學生所犯的錯誤采取包容和理解的正面態度，恰如其分地處理學生在學習過程中所犯的錯誤．教師通過應用數學史，以及對數學發生發展的反思，除了有可能引發數學教師自身教學策略的改變以外，最后也可能會影響學生接受和了解數學的方式．如，Barbin認為[3]，在數學教學中融入數學史的最常見的兩個理由是：對于數學是什么的觀念，數學史為人們提供了另一種視角；數學史能使人們對數學的概念和理論有更好的了解，了解數學思想發生發展的過程，有助于增進理解．對比古今，可以更好地明白現代理論的優點及與古代理論之間的關聯．研究數學史和課堂教學的整合能修正教師關于數學的信念，并使數學的學與教更加趨向建構主義的觀點．Tzannaki & Arcavi等提出數學史可以幫助數學教學的5大原因[4]：幫助數學學習；對數學的本質和數學活動的發展的認識，提供了另一種視角；提升數學教師自身的教學知識；讓教師更加熱愛數學；將數學視為一項文化成果．整合數學史到課堂教學中是意識到內隱于數學的各個領域之內，數學與其它學科間聯系的一種很好的方式；若把這種聯系用教學語言表達，幫助學生構建縱橫交錯的認知結構，則是對教師知識和創造性的一種令人興奮的挑戰，將有助于提升教師的學術水平和教學水平．事實上，在整合過程中，教師的數學素養，提問、反應、解釋、舉例等教學技能，呈現或解決問題的方法都大大提高和豐富了．

教育取向的數學史有助于教師理解學生的學習心理，為教師理解學生的學習心理提供了一種途徑．Kelly認為[5]，在學生難以掌握的數學內容和數學共同體難以接受的數學內容之間存在某種聯系．通過研究數學史和它在數學教學中的適當整合，教師對學生在學習過程中遇到的困難更加敏感，能更好地移情性地理解和更有的放矢地講解．因為，學生的學習障礙與過去數學家遇到的障礙相似．Ernest認為[6]，數學史是一種認知預測工具，能幫助教師預測學生在數學學習過程中遇到的認知論障礙；也是一種診斷工具，能幫助教師診斷學生認知表現的錯誤根源．數學史為學生提供了進一步探索的機會和素材，使教學更有針對性，這是提高教學效率的訣竅之一．Barbin還認為[3]，教師的數學史知識除了使他們更好地理解教學中使用的數學概念之外，還能改變他們看待學生的方式，把學生看作是能思考會探究的人．學生的很多認識論障礙是傳統教學把數學割裂了造成的，當以發生發展的觀點運用數學史時，能消解學生通向真正數學理解的認識論障礙．傳統地，人們認為經驗教師因其有豐富的教學經驗而能很好地把握學生的學習心理，初入職的教師則不能；HPM理論改變了人們的觀念，初入職教師通過HPM的學習也能把握學生的學習心理，這是新教師快速成長的一條捷徑．

蕭文強的論述[7]幾乎涵蓋了以上所有觀點，他將教育取向的數學史對數學教學的作用概括為以下幾點：引入學習動機，使教師及學生保持對數學的興趣和熱情；為數學平添人情味，使學生明白前人創業的艱辛，不要把學習中的困難歸結為自己的愚笨；教師也可以從數學發生發展過程中的“絆腳石”來了解學生的學習困難，可以參考數學史作為教學的指引．

