存在復雜非均勻層的一維大地電磁正演

凌嘉宣，李長偉，趙榮春，熊 彬

(桂林理工大學地球科學學院，廣西桂林 541004)

存在復雜非均勻層的一維大地電磁正演

凌嘉宣，李長偉，趙榮春，熊 彬

(桂林理工大學地球科學學院，廣西桂林 541004)

二、三維大地電磁(MT)正反演常采用一維反演結果作為初始迭代模型或利用一維模型響應定義邊界條件，為進一步研究復雜地層條件下的MT響應，本文推導了非均勻層電導率隨深度按線性－指數函數變化和指數－線性函數變化的一維MT正演的解析解形式，在此基礎上對不同的地層組合情況進行討論，分析了非均勻層埋深、厚度對MT響應的影響，并與地下介質均勻以及非均勻層電導率隨深度按單一函數變化的MT響應進行對比。結果表明，既存在線性變化又存在指數變化的介質模型MT響應遠比單一變化介質模型復雜，隨著過渡層厚度增大、埋深變淺，其視電阻率和相位幅值與均勻介質模型響應幅值差異變大。

大地電磁測深;非均勻層;正演

近年來，國內外學者對大地電磁正反演開展了廣泛的研究，在二、三維正反演中，通常利用一維正演響應定義邊界條件或作為背景場響應，取一維反演結果作為反演的初始迭代模型［1－3］。在通常的一維MT正演中，取層狀地球各層介質的電導率為定值，然而在實際情況中地層電阻率可能是隨深度變化的。文獻［4－10］對電導率隨深度按線性函數變化的地球模型進行了研究;文獻［11－12］對電導率隨深度按指數函數變化的地球模型進行了分析;文獻 ［13－16］對電導率隨深度分層線性變化的模型進行了探討;文獻 ［17－20］對電導率分塊變化模型進行了研究，但僅對非均勻層電導率按單一變化(線性變化或指數變化)進行研究，在實際工作中巖礦石因組成、濕度、溫度、孔隙度及滲透性的變化，其電導率可能存在多種形式的變化。本文對局部介質中同時存在電導率隨深度按線性變化和指數變化的非均勻層復雜模型進行研究，從理論上分別推導過渡層電導率先按線性變化后按指數變化(conductivity first vary linearly then exponentially with depth，CFVLTE)及先按指數變化后按線性變化(conductivity first vary exponentially then linearly with depth，CFVETL)4層(第2、3層為非均勻層)大地模型視電阻率的表達式，并在此基礎上對CFVETL模型進行大地電磁正演研究，分析了過渡層厚度、埋深等對水平層狀介質的視電阻率和相位曲線的影響，進一步充實復雜介質一維大地電磁基本理論。

1 存在非均勻層狀介質正演理論

下面分別對非均勻層電導率隨深度按線性－指數函數變化模型(CFVLTE模型)及按指數－線性函數變化模型(CFVETL模型)進行分析。

1.1 非均勻層電導率隨深度按線性－指數函數變化理論

設4層地球模型(圖1a)，選用笛卡爾右手坐標系，x、y軸在地表水平面內，z軸鉛錘向下，電導率變化如圖1b所示，第1、4層為均勻介質，其電導率為常量，分別為σ1、σ4;第2和第3層皆為非均質層，其中第2層電導率σ2隨深度呈線性變化，從σ1變至σ2'(σ2'為第2層底界面電導率，與第3層頂界面電導率相等)，而第3層電導率σ3隨深度呈指數變化，從σ2'變至σ4(非均勻層電導率變化如圖1b所示)，即:

圖1 非均勻層按線性－指數函數變化的層狀介質模型(a)及電導率變化示意圖(b)Fig.1 Model(a)and conductivity vary(b)of CFVLTE for inhomogeneous layer

對于第2層，

其中α定義為

對于第3層，

其中p定義為

α和p為電導率的變化率，其正負號值取決于電導率隨深度的變化，正號表示電導率隨深度增大而增加。

根據卡尼爾、吉洪諾夫經典理論，假設場源為垂直入射的平面波，極化方向沿x軸，時諧因子取eiωt。于是在各層中描述電場水平分量Ex的微分方程式為［7］

式中:ω為角頻率;μ為介質磁導率;σ(z)為介質電導率。非均勻層以外的其他地層電場水平分量Ex和磁場水平分量Hy表達式分別為［7］

對于電導率隨深度呈線性變化的第2層，式(3)取如下形式

令

則有

將式(7)中第2個等式對z求導并代入式(6)中，整理后得到

式(8)為Airy微分方程式，其解為

其中:A2、B2為需利用邊界條件確定的系數;AI、BI分別為第一類和第二類Airy函數。水平磁場分量為

式中:AI'(η)和BI'(η)表示相對η的導數。

對于電導率隨深度呈指數變化的第3層，式(3)取如下形式:

其中，k2'2=iωμσ2'。令

則有

將式(12)中第2個等式對z求導并代入式(10)中，整理后得

等式(13)為修正貝塞爾方程，其解為

式中:K0和I0為修正貝塞爾函數;A3和B3為需利用邊界條件確定的系數。

利用關系式K0'(q)=－K1(q)及 I0'(q) = I1(q)，得到磁場水平分量Hy為

因電場和磁場切向分量的連續性，則其比值波阻抗也連續，故在各邊界(zj=z1，z2，z3)上滿足

式中:η1=(iωμ/α2)1/3σ1;η2=(iωμ/α2)1/3σ2';q2=2k2'/p;q3=2k4/p;θ=k2'。解上面各等式，并令Rj=Bj/Aj，獲得

在式(5)中取j=1，z=0，得到地面阻抗表達式為

視電阻率和阻抗相位分別為

根據式(18a)～(18c)及式(19)～(21)即可計算出非均勻層先按線性變化后按指數變化的視電阻率和相位。

若非均勻層上不存在覆蓋層，則h1=0，進而由式(18a)可得R1=0，此時σ1表示非均勻層頂部的電導率，地面阻抗公式變為

根據式(18b)、(18c)、(20)～(22)可計算出非均勻層上不存在覆蓋層時的視電阻率和相位的值。

1.2 非均勻層電導率隨深度按指數－線性變化理論

此時4層地球模型如圖2a所示，電導率變化如圖2b所示，第1、4層為均勻介質，第2層電導率σ2隨深度呈指數變化，第3層電導率σ3隨深度呈線性變化，即:

對于第2層，

及

對于第3層，

及

對于電導率隨深度呈指數變化的第2層，電場和磁場水平分量分別為

電導率隨深度呈線性變化的第3層電場和磁場水平分量分別為

圖2 非均勻層按指數－線性函數變化的層狀介質模型(a)及電導率變化示意圖(b)Fig.2 Model(a)and conductivity vary(b)of CFVETL for inhomogeneous layer

根據式(31a)～(31c)及式(19)～(21)即可計算出非均勻層先按指數變化后按線性變化的視電阻率和相位。

若非均勻層上不存在覆蓋層，則h1=0，R1= 0，根據式(31b)、(31c)、(20)～(22)可計算出非均勻層上不存在覆蓋層時的視電阻率和相位的值。

2 存在非均勻層介質的模型算例與分析

非均勻介質的4層模型根據第2層底面電阻率的不同取值，可分為以下幾種情況:CFVLTE (CFVETL)模型下基底為高阻時可分為非均勻層電阻率先按線性(指數)增大后按指數(線性)減小、先按線性(指數)增大后按指數(線性)增大和先按線性(指數)減小后按指數(線性)增大3種情況; CFVLTE(CFVETL)模型下基底為低阻時可分為非均勻層電阻率先按線性(指數)增大后按指數(線性)減小、先按線性(指數)減小后按指數(線性)增大和先按線性(指數)減小后按指數(線性)減小3種情況。

在文獻［12］中，Kao計算了第2層電導率為指數變化的3層介質模型的大地電磁響應，為作對比，本文選用相同的模型與參數進行計算，結果見圖3。可以看出，兩者計算結果高度吻合，說明本文算法的正確性。

2.1 第2層底界面電阻率 ρ2'不同取值時的大地電磁響應

為了能更好的反映出深部大地結構信息，取頻率范圍為10－20～104Hz。圖4～7為CFVLTE模型和CFVETL模型下基底為高阻和低阻時對應的視電阻率和相位響應曲線圖，其中模型參數h1= 100 m，h2=h3=50 000 m，ρ1=10Ωm，基底為高阻時ρ4=104Ωm，基底為低阻時ρ4=10－4Ωm，兩個模型的第2層底界面電阻率 ρ2'分別取不同的值。第2層底部電阻率ρ2'=101Ωm時與第1層電阻率相等，故第1、2層可看作一均勻層，CFVLTE模型下表示非均勻層按指數變化的3層模型，CFVETL模型下則為非均勻層按線性變化的3層模型。基底為高阻時，第2層底部電阻率 ρ2'=104Ωm時與第4層電阻率相等，故第3、4層可看作一均勻層(基底為低阻，第2層底部電阻率ρ2'=10－4Ωm時，第3、4層可看作一均勻層)，CFVLTE模型和CFVETL模型下分別表示非均勻層按線性變化和指數性變化的3層模型。從圖4～7可看出無論在CFVLTE模型或CFVETL模型下，第2層底部電阻率變化情況相同時，視電阻率和相位響應曲線變化形狀相似。而非均勻層電阻率按線性變化的曲線比按指數變化的曲線的差異要大，這說明了基底無論是高阻或低阻，非均勻層中按線性變化層與按指數變化層厚度相等時，線性變化層對視電阻率和相位的影響遠大于指數變化層對視電阻率和相位的響應值。

