隨機振動機械臂的自適應魯棒滑模控制

姚來鵬　侯保林

南京理工大學，南京，210094

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隨機振動機械臂的自適應魯棒滑模控制

姚來鵬侯保林

南京理工大學，南京，210094

摘要：為了解決存在外部不確定隨機干擾情況下機械臂的高精度軌跡跟蹤問題，提出了一種自適應魯棒滑模控制方法，并用Lyapunov穩定性定理證明了其閉環系統的穩定性。采用飽和函數取代控制器中的符號函數，有效消除了控制器的抖振現象。仿真結果證明：與傳統的PID控制器相比，提出的自適應魯棒滑模控制器具有更高的魯棒性、穩定性和精度。

關鍵詞：機械臂；自適應；魯棒性；滑模控制

0引言

隨著技術的發展，機械臂的應用越來越廣泛，例如航天上的空間自由漂浮機械臂、船舶上的機械手、坦克上的彈丸傳輸機械臂等。但是，由于工作環境的原因，機械臂在運動過程中，存在各種不確定干擾的影響，例如慣性參數的不確定性、機械臂結構的柔性以及摩擦、安裝基礎的振動等，機械臂的高精度運動控制和穩定性一直是個難點。因此，研究機械臂在不確定性干擾存在的情況下的控制問題具有極其重要的意義，也是國內外研究的一個熱點問題。

PID控制作為一種簡單而實用的控制方法，在機械臂控制中得到了廣泛應用。然而，在面對各種不確定性干擾影響時，PID控制下的機械臂系統難以獲得理想的動態品質，這制約了機械臂性能的提高。

陳力[1]基于增廣變量法對系統的動力學方程進行線性化，針對存在慣性參數不確定的空間自由漂浮機械臂，提出了魯棒自適應混合控制方法。Toda等[2-4]采用魯棒控制與比例微分反饋控制相結合的方法，針對安裝在船舶或其他海洋結構上的存在參數不確定的單自由度機械臂[2]、雙自由度機械臂[3-4]，基于安裝基礎的振動頻率范圍已知的假設，設計了魯棒跟蹤控制器，獲得良好的軌跡跟蹤性能。

滑模控制(sliding mode control，SMC)作為變結構控制的一種，具有對參數變化及外部擾動不敏感、無需被控系統精確數學模型等優點，已成為非線性控制領域關注的熱點問題之一[5-7]。吳玉香等[8]利用滑模控制方法與非完整運動學系統的鎮定策略，給出了一類帶有未知慣性參數的移動機械臂的魯棒鎮定方法；黨進等[9]針對一類柔性關節機器人，提出了一種基于自適應模糊滑模的魯棒控制器。

上述文獻主要研究了在慣性參數不確定性與結構柔性情況下機械臂的控制問題，并沒有考慮機械臂安裝基礎振動帶來的非線性影響，或者考慮了安裝基礎的振動，但假設振動的頻率范圍是已知的，而本文所研究的安裝基礎振動是由外力引起的隨機振動，并且振動頻率是未知的。

針對上述問題，本文對一個安裝基礎存在隨機振動的單自由度機械臂進行了運動學、動力學分析，采用自適應魯棒滑模控制方法，研究了這類不確定性機械臂的軌跡跟蹤控制問題，并采用Lyapunov方法證明了其閉環系統穩定性。仿真研究驗證了本文方法的有效性和正確性，并且獲得了明顯優于傳統PID控制策略的性能，提高了不確定隨機振動情況下機械臂的運動控制魯棒性、穩定性和精度。

1隨機振動機械臂的數學建模

本文選取的研究對象是一個隨機振動影響下的單自由度機械臂，其三維模型見圖1。

圖1　單自由度機械臂三維模型

本文所要研究的問題是，在給定范圍內的隨機振動激勵下，設計一個合理的控制器，使得機械臂可以在有限時間內跟蹤給定的目標信號。

根據質量轉動慣量等效原理，用一個集中在支撐板質心上的等效質量代替除支臂外的所有部件的質量，用一個與支臂同轉軸的機械臂的等效轉動慣量來代替所有轉動部件的轉動慣量，圖1所示的機械系統可以等效轉換為圖2所示的動力學模型。圖2中，OXY為直角坐標系；A為安裝基礎的等效質心；C為機械臂等效質心；l為A與C之間的距離；機械臂長為2l；θ為機械臂的轉動角度；y為安裝基礎的位移。

圖2　受擾動單自由度機械臂動力學模型

根據第二類拉格朗日方程建立動力學方程：

(1)

如果假設安裝基礎的振動規律來自于外部隨機強制輸入，機械臂對安裝基礎的運動規律就沒有影響，則安裝基礎隨機振動對機械臂的作用可以視為不確定外部擾動，因此根據式(1)可以得到新的動力學模型：

(2)

J′=m2l2+J

(3)