HPM通過對課程內容的歷史解讀，對學生心理的歷史把握，進而對教學產生有效的指導作用．

2.2 HPM揭示了數學的文化價值

關注數學發生發展的歷史過程能使教師和學生看到數學演化的特征，看到數學的文化性．歷史性是文化的一個重要特征，數學的發生發展具有歷史繼承性．實用的、科學的、哲學的和美學的因素，共同促進了數學的形成和發展．數學傳統的不斷變革及數學知識的前后延續性是數學發生發展的重要特點．Davitt說[8]，當下的數學理論、思想和算法都是“出身粗糙的碳，但經過打磨了的金剛石”．Reimer & Reimer認為[9]，數學史是一門活的學科，是連接過去與現在的橋梁，新與舊的銜接是數學發生發展中常有的事．數學史充滿了貫穿知識體系發生發展道路上的興衰起伏和趣聞軼事，提供了革新和創造在學科發展過程中起作用的大量例子，如，在19世紀，代數學由于群的概念引進和發展而獲得了新生，為代數結構觀念的產生奠定了基礎；幾何學由于非歐幾何的發現而引發了人們空間觀念和幾何觀念的最深刻的革命；分析學的嚴格化使純粹數學表現出更高的抽象性、更強的統一性、更深入的基礎探討．一代又一代數學工作者“接力式”的工作，使得數學從一個境界走向又一個境界．其中，有“一將功成萬骨枯”的無奈，也有“手起刀落”猜想獲證后的酣暢淋漓，充分表現了數學的文化性．

從發生發展的觀點整合數學史到課堂教學中，能使學生認識和承認影響數學發展的文化的、政治的、社會的和經濟的背景，以及它們在數學演化中所起的重要作用，對學生數學觀的形成有極大的促進作用．在教學中，滲透多元文化的觀點，在寬廣的文化背景中考量數學，可以揭示數學的發生發展脈絡，從而讓學生了解數學與社會發展的關系以及和其它學科之間的聯系，從而獲得對數學本質的深刻認識，更新觀念，實現人類自身的智慧傳承、文化關懷和精神超越．學生可能會意識到數學和社會之間的互動，即社會規范和文化實踐怎樣影響了數學發展，可能會意識到數學實際上是一種創造的和文化的人類努力，是人類知識、思想和方法的薪火傳承．以東方文明為基礎的算法數學和以西方文明為基礎的演繹數學，就是其中的典型代表．數學不是一種形式的符號演繹，每一個字符后面都有鮮活的故事，數學是“人為”的和“為人”的．這樣的教育已經超越了知識教育的藩籬，而是一種文化教育，有助于學生數學觀的形成，有助于學生的成長．

2.3 HPM對教師教育有重要的促進作用

在理論上，教育取向的數學史對教師教育有重要促進作用．E. Jan Dijksterhuis強調數學史在師范教育中的重要作用[10]，他認為對于師范生而言，數學史知識是一種財富，這種財富不僅是寶貴的，而且是不可或缺的，數學史將使他們能夠令人滿意地完成自己的職責．Furinghetti Fulvia認為[11]，數學史不僅是數學文化發展步驟的記載，還能推動對數學知識本源的強有力洞察，師范生要以數學史為背景，以不同方式認識他們將來要教授的主題，從而重塑他們對學校教學模式的信念．教育取向的數學史融數學與歷史于一體，教師能看到各種視角各種觀點的碰撞，做數學的各種活動經驗，在潛移默化中受到了科學方法論的熏陶，教師的數學觀、教學觀和學生觀能得到洗禮．

在實踐上，要“知行合一”，不斷探討教育取向的數學史對教師發展的新視角和新模式．設計在課程中使用數學史的學者得出的綜合性結論是教師培養方式可以從歷史知識中受到啟迪．不過也有少數研究報告說，雖然在教師培養中使用了數學史，但并沒有使師范生的水平發生顯著的變化．研究者認為這可能與使用數學史的角度有關．如果教師運用數學史的方式局限于給師范生提供一些零零碎碎的歷史說明，容易使師范生對數學歷史的發生發展過程形成虛假的和扭曲了的觀點．事實上，局限于運用某個時段的數學史料并不能真正地整合數學史到數學教育中，有可能無法對師范生的學習產生有效的作用．因此，教育取向的數學史應采取發生發展的視角，在寬廣的時空范圍內考量數學，從而發展面向教學的數學知識，為教師職業素養的提高打下堅實的基礎．具體發展模式如可以采取微視頻案例研修的方法，等等．微視頻案例提供了一種情境性的“例中學”方式，有助于教師領會在課堂教學中運用HPM時，無法言說的緘默性知識．研究者正在研究HPM微視頻在教師專業發展中的作用．

