詳解函數(shù)y=Asin(x+)的圖像

?任曉麗

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學(xué) 730000)

詳解函數(shù)y=Asin(x+)的圖像

?任曉麗

函數(shù)y=Asin(x+)的圖像的教學(xué)是高一數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。解決了這個(gè)難點(diǎn)，可以使學(xué)生清楚地掌握函數(shù)y=Asin(x+)的圖像與性質(zhì)，同時(shí)加以推廣，還可以使學(xué)生掌握一般函數(shù)y=Af(x+)的圖像變換，達(dá)到觸類旁通的效果。

分層教學(xué)；一般函數(shù)；圖像變換

函數(shù)y=Asin(x+)的作圖，教材中介紹了“五點(diǎn)法”與圖像變換法。五點(diǎn)法是畫簡圖的具體操作，只須找準(zhǔn)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(三個(gè)零點(diǎn)與兩個(gè)最值點(diǎn))，方法是設(shè)X=x+,令X分別取0、π、2π，求出對應(yīng)的x與y的值，描點(diǎn)、連線即可。比較而言，學(xué)生容易掌握。而圖像變換法才是基礎(chǔ)，也是教學(xué)目的所在。它提示了正弦函數(shù)圖像的內(nèi)在聯(lián)系、是本章重中之重。只有搞清了圖形變換，即振幅變換、周期變換、相位變換、平移變換，才能達(dá)到全盤皆活的功效。下面就本人對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、 分化難點(diǎn)，實(shí)施分層教學(xué)

為了更好地實(shí)施因材施教，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同程度地發(fā)展，結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與學(xué)習(xí)情況，將學(xué)生按一定的比例分為高、中、低三個(gè)層次，將y=Asin(ωx+φ)的圖像的教學(xué)分為三個(gè)層次目標(biāo)。第一層次目標(biāo)：會用五點(diǎn)法作圖，面向所有的學(xué)生，讓低層的學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中來；第二層次目標(biāo)：讓學(xué)生掌握單一的圖形變換，通過學(xué)習(xí)課本中給出的例例2、例3，讓學(xué)生掌握：

①振幅變換：y=sinxy=Asinx (A>0且A≠1)

②周期變換：y=sinx y=sinx (>0且≠1)

③相位變換：y=sinxy=sin(x+)(≠0)

④平移變換：y=sinxy=sinx+k(k≠0)

這一層目標(biāo)主要面向中、低層學(xué)生，力爭讓低層學(xué)生由學(xué)習(xí)的思考者變?yōu)閷W(xué)習(xí)的活動者。第三層目標(biāo)：讓學(xué)生掌握y=Asin(ωx+)的復(fù)合變換。給出例題

例4 如何由y=sinx的圖像變換得出y=3sin(2x+)的簡圖？

因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握了上述四種單一變換，所以會對本題或多或少地發(fā)表見解，這時(shí)可不失時(shí)機(jī)地分組討論，既培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神，又讓學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)問題，讓基礎(chǔ)較差的學(xué)生由旁觀者變?yōu)樗伎颊撸械葘W(xué)生由思考者變?yōu)閰⑴c者，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法：

由于A、、的次序不同，從y=sinx圖像到y(tǒng)=Asin(x+)的圖像的變換可分為A3 3種不同的形式，即：A--，A--，--A，-A-，--A，-A-六種。但在這六種不同變換中，可以發(fā)現(xiàn)與是互相影響的，而A在變換過程中不影響與，也不受與變換的影響。因此，在這六種變換中可先不考慮A，等ω與變換好之后再來變A。這樣，上述六種變換可以化為兩大類，即：“--A”與“--A”，所以可引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法解題：

方法一：“--A”： y=sinx y=sin( x+) y=sin(2x+) y=3sin(2x+)

方法二 “--A”： y=sinx y=sin2x y=sin(2x+) y=3sin(2x+)(圖略)

但在這兩種不同的方法中學(xué)生很容易出現(xiàn)以下易錯(cuò)點(diǎn)：

易錯(cuò)點(diǎn)1：移時(shí)移多少？學(xué)生在解題時(shí)往往不論與的先后次序，一律移||個(gè)單位。為了預(yù)防這個(gè)錯(cuò)誤的發(fā)生，教學(xué)時(shí)可這樣講解，先后，沒有來及影響，故只需移||個(gè)單位；而先后，則沒有趕上的伸縮機(jī)會，要補(bǔ)上伸縮，需移個(gè)單位。

易錯(cuò)點(diǎn)2：在先后中，是否受的影響？學(xué)生在解題時(shí)往往出現(xiàn)這樣情形：

y=sin(x+) y=sin(x+)