圖3 非均勻層電阻率按指數變化模型的大地電磁測深曲線Fig.3 Magnetotelluric sounding curves of CFVLTEmodel

非均勻層電導率的變化率α和p對視電阻率和相位響應的影響與第2層底部電阻率ρ2'對視電阻率和相位響應的影響情況相似，故不再贅述。

圖4 CFVLTE模型下基底為高阻時第2層底部電阻率變化的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.4 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVLTEmodel of second layer bottom with varying resistivity in a high resistance substratum

圖5 CFVLTE模型下基底為低阻時第2層底部電阻率變化的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.5 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVLTEmodel of second layer bottom with varying resistivity in a low resistance substratum

圖6 CFVETL模型下基底為高阻時第2層底部電阻率變化的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.6 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of second layer bottom with varying resistivity in a high resistance substratum

圖7 CFVETL模型下基底為低阻時第2層底部電阻率變化的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.7 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of second layer bottom with varying resistivity in a low resistance substratum

由上面分析可知，第2層底部電阻率變化時，CFVLTE模型與CFVETL模型的大地電磁響應視電阻率和相位的變化情況相似，故下面僅對CVETL模型下的情況與非均勻層電導率按其他方式變化的情況之間的關系進行分析。設電阻率按線性變化3層模型(第2層為非均勻層，Linear模型)和按指數變化3層模型(第2層為非均勻層，Exponential模型)基底為高阻時的參數為ρ1=10Ωm，ρ4=104Ωm(基底為低阻時ρ4=10－4Ωm)，h1=100 m，h2/h1=103;不存在非均勻層的2層模型(Cagnirad模型)參數為ρ1=10Ωm，ρ2=104Ωm(基底為低阻時ρ4=10－4Ωm)。將以上模型與ρ2'取不同值的4層模型對比，基底為高阻時ρ2'取105、102和10－2Ωm分別表示非均勻層先按指數增加后按線性減小、先按指數增大后按線性增大和先按指數減小后按線性增大的情況;基底為低阻時ρ2'取102、10－2和10－5Ωm，即表示非均勻層先按指數增加后按線性減小、先按指數減小后按線性減小和先按指數減小后按線性增大的情況，響應視電阻率和相位曲線如圖8～9所示。由圖8可知:基底為高阻時由于非均勻層的存在導致相應的電阻率響應與地下為均勻介質情況下的電阻率和相位響應有差異，非均勻層按指數增加后按線性變化的模型與非均勻層僅按線性變化或指數變化的模型的視電阻率和相位曲線形狀相似，并在均質情況下電阻率和相位曲線向右移動。非均勻層按指數減小后按線性增加的模型的響應視電阻率曲線同時向下和向右移動，曲線能較好地反映出非均勻層電阻率的變化趨勢。由圖9可知:第2層基底電阻率越小，視電阻率曲線越向下移動并能明顯反映非均勻層電阻率的變化趨勢。通過分析可知同時存在線性變化和指數變化的非均勻層模型遠遠比僅按線性或指數變化的模型對視電阻率和相位的響應復雜。

圖8 CFVETL模型下基底為高阻時第2層底部電阻率ρ2'、Cagnirad模型、Linear模型及Exponential模型響應的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.8 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel，Cagnirad model，Linearmodel and Exponentialmodel in high resistance substratum

圖9 CFVETL模型下基底為低阻時第2層底部電阻率ρ2'變化、Cagnirad模型、Linear模型及Exponential模型響應的視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.9 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel，Cagnirad model，Linearmodel and Exponentialmodel in low resistance substratum

2.2 非均勻層厚度變化對大地電磁響應的影響

限于篇幅，本文僅給出CFVETL模型下基底為高阻非均勻層電阻率按指數增加后按線性增加和基底為低阻時電阻率按指數減小后按線性減小的兩種情況，圖10和圖11分別為兩種情況下非均勻層厚度h23/h1(h23=h2+h3，h2=h3=h23/2)取不同的值相應的視電阻率和相位響應曲線。其中第1層電阻率和厚度分別為10Ωm和100 m，0曲線表示不存在過渡層時的均勻介質。由圖分析可知，因非均勻層的存在導致響應的視電阻率和相位與地下均勻介質情況下的視電阻率和相位有差異，并能反映出非均勻層電阻率的變化，當非均勻層的厚度越薄時，其對應的視電阻率和相位響應值越接近均勻介質情況下的響應值;當非均勻層越厚時，其異常值與均勻介質下的響應值差異越大。