3 HPM教育價值應用取向的深度挖掘

教育取向的數學史的教育價值有待挖掘．數學對象具有“過程—對象”的二重屬性已獲得了廣泛的認同，若把最終成形的數學知識看作是一種對象，數學知識當然是在過程中形成的，那么若看重數學史對數學教育的作用，是否也應該在“過程—對象”的整體性框架內充分考量？人們對那種不重思維過程只重思維結果的教學，形象地稱之為“掐頭—去尾—燒中段”，從發生發展的角度運用數學史于數學數育的做法主張實現“燒全魚”，這與中國新課程標準的理念是一致的．盡管人們對教育取向的數學史有很高的評價，但是教學實踐中的應用卻不盡如人意．研究者分別從4條路徑深度挖掘教育取向的數學史的教育價值．

深度挖掘的方向之一是理論基礎建構．在數學教學中運用數學史的最重要的依據是認知的歷史發生原理和發生教學法．研究者曾對此進行過詳細的闡述[12~13]．理論方面的研究還需要更開闊的視野，借鑒不同學科的觀點和方法，特別是和PME的聯動．

深度挖掘的方向之二是教學設計研究．數學史知識與具體數學教學內容的結合，一直是HPM學者的研究目標之一．1995年在美國國家科學基金資助下成立的、由美國數學協會主管的數學史及其在教學中的運用研究所的重要工作之一是開發“歷史模塊項目”．并按下列模塊進行融入數學史的教學沒計：組合學、指數與對數、函數、幾何證明、長度、面積和體積、線性方程、負數、多項式、統計、三角等．運用數學史進行教學設計的一個值得推廣的做法是學習單的設計．如，蘇慧珍利用“數學期望學習單”把歷史無聲地用到了教學之中．這種表面上看起來沒有歷史，實則是以歷史發生發展的精髓為主線的教學設計，是運用數學史于教學設計的典范，也是運用數學史到教學中的努力方向．一般說來，這樣的設計應遵循發生教學法：（1）教師了解所教主題的歷史，即了解主題的歷史現象學；（2）理解該主題歷史進化的關鍵步驟；（3）在現代情境下重構推動進化的關鍵思想或問題，使之在教學上適合介紹新的概念、方法或理論，這樣做是基于歷史而不拘泥于歷史；（4）上述重構按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面的問題的基礎之上，采取有序的問題驅動模式．現在廣為使用的學案導學，是可以把數學史融入在其中的．

深度挖掘的方向之三是效果檢測評價研究．基于發生教學法設計的教學是否有效，還要經過課堂實踐的檢驗．因此，HPM的一項重要研究工作就是教學實驗的設計研究．McBride & Rollins早在1977年就進行了一項為期12周的實驗研究[14]，發現使用數學史知識的課程在提高學習數學的積極性方面是十分有效的．Kool在以20名11—12歲的小學生為對象的教學實驗中[15]，發現學生對歷史上的方法產生了濃厚的興趣，為自己的解法與歷史方法的一致性而興奮不已，從中他們知道了數學問題解法的多樣性，比較了解法的優劣，加深了理解，拓寬了思維．Lakoma從歷史角度對概率統計的教學做了深入研究[16]，指出在教概率時應該將概率概念歷史發展的二重性同步地教給學生，否則會妨礙學生今后的認識．Bakker經過5個班級的循環實驗[17]，設計了一套能幫助學生更好地學習平均數的教學方案．他給出了幾點基于歷史發生發展的教學建議：有必要把估計總數作為平均數教學的開端；引入中列數的概念；利用幾何方法定義平均數．

