淺論高中數(shù)學(xué)解題過程中構(gòu)造法的運(yùn)用

?杜新生

(作者單位：山東省寧陽第二中學(xué) 271400)

淺論高中數(shù)學(xué)解題過程中構(gòu)造法的運(yùn)用

?杜新生

高中階段是一個在較短時間內(nèi)學(xué)習(xí)大量較難知識的階段，高中數(shù)學(xué)對高中生來說更是一門很難的學(xué)科，常規(guī)的思維方法一般很難對高中數(shù)學(xué)題進(jìn)行求解，構(gòu)造法是一種新穎的解題思維方法。本文首先介紹了構(gòu)造法的概念和特點(diǎn)，接著從函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何圖形四個方面通過列舉實(shí)例說明介紹構(gòu)造法。

構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；解題過程；應(yīng)用案例

一、構(gòu)造法的含義

在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的求解時，很多同學(xué)使用的都是常規(guī)的思考解題方法，常規(guī)的思考解題方法就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題中已經(jīng)給出的條件，向結(jié)論方向做定向思考，然而數(shù)學(xué)的某些問題如果一貫使用常規(guī)的思考問題的方式是很難得到最終正確答案的，有的問題甚至?xí)翢o頭緒，沒有辦法下手。就好比我們走路時遇到障礙后，常規(guī)的思維方式都是把障礙清除，然后再通過，但是發(fā)現(xiàn)障礙很難清除，這個時候就必須找到一條新的路繞過障礙，才能更快更簡單地到達(dá)目的地。也就是說，當(dāng)我們以常規(guī)的解題思維方式得不到正確的答案時，我們就應(yīng)該摒棄常規(guī)的解題思維方式，從新的角度思考，這樣就可以找到一種新的解題思路，從而得到正確的答案。

構(gòu)造法是一種比較新穎的解題思維方法，是通常遇到的數(shù)學(xué)問題以常規(guī)定向的思維方式不能得以解決的時候，通過根據(jù)題中給出的已知條件與正確答案的特點(diǎn)和本身的性質(zhì)，以不同的角度和不同的觀點(diǎn)，將對象進(jìn)行細(xì)致觀察、分析后加以相應(yīng)的理解，并且緊緊抓住題中已給條件和所想獲得的結(jié)論兩者之間的聯(lián)系，根據(jù)題中所給出的數(shù)據(jù)、坐標(biāo)等信息的特點(diǎn)，把問題中已經(jīng)給出的條件作為原材料，將自己已經(jīng)知道的數(shù)學(xué)關(guān)系式與理論當(dāng)成工具，再加上自己的思考，構(gòu)造出滿足題中給出的已知條件或者結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，以便在剛才構(gòu)造出來的新的數(shù)學(xué)對象中清楚明了地表達(dá)顯示出原來問題中隱藏的關(guān)系和性質(zhì)，最后把新的數(shù)學(xué)對象作為一種工具，借用這個工具幫助自己高效地解決原來的數(shù)學(xué)問題，得到相應(yīng)的正確答案或者證明相應(yīng)的結(jié)論，這種新的解題思維方法就是構(gòu)造法。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的長河中發(fā)揮著巨大的作用，譬如歐幾里得、高斯等非常有名的數(shù)學(xué)家，都有過使用構(gòu)造法解決自己遇到的數(shù)學(xué)難題的經(jīng)歷，構(gòu)造法給他們無盡的啟示與靈感。

數(shù)學(xué)是一門需要創(chuàng)造性的學(xué)科，這門學(xué)科體現(xiàn)著異常豐富的美感。在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究或者解決數(shù)學(xué)難題時，巧妙地構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)對象快速高效解決問題，往往會使人眼前一亮，給人一種柳暗花明的感覺，數(shù)學(xué)的一部分美也就在這時體現(xiàn)出來。與此同時，還會使你更專注地深入其中，體會其中的樂趣與發(fā)掘其中的美，不僅給人帶來了相應(yīng)的研究價值，還具有一定的欣賞意義。