圖10 CFVETL模型下基底為高阻時非均勻層電阻率按指數增大后按線性增大的模型厚度變化視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.10 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of inhomogeneous layer thickness varying in high resistance substratum with inhomogeneous layer resistivity first increase exponentially then increase linearly with depth

圖11 CFVETL模型下基底為低阻時非均勻層電阻率按指數減小后按線性減小的模型厚度變化視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.11 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of inhomogeneous layer thickness varying in low resistance substratum with inhomogeneous layer resistivity first decrease exponentially then decrease linearly with depth

2.3 非均勻層電阻率變化對大地電磁響應的影響

CFVETL模型下基底為高阻時非均勻層電阻率按指數增加后再按線性增加和基底為低阻時電阻率按指數減小后按線性減小的兩種情況下，探討非均勻層埋深對視電阻率和相位響應的影響。圖12和圖13分別為非均勻層埋深對視電阻率和相位響應曲線圖，0曲線表示非均勻層上無覆蓋層的響應，Cagniard 2層模型第1層厚度為103m。可知，無論基底為高阻或低阻，由于非均勻層的存在，導致相應的電阻率響應與地下均勻層介質的情況下的電阻率響應有差異，非均勻層埋深越小，其相應的視電阻率響應值與均勻介質情況下的視電阻率響應值差異越大。當非均勻層的埋深越大，異常值與均勻介質情況下的視電阻率響應值差異越小。

圖12 CFVETL模型下基底為高阻時非均勻層電阻率按指數增大后按線性增大的模型埋深變化視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.12 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of inhomogeneous layer buried depth varying in high resistance substratum with inhomogeneous layer resistivity first increase exponentially then increase linearly with depth

圖13 CFVETL模型下基底為低阻時非均勻層電阻率按指數減小后按線性減小的模型埋深變化視電阻率(a)和相位(b)曲線圖Fig.13 Apparent resistivity(a)and phase(b)curves of CFVETLmodel of inhomogeneous layer buried depth varying in low resistance substratum with inhomogeneous layer resistivity first decrease exponentially then decrease linearly with depth

3 結論

本文提出的CFVLTE模型和CFVETL模型更真實模擬野外的實際情況，推導出的一維MT正演的解析解形式與前人計算結果對比，驗證了本文程序的正確性;對非均勻層中第2層底部電阻率變化模型進行正演計算及與電導率單一變化模型正演對比說明了非均勻層電導率非單一變化介質的復雜性;對CVETL模型下非均勻層埋深、厚度分析有助于對大地電磁測深資料進一步的補充。本文只是考慮了各向同性介質情況，對各向異性介質電導率非單一變化的方法有待進一步研究。

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1D magnetotelluric forward modeling of com plex inhomogeneous layers

LING Jia-xuan，LIChang-wei，ZHAO Rong-chun，XIONG Bin
(College of Earth Sciences，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China)

In 2D and 3Dmagnetotelluric(MT)inversion，1D inversion data is often used as the initial iterative model or forward modeling to definite the boundary condition．In order to further study MT response under complex stratum condition，the analytical solution for 1D MTmodeling is derived where the conductivity of inhomogeneous layers vary with depth are linear-exponential and exponential-linear form．On this basis，the differentstratum combination conditions are discussed，and the effect of depth and thickness of inhomogeneous layer on the MT response is analyzed．The results are compared with analytic solution from homogeneousmedium model and single variationmodel．It is shown that the MT responses of linear-and-exponential variationmodelwith inhomogeneous aremore complex than single variation model．With the thickness being larger and the embedded depth being shallower for inhomogeneous layers，the differences of resistivity and phase of MT responsewith the homogeneousmedium model become larger．

magnetotelluric sounding;inhomogeneous layer;forward modeling

P631

:A

2015－10－05

國家自然科學基金項目 (41464002;41674075);廣西自然科學基金項目 (2013GXNSFAA019277);廣西高校科研項目 (2013YB107)

凌嘉宣 (1989—)，男，碩士研究生，研究方向:應用地球物理，lingjiaxuanyx@foxmail.com。

李長偉，博士，副教授，lcw@glut.edu.cn。

凌嘉宣，李長偉，趙榮春，等．存在復雜非均勻層的一維大地電磁正演 ［J］．桂林理工大學學報，2016，36 (4):660－669．

1674－9057(2016)04－0660－10

10.3969/j．issn.1674－9057.2016.04.004