高職院校初等數學三角函數教學對策探究

黃梅花

南通開放大學經濟管理學院（南通　226000）

高職院校初等數學三角函數教學對策探究

黃梅花

南通開放大學經濟管理學院（南通226000）

高職院校的數學教學與此前的數學學習有諸多重疊，尋找新的視角并進行教學思路的重構，是教學對策研究的重要思路。三角函數是初等函數中的基礎性知識，高職院校的教學需要，決定了該知識構建需要從函數視角重新認識三角函數的定義，需要抓住同角三角函數這一核心，以完成對三角函數的整體認知的構建。此過程中，還需要關注數學與專業的需要，以在提升學生數學素養的同時提升專業素養，以充分發揮數學學科的基礎性作用。

初等數學；三角函數；教學對策

學生進入高職院校之后，初等數學是基本學習內容之一，其中的三角函數知識作為描述周期性現象的重要模型，一直以來都受到廣泛重視。相比較而言，學生在三角函數知識的學習中，無論是最終的學習結果還是此前的學習過程，都會表現出普遍性的學習困難。為了解決這一困難，就必須尋找到有效的教學對策。筆者以為，在尋求教學對策的過程中，要緊緊抓住學生這一關鍵，要從高職院校學生的角度去確定、評估教學對策的實施。下面筆者提出三點教學對策，并分別舉例說明。

1　培元固本：重視三角函數定義

在義務教育階段，由于應試的需要，在職高階段由于對包括學科在內的文化學科的相對忽視，使得數學教學出現了一種不良的傾向，那就是對數學概念建構的忽視，其具體表現就是不重視數學概念是如何通過定義來理解的。三角函數本身就是抽象的知識，而根據筆者對進入高職學生的學業調查，發現有近八成的學生對三角函數的定義幾乎完全說不出來（與之相對應的是，學生能夠舉出三角函數的一些簡單例子甚至是一些具體的習題），這說明高職之前的數學教育重知識應用而忽視概念建構，筆者以為這是一種本末倒置的行為。同時，這也意味著高職階段的初等數學教育中，要重新重視三角函數的概念建構與定義過程。

通常情況下，初等函數范疇中的三角函數有多種定義方式。如在直角三角形中，以角度（實用弧度表示）作為自變量，以角度所對應的兩條邊的比值作為因變量的函數；又如在單位圓中也有類似的定義（事實上三角函數與平面幾何知識本身就有著千絲萬縷的聯系）。這種定義的理解有兩種途徑：一是基于純粹數學的途徑，即通過數學圖形的呈現，然后通過直接的定義來完成對三角函數的理解，這一途徑對于數學基礎較好的學生來說比較好，相比較而言如果學生的數學基礎偏弱，那理解起來就有困難。弧度制下對三角函數的定義實際上與直角坐標系以及單位圓中的定義是相通的，因此本文不贅述，下面的闡述更多的以前者為例。

高職院校的學生的數學基礎一般都不太好，因此第二條途徑更值得嘗試。二是通過具體的生活實例來建構函數概念，例如可以向學生呈現出具體的房梁結構、塔吊結構，通過已知與未知關系的構建，讓學生認識到必須在某個直角三角形或單位圓中形成邊與邊的比例與等量關系，才能完成求解，這個時候學生對三角函數的認識就會有一個實踐經驗基礎，在這個基礎上再進行數學抽象，將實物模型抽象成數學模型，然后通過數學定義認識三角函數的概念，就可以讓學生在記憶與理解的時候相對難度更小。

同樣，在初等函數的范疇中，六種三角函數的理解需要基于分析與綜合以形成統一的理解，即在平面直角坐標系當中，確定了角的頂點即坐標系的原點，并以x軸的正半軸作為角的始邊，于是看似沒有直接關系的六種三角函數就被統一到了平面直角坐標系上了，區別只在于終邊所在的區間而已。更重要的是，在這樣的統一理解當中，某個區間內的一個角的集合表示、不同象限角的表示等，都會成為學生自然而然地需要面對并解決的問題。從學習心理的角度來看，其實就是不同的知識自然形成了一個知識組塊，這是非常有利于學生的記憶與理解的。