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

1.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用基礎(chǔ) 由于構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)難題中發(fā)揮的作用越來越明顯，尤其是在數(shù)學(xué)素質(zhì)要求較高的數(shù)學(xué)競賽中作用更明顯，平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也離不開構(gòu)造法的應(yīng)用。使用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)上遇到的問題，需要學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和解題經(jīng)驗非常豐富，這是進(jìn)行構(gòu)造的重要知識基礎(chǔ)。要求學(xué)生具有很強(qiáng)的觀察能力，能看出和抓住已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，還需要學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合能力以便利用數(shù)學(xué)中方程、幾何等各方面的知識，更不能缺少的就是較強(qiáng)的創(chuàng)造能力，這是進(jìn)行構(gòu)造法的關(guān)鍵。利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)上遇到的難題時，有許多形式各樣的對象能夠被用來構(gòu)造，根據(jù)這些對象的特點(diǎn)或者內(nèi)容可以將它們劃為函數(shù)、方程、圖形、反例等。在使用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題時，切忌生搬硬套，構(gòu)造法是沒有特定的模式和套路的，是非常靈活的。構(gòu)造法的特點(diǎn)是“構(gòu)造”，而怎樣“構(gòu)造”，沒有通用的“構(gòu)造”法則，但是其中還是有一定的規(guī)律可言的。首先要明白自己進(jìn)行構(gòu)造的目的，再者要弄明白問題的特點(diǎn)，再根據(jù)具體的情況，確定進(jìn)行構(gòu)造的方案，靈活巧妙地使用構(gòu)造法構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象，以便快速地解決數(shù)學(xué)難題。

2.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例 往往高中數(shù)學(xué)對課業(yè)繁重的高中生來說是晦澀難懂的。正確恰當(dāng)?shù)厥褂脴?gòu)造法，不僅高中生可以方便快捷地求解高中數(shù)學(xué)題，縮短考試時的做題時間，提高做題的正確率，還可以使高中生在使用構(gòu)造法的過程中對數(shù)學(xué)各方面的知識得以綜合使用，加深對所學(xué)知識的理解和擴(kuò)展自己解題的思路，促進(jìn)以后的學(xué)習(xí)。下面舉例介紹構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)不同知識點(diǎn)中的解題應(yīng)用。

(1)構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用。函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一部分重要的知識，靈活運(yùn)用可以解決很多數(shù)學(xué)問題。要想靈活地運(yùn)用函數(shù)，首先必須掌握函數(shù)的特性，函數(shù)的特性有有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、凹凸性、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等，只有熟練掌握了函數(shù)的這些特性，才能夠靈活正確地使用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，一定的情況下，可以根據(jù)問題中給出的已知條件的特點(diǎn)與結(jié)論的特征，利用函數(shù)的特性，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，把一些不等式證明等問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的特性分析，會在很大程度上簡化問題，縮短做題時間，提高解題效率。現(xiàn)在運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法解決數(shù)學(xué)題有幾個難點(diǎn)：一是高中的數(shù)學(xué)題形式各樣，很難分清那種題型可以使用函數(shù)構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題，哪些不可以使用，這對高中生的要求很高。二是使用函數(shù)構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，其本身的難度就比較大，高中生一般很難靈活使用。三是解題過程中哪一步需要構(gòu)造也很難搞清楚，有的需要一開始就構(gòu)造，有的是在解到一半的時候需要構(gòu)造函數(shù)，這都體現(xiàn)了這種方法的難度。下面舉一個簡單的例子說明這種方法的運(yùn)用。

把不等式問題變成了利用函數(shù)的特性進(jìn)行求解的問題，簡單快速地解決這個不等式問題。

(2)構(gòu)造方程應(yīng)用。方程是在接受初中教育時就學(xué)習(xí)的一種數(shù)學(xué)知識，對高中生來說方程不是一種新的事物。方程指的是那些含有未知數(shù)的等式，解方程也就是求其中的未知數(shù)的值，或者未知數(shù)的表達(dá)式。有些數(shù)學(xué)問題有很多未知條件，這個時候為了避免進(jìn)行逆向思考，就可以直接列方程，將未知數(shù)用數(shù)學(xué)符號等表示，然后建立等式，再根據(jù)等式之間的關(guān)系進(jìn)行未知數(shù)的求解，省去了不少麻煩。高中數(shù)學(xué)問題由于計算量的增大、未知量的數(shù)量增加和未知量之間關(guān)系的復(fù)雜化，使得直接進(jìn)行未知量的求解根本無從下手。很多情況下可以運(yùn)用初中所學(xué)的解方程的基礎(chǔ)知識和高中解方程的知識，利用問題中給出的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，構(gòu)造出相應(yīng)的方程。這樣不但可以使問題簡單化，易于下手，解題過程也變得簡單，計算量減少，不容易犯錯，能夠快速地得到正確答案，節(jié)省了寶貴的學(xué)習(xí)時間，還開闊了學(xué)生的解題思路，提高了學(xué)生的觀察能力和數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力。

三、結(jié)語

構(gòu)造法是一種極具創(chuàng)造性的解題思維方法，同學(xué)們在平時解決數(shù)學(xué)問題的過程中，遇到合適的題型應(yīng)當(dāng)多使用構(gòu)造法，在實(shí)踐中不斷提高自己用構(gòu)造法解題的能力，這樣不僅能鍛煉自己快速有效地解決數(shù)學(xué)問題的能力，還能培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性。

(作者單位：山東省寧陽第二中學(xué) 271400)