深度挖掘的方向之四是教師發展研究．運用教育取向的數學史促進教師專業發展是HPM的重要意義之一．蘇意雯通過個案研究了教師實施HPM教學的改變[18]，研究發現教師的反思、批判能力增強了；推動其對數學知識的統整，加強了邏輯和歷史層面之間的連結；其轉向了以學生為主體的教學．洪萬生對比了兩位教師發展的案例[19]，探索了當HPM介入數學教師專業發展時，參與的教師可以在哪些方面獲得發展，同時也據此提出了有關數學教師專業發展的策略，研究指出，即使參與研究的教師既資歷淺，又對數學史料略知一二時，也可以利用HPM來促進其專業發展，譬如HPM所引發的“反思”與“統整”，對于教師面向教學的數學知識素養，就可以帶來非常正面的幫助．劉柏宏等研究了用歷史發生發展的方法教授微積分課程的做法[20]，及如何發展臺灣大學生有關數學思考的觀點．研究發現，被試可能更珍視做數學過程中的邏輯感、創造性和想象力．而且，大學生更傾向對數學知識的確定性持保守態度．被試的關注經歷了從把數學看作結果轉變到把數學看作過程的轉變．研究者本人也承認他對數學思考的深刻理解大部分是從數學史中獲得的．汪曉勤通過個案研究指出[21]，HPM介入數學教學后，實驗教師逐漸形成了自己的教學風格，對教材的批判能力有了提升，對教材的拓展意識有了增強，對學生的認知規律有了更深刻的理解，教學研究能力有了改善．HPM可以有效地促進中學數學教師的專業發展．

當然還有很多嘗試，由于還不太成熟，故在此沒有展開論述．如，HPM視角下的教材深度解讀[22]，HPM與問題解決[23]，等等．

4 深度挖掘HPM教育價值應用的新嘗試

在信息化時代，要與時俱進地尋找新的方式和手段挖掘HPM的教育價值，并推動其更好的走向實踐．教育取向的數學史的教育價值需要用信息技術的手段加挖掘．這是一條比較新的研究路徑．Kidron對84名16—17歲學生做了多項式逼近的教學試驗[24]．他將歷史材料與現代計算機技術做了完美的結合，參照歷史發生發展的順序，從18世紀歐拉和拉格朗日到19世紀柯西和切比雪夫，最后到20世紀初的龍格，利用計算機軟件演示各個階段多項式逼近函數的過程．循著歷史發生發展的脈絡來引導課堂教學，帶領學生追溯了理論創立者的思考過程，歷史發生發展的視角促進了學生對極限、收斂、逼近等概念的深入理解．計算機將靜態的代數表達式轉化成動態的圖形，鍛煉了學生的直覺思維．有鑒于此，研究者對這個方向非常感興趣，先期做了一些經驗性的研究，如“超級畫板支持三角形和定理：從歷史到課堂”、“按掘趙爽弦圖的導入功能：信息技術使數學史熠熠生輝的一則案例”等經驗性課題，然后在此基礎上成功地申報了中國博士后科學基金特別資助項目“信息技術推動數學歷史文化進入課堂教學之研究”的課題．研究者注意到在最新的外文文獻中也有了這方面的嘗試了[25]．作為課堂教學重要導引的選拔性考試，也越來越重視從數學史料的取材并命制成高考試題．如，2015年湖北高考第21題源于荷蘭數學家舒騰（F. van Schooten）的橢圓作圖工具，能在超級畫板的支持下很好地演示出來．這是信息技術與數學史結合的一個很好的嘗試．前面提到的制作HPM微視頻也是一種新的嘗試[26]．

要改變數學史“高評價，低利用”的現狀，就要充分挖掘教育取向的數學史的教育價值，并使之具象化．如何挖掘，并使教育取向的數學史的教育從口號式理念走向工程化的教學實踐，需要教育工作者不斷地探索、尋求新的有效方式．

[1] 李文林．數學的進化——東西方數學史比較研究[M]．北京：科學出版社，2005．

[2] Sierpinska A. The Diachronic Dimension in Research of Understanding in Mathematics Usefulness and Limitations of the Concepts of Epistemological Obstacle [A]. In: Jahnke H, Knoche N, Otte M.[C]. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1986.

[3] Barbin E. The Role of Problems in the History and Teaching of Mathematics [A]. In: Calinget R.[C]. MAA, Washington, 2000.

[4] Tzanakis C, Arcavi A. Integrating History of Mathematics in the Classroom: An Analytic Survey [A]. In: Fauvel J, van Maanen J.[C]. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2000.

[5] Kelley L. A Mathematical History Tour [J]., 2000, 93(1): 14-17.