式中，d(t)為外部有界隨機擾動項，且滿足|d(t)|≤D；D為常數。

在實際工作過程中，將理想軌跡定義為xd，位置跟蹤誤差定義為e=x1-xd。本文的控制目標即為使實際狀態時刻跟蹤理想狀態，以保證跟蹤誤差趨近于0。

2自適應滑模控制器設計

自適應控制是一種能修正自身特性以適應對象和擾動動態變化的一種控制方法。采用自適應魯棒控制方法可以達到很好的控制系統性能[10-11]。

定義滑模函數為

(4)

式中，c為控制參數，c>0；e為位置跟蹤誤差。

控制律設計為

u=ua+us1+us2

(5)

us2=-ηsgn(s),ks>0,η>D

取w=J′為系統未知的等效轉動慣量，ua為自適應補償項；us1為反饋項；us2為魯棒項。

定理1對于不確定機械系統(式(3))，在控制律(式(5))的作用下，系統可漸進跟蹤期望狀態xd。

證明構造Lyapunov函數如下:

(6)

取自適應律

(7)

Lyapunov函數對時間求導，并將式(4)、式(5)、式(7)代入式(6)得

-kss2-η|s|+d(t)s<-kss2≤0

因此系統是漸近穩定的，可漸近跟蹤期望狀態。

(8)

(9)

由于符號函數具有非連續性，所以狀態參量在接近滑模面時將產生“抖振”現象。本文采用飽和函數sat(·)代替符號函數sgn(·)，以平滑控制信號，減弱抖振現象。飽和函數設計為

(10)

式中，δ為邊界層厚度，δ>0。

3仿真與分析

仿真參數取J′=4.5 kg·m2,m2=3.4 kg,g=9.8 m/s2,l=0.5 m，取振幅大小為10 m/s2的隨機振動干擾，如圖3所示。

圖3　隨機振動干擾

取期望位置軌跡為sin2πt，參數w的變化范圍取wmax=5，wmin=4。控制參數取c=50,γ=500,ks=35,η=D+0.01=20.01,δ=0.01，仿真結果如圖4～圖7所示。

圖4　位置跟蹤曲線

圖5　速度跟蹤曲線

圖6　位置誤差跟蹤曲線

圖7　控制輸入

由圖6的仿真結果曲線可以看出，系統在不到2s的時間內進入穩態，機械臂在自適應魯棒滑模控制器的作用下，跟蹤誤差收斂到0，具有良好的軌跡跟蹤性能。控制器對系統的隨機振動干擾具有很強的魯棒性，仿真結果證明了控制器的正確性和有效性。

為了驗證本文自適應魯棒滑模控制器的性能，采用常用的PID控制器進行對比，如圖8所示，由仿真結果可見，PID控制器作用下位置跟蹤誤差在±0.1rad之間波動，無法獲得高精度的控制效果。

圖8　PID控制下的位置誤差跟蹤曲線

圖9顯示了仿真過程中J′的參數估計，文獻[12]詳細分析了自適應控制系統的位置跟蹤中，參數估計收斂誤差問題。通常參數估計不收斂的原因有兩種：一種是位置指令信息未能達到“持續激勵”條件即不夠豐富；另一種是除了真實參數值之外，可以有多個參數估計值滿足位置跟蹤收斂條件。

圖9　J′的參數估計

4結語

本文針對安裝基礎存在未知頻率隨機振動的單自由度機械臂，采用自適應魯棒滑模控制方法，研究了這類不確定性機械臂的軌跡跟蹤控制問題，并采用Lyapunov方法證明了系統的穩定性。與一般機械臂的PID控制器相比，所設計的控制器克服了安裝基礎的隨機振動的影響，實現了機械臂的高精度軌跡跟蹤，具有良好的魯棒性。說明提出的自適應魯棒滑模控制算法能有效解決這類隨機振動影響下機械臂的軌跡跟蹤問題。本文的研究為此類不確定性動力學控制問題提供了參考，具有實際應用前景。

參考文獻：

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(編輯蘇衛國)

Adaptive Sliding Mode Control of Robotic Manipulators with External Uncertain Stochastic Vibration

Yao LaipengHou Baolin

Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094

Abstract:To address high precision tracking control problem of robotic manipulators with external uncertain stochastic vibration, an adaptive sliding mode control strategy was proposed. The stability of the closed-loop system was proved by Lyapunov stability theorem. By using saturated function instead of symbolic function of the controller, the controller could effectively eliminate the chattering phenomenon. Simulation results confirm that the proposed adaptive sliding mode controller has higher robustness, stability, precision to track the desired trajectory compared to conventional PID controller.

Key words:robotic manipulator; adaptive scheme; robustness; sliding mode control

作者簡介：姚來鵬，男， 1991年生。南京理工大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為滑模控制、神經網絡智能控制。侯保林，男，1965年生。南京理工大學機械工程學院教授、博士研究生導師。

中圖分類號：TP273

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.05.022

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51175266)

收稿日期：2015-04-16