2　由點及面：研究同角三角函數

初等三角函數當中，同角三角函數的關系是一個重要知識點，在此前的學習過程中，學生更多的是進行一些基本的記憶與運用，很少基于聯系的觀點研究同角三角函數。而事實上從聯系的觀點來研究三角函數的關系，很有利于學生更好地建構對三角函數的整體認知，同時借助于這個知識點，還可以讓學生在數學學習當中生成由點及面的學習策略，從而遷移到其它知識的學習當中去。

梳理初等函數范圍中的同角三角函數關系，可以發現有這樣的三種關系，即平方關系、倒數關系與比例關系。其分別是sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sеc2 α、cotα2+1=csc2α；tanαcotα=1；tanα=sinα/cos α。那么，基于聯系觀點如何確定這幾種關系的點與面呢？筆者以為關鍵在于教學中兩個重心的確定：

一是“點”的確定。同角三角函數關系的構建中，什么是點？筆者以為，這需要從高職學生的學習特點來考慮。高職學院的數學教學定位，應當是讓學生在數學學習中生成基本的數學素養，同時為學生的專業素養提升提供知識儲備與能力基礎。三角函數知識在諸多專業中都有相對廣泛的應用，但從不同專業的不同情境中進行提取，即會發現終點仍然落到數學意義的數與形上，因此，學生建構數學意義上的三角函數認識就是這個“點”。同時，同角三角函數本身也是一個相對發散的，也確實需要一個點以帶動知識本身這個面。研究可知，同角三角函數建立點的認知，可以在上面提到的平面直角坐標系的基礎之上，通過對邊的關系的梳理與分類，得到同一象限內終邊相同的角（集合）、終邊關于x、y軸以及關于直線y=x對稱的角、終邊關于原點對稱的角三種情況，這三者可以形成建立三角函數的“點”的認知的三個支點，有此三“足”，三角函數之“鼎”則可立。而此三個支點如果要濃縮成一個認識的話，那就是“某一個角的三角函數值，最終只決定于這個角的終邊”。這一點看似抽象，但實際上卻是對六種三角函數的高度概括，在此基礎上再將思維發散到不同的具體三角函數當中，這便如一顆種子發芽之后生成不同植株一樣。

二是“面”的確定。同角三角函數關系的構建中，什么是面？基于上一段的分析，同角三角函數在不同專業視角下的實際應用可以視作面，這個時候就需要建立數學與不同專業之間的聯系，事實上對于高職院校的數學教學來說，這也是一種重要的教學策略，讓不同專業的實際知識成為該專業學習中的數學知識背景，不僅有利于激發學生的學習興趣，也有利于學生更有效地構建數學認識。譬如在三角函數教學中可以引入具體的測量實例（測量是諸多專業中都必須培養的技能之一，不同專業有著不同的測量情境，限于篇幅這里不具體舉例），職業視角下，測量不是簡單的測量工具的運用，更指測量方法的確定，而測量方法往往是需要數學素養作為支撐的。當將某一個測量需要與三角函數建立聯系的時候，學生一般會將思路確定在測量本身之上，這對于高職學院的學生來說，既是一種職業直覺，又是一種注意力的轉移。對于后者而言，這樣的轉移極具教學價值，因為當學生將注意力從抽象的數學轉移到形象的測量之上時，學生的學習心理會有很大的轉變，因為抽象而產生的畏懼性的學習心理，有可能變成積極的解決問題的心態，而在積極解決問題的過程中，三角函數的知識又確實得到了運用，對于三角函數的知識也確實進行了建構，這種隱性的建構往往對于學生的數學素養提升來說，更具意義，也更符合高職院校數學教育基礎性作用的發揮。高職院校學生數學的學習，是基于專業背景進行的數學知識的運用，恰恰是符合這一思路的。需要指出的是，這三個支點的形成以及以之為“點”向“面”擴散，可以引導學生自己去形成認識，也就是說通過學生的自主學習過程來完成對點和面的認識，是必要的教學策略