[6] Ernest P. The History of Mathematics in the Classroom [J]., 1998, 27(4): 26-31.

[7] 蕭文強．數學史與數學教育：個人的經驗和看法[J]．數學傳播，1992，（3）：23-29．

[8] Davitt R M. The Evolutionary Character of Mathematics [J]., 2000, 93(8): 692-694.

[9] Reimer L, Reimer W.[M]. Dale Seymour Publications, 1993.

[10] ?Fauvel J, Maanen J Van.[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[11] ?Furinghetti F. Teacher Education through the History of Mathematics [J]., 2007, 66(2): 131-143.

[12] 徐章韜，汪曉勤，梅全雄．認知的歷史發生原理及其教學工程化——以數學學科為例[J]．數學教育學報，2012，21（1）：26-42．

[13] 徐章韜，汪曉勤，梅全雄．發生教學法：從歷史到課堂[J]．數學教育學報，2010，19（1）：10-12．

[14] ?McBride C, Rollins J H. The Effects of History of Mathematics on Attiudes toward Mathematics of College Algebra Students [J]., 1977, 8(1): 57-61.

[15] ?Kool M. An Extra Student in Your Classroom: How the History of Mathematics can Enrich Interactive Mathematical Discussions at Primary School [J]., 2003, 32(1): 19-22.

[16] ?Lakoma E. Statistics Teaching and Cognitive Development [A]. In: Fauvel J, Van Maanen J.[C]. Dordrencht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[17] ?Bakker A. The Early Development of Average Values and Implications for Education [J]., 2003, 11(1) http: //www.amstat.org/publications/je/vlnl/bakker.html.

[18] 蘇意雯．數學教師以HPM促進專業發展之個案研究[EB/OL]．http://www.mtedu.tmue.edu.tw//eeys_teaching/研討會/2004/0/6數理教師專業發展學術研討會/PDF/113.pdf.

[19] 洪萬生．PCK vs. HPM：以兩位高中數學教師為例[A]．臺北：數學教育會議文集，2005．

[20] ?Liu Po-Hung, Niess Margrgaret L. Do Teachers Need to Incorporate the History of Mathematics in Their Teaching [J]., 2003, 96(6): 416-421.

[21] 汪曉勤．HPM與初中數學教師的專業案例發展——一個上海的案例[J]．數學教育學報，2013，22（1）：18-22．

[22] 徐章韜，梅全雄．HPM視角下的數學教材編寫[J]．數學教育學報，2009，18（3）：14-17．

[23] 徐章韜．青浦經驗：數學活動經驗的教育表達[J]．數學教育學報，2008，17（5）：6-9．

[24] ?Kidron I. Polynomial Approxnation of Function: Historical Perspective and New Tools [J]., 2003, (8): 299-331.

[25] ?Papadopulos I. How Archimeds Helped Students Go Unravel the Mystery of the Magical Number Pi [J]., 2013, (8): 43-59.

[26] 侯小敏，汪曉勤．HPM微課在初中數學中的運用[J]．中學數學月刊，2015，（6）：61-63．

[責任編校：周學智]

Education Value and Application of HPM

XU Zhang-tao1, WANG Xiao-qin2

(1. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

HPM can serve a guide for teaching, and can reveal the cultural value of mathematics; and has an important role in promoting teacher education. An empirical Study of historical-genetic principle of cognition, instructional design study based on the history of mathematics, experimental study of the use of historical knowledge in the classroom teaching and the use of mathematical history to promote the teacher education exploit the value of HPM. It is a worthy path to explore the educational value of HPM by the means of IT.

history of mathematics education to education; education value; IT

G40-03

A

1004–9894（2016）06–0010–05

2016–10–18

華中師范大學中央高校基本科研業務費項目——基于學習理論的信息技術與學科教科書的整合（CCNU15A06015）；華中師范大學重大科研課題及創新示范基地培育項目——TPACK視角下卓越數字化教師的培養研究（CCNUE2015-5）

徐章韜（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，國家數字化學習工程技術研究中心博士后，主要從事信息技術背景下的教師知識研究．