為防止出現(xiàn)此類問題，可給學(xué)生強(qiáng)調(diào)：先后，沒有來及影響，所以不參加伸縮變換，得到y(tǒng)=sin(x+)。而y=sin(x+)是把y=sinx左右平移||個(gè)單位得到。

第三層目標(biāo)主要面向中高層學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性與創(chuàng)造性，不僅讓學(xué)生知其然，而且要知其所以然。應(yīng)該說有了以上三個(gè)層次的教學(xué)，學(xué)生初步掌握了函數(shù)y=Asin(x+)的圖像變換。在此基礎(chǔ)上，略加引導(dǎo)，學(xué)生就會掌握其他三角函數(shù)的圖像變換。但對非三角函數(shù)的圖像變換的情形又將是如何呢？

二、 拓寬知識，提升理論、概括一般函數(shù)的圖像變換

設(shè)疑：對任意函數(shù)y=f(x),怎樣通過圖像變換得到y(tǒng)=Af(x+)+k的圖像？結(jié)合y=Asin(x+)的圖像的單一變換，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并總結(jié)。不難理解，在y=Af(x+)+k的圖像變換中，與k是通過左右與上下平移來實(shí)現(xiàn)的，而A與是通過壓縮或拉伸y=f(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)來完成變換的。具體總結(jié)如下：

變換1： 一般地，y=Af(x) (A>0且A≠1)的圖像可看作是y=f(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)拉伸(A>1)或壓縮(0

變換2： 一般地，y=f(x) (>0且≠1)的圖像可看作是y=f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮(>1)或拉伸(0<<1)為原來 的倍(縱坐標(biāo)保持不變)而得到的。稱為橫向伸縮變換

變換3： 一般地，y=f(x+) +k(≠0且k≠0)的圖像可看作是y=f(x)圖像向左(>0)或向右(<0)平移||個(gè)單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位得到。稱為平移變換

例5 把函數(shù)y=log2(x-1)的圖像向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)壓縮為原來的，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為 ____________________。

分析：由平移變換與橫向伸縮變換可知

y=log2(x-1) y=log2(x-) y=log2(2x-)

強(qiáng)調(diào)：在先后的變換中，沒有來及影響。

此時(shí)，同學(xué)們可能會問為什么要限定A>0且A≠1和>0且≠1呢？A和可不可以為負(fù)值？

這個(gè)問題問得好，可以這樣講解：當(dāng)A﹤0(﹤0)時(shí)，-A>0(->0)，就出現(xiàn)了y=Af(x)與 y=-Af(x)(y=f(x) 與y=f(-x))之間的關(guān)系。顯然，y=Af(x)與 y=-Af(x)圖像上對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)相反，圖像關(guān)于x軸對稱;同理可知，y=f(x) 與y=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱。引導(dǎo)得出

變換4：一般地，y=-Af(x)圖像可看作是由y=Af(x)的圖像關(guān)于x軸對稱得到; y=f(-x)圖像可看作是由y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱得到。稱為對稱變換、也稱整體翻轉(zhuǎn)變換

推論：一般地y=-Af(-x)圖像可看作是y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱得到

例6 已知函數(shù)y=f(x)的圖像變換如下

y=f(x) C1： C2： y=2x+1

求f(x)的解析式

分析：方法一： 將以上變換逆回頭

y=2x+1 C2：y=-(2x+1) C1: y=-(2x -2+1)

y=-(23x -2+1)

方法二： 利用點(diǎn)變換

設(shè)P(x,y)是y=f(x)圖像上的任意點(diǎn) P1 (3x,2y) P2(3x-2,2y) P3(3x-2,-2y)

∵P3在y=2x+1上 ∴y=-(23x -2+1)

對于任意函數(shù)y=f(x)除了以上伸縮變換、平移變換、整體翻轉(zhuǎn)變換以外，還有部分翻轉(zhuǎn)變換

f(|x|)= |f(x)|=

即在作函數(shù)y=f(|x|)圖像時(shí)，只需先畫出y=f(x)在y軸右側(cè)的部分(y=f(x)，x≥0)，再將右側(cè)的部分翻轉(zhuǎn)1800到y(tǒng)軸左側(cè)，左右兩側(cè)看作整體就是y=f(|x|)的圖像。而作y=|f(x)|圖像，則是保留了y=f(x)圖像在x軸上側(cè)的部分，并且把x軸下側(cè)的圖像沿x軸翻轉(zhuǎn)1800到x軸的上方，就得到y(tǒng)=|f(x)|的圖像了。

對于知識點(diǎn)的拓寬力爭讓所有學(xué)生都參與其中，在老師的引導(dǎo)下討論學(xué)習(xí)，只有掌握了以上幾種圖像變換，才能使學(xué)生做出正確函數(shù)的圖像，同時(shí)提高學(xué)生的識圖能力和數(shù)形結(jié)合的解題能力。

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學(xué) 730000)