3　數學思維：建構三角函數認知

初等函數作為高職數學教學的一個基本內容，其教學目標除了以之為基礎提升學生的數學素養與職業素養之外，就數學知識構建本身而言，三角函數本身作為一個認知對象，其實也具有培養學生思維能力的重要價值，而發掘這個價值的過程，也可以視作有效的教學對策。

數學的最高價值就是培養學生縝密的思維，思維能力作為智力的核心，又是高職學校培養學生的重要基礎，沒有思維能力的支撐，專業技能是不可能有質的提升的，培養高素質的技能性人才也容易成為一句空話。在筆者看來，三角函數在抽象著孕育著形象，而這恰恰又是思維的兩個重要維度，如果能夠實現形象思維與抽象思維的積極轉換，并努力讓學生形成有效的直覺思維，那就是對三角函數的有效認知了，學生的思維能力也就真正得到培養了。在利用三角函數實現數學思維的過程中，筆者認為可以關注如下兩點：

第一點，三角函數的函數視角。函數是學生接觸過六年的知識點，到了高職院校重新建構初等三角函數，關鍵不在于知識的重現，而在于尋找新的學習視角。函數（function）作為一個基本數學概念，最初由數學家李善蘭的著作《代數學》所給出。其解釋是，“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”。由此可見，函數是描述事物之間的一種規律性關系的，是借助于自變量和因變量來描寫這種關系的，從這種規律性的對應關系的角度來理解三角函數，學生會有不同的認識。因為這個階段的學生對于事物之間的普遍聯系已經有了相當程度的認識，而當這種聯系變換成數學語言的時候，就吻合了學生內心所用主觀世界的語言描述客觀世界的需要。因此實際教學中，在呈現單位圓之前，可以給出一個具體實例，譬如一個城市中以市中心為圓心，描述不同建筑所在的位置，或者描述一輛出租汽車一天的行駛位置。學生自然就會將這個形象的問題抽象成數學圖形，進而用角和邊的關系去描述相應的位置，這就是形象事物與數學之間的聯系，就是函數思想的自然體現。

第二點，三角函數背后的幾何直觀。初等數學中的三角函數認知，離不開對其背后的幾何直觀的認識。如果暫不考慮三角函數中“數”的關系，而從“形”的角度來認識，會發現三角函數其實就是一個平面直角坐標系上的單位圓，以及圓的半徑與弦的關系。這是一個很好的認知切入點，因為根據筆者的研究發現，高職學院的學生一般來說在數學學習中更擅長形象思維，而幾何恰恰是形象思維的良好載體，因此從幾何的角度切入三角函數，也是一個很重要的教學策略。而且，教師引導學生進行這樣的抽象，可以幫學生搭建對三角函數認識的多重梯度，從而實現該知識的層次性建構。當然，三角函數還隸屬于更為廣泛的三角學范疇，對于少數優秀的學生而言，教師可以適當滲透，也算是因材施教策略的具體運用。當然需要說明的是，三角函數的圖像雖然是以圖像的形式存在，卻不是幾何的產物，需要厘清。

綜上所述，所謂教學對策，無非是針對學生的學習需要所采用的教學思路與措施。高職數學教學中，對于隸屬初等數學的三角函數的教學，既需要關注學生的已有基礎，同時更需要建立新的視角，以實現學生對這一知識的重新構建。只有基于三角函數定義，并抓住同角三角函數這個核心，才能完成學生對三角函數認知的有效構建。

［1］趙韜.三角函數在高職高等數學中的應用［J］.四川職業技術學院學報，2011，21（2）：108-110.

［2］周益峰.高職電子專業學生三角函數學習困難的研究［D］.蘇州大學，2011.

（責任編輯：興安）

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.03.0050