基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析

王立憲，楊萬輝，狄生奎，項長生

(蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室，蘭州 730050)

基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析

王立憲，楊萬輝，狄生奎，項長生

(蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室，蘭州 730050)

根據一次二階矩中的驗算點法可靠度理論，基于最大裂縫寬度指標中鋼筋混凝土構件極限狀態下的功能函數，分析了各隨機變量的分布類型，利用MATLAB編程實現可靠指標驗算。通過計算實例分析了各隨機變量對最大裂縫寬度可靠指標靈敏性的影響，數值結果表明:混凝土保護層厚度、樓板有效高度、混凝土軸心抗拉強度以及荷載效應比對可靠指標及靈敏度有不同的影響，本文結論可為鋼筋混凝土板式構件的設計提供相關理論依據與指導。

可靠度;靈敏度;最大裂縫寬度;鋼筋混凝土樓板

近年來，板式結構坍塌事故頻繁出現，造成了巨大的人員傷亡和經濟損失。重大土木工程結構的安全失效問題逐漸引起人們的廣泛關注，對結構的安全狀態評估進而成為專家學者研究的熱門領域。史志華等［1］基于一次二階矩法，對鋼筋混凝土構件在正常使用極限狀態下的可靠指標進行驗算，達到了預期的效果;Val D V等［2］提出了銹蝕鋼筋混凝土板式橋梁的可靠度評估方法，建立了荷載模型、鋼筋銹蝕模型和非線性有限元結構模型，根據一次二階矩法對可靠度指標進行估計;蔣偉等［3］分析了鋼管混凝土拱面外穩定的可靠度與靈敏度，發現混凝土強度的靈敏度隨外荷載的增大而增大，隨彈性模量的增大而減小;焦美菊等［4］基于最大裂縫寬度，對鋼筋混凝土橋梁進行了可靠度分析，結果表明可靠指標基本滿足設計要求。目前，國內外對于板式構件在正常使用極限狀態下的安全評估研究較少，但以概率度量為理論基礎的結構可靠度相關理論發展較為成熟，充分考慮了影響結構的諸多不確定性因素。因此，本文以板式結構構件的最大裂縫寬度指標作為考察結構可靠度評估對象，首先根據規范對板式受彎構件進行最大裂縫寬度分析，再確定各變量的分布類型，最后利用基于驗算點法的可靠度計算方法結合具體的實例對鋼筋混凝土樓板進行了最大裂縫寬度可靠指標計算，并對其靈敏性進行了分析。

1 最大裂縫可靠度分析

1.1 結構可靠度

根據《建筑結構可靠度設計統一標準》(GB 50068—2001)［5］規定，結構可靠性的定義為:在規定的時間內、規定的條件下，結構完成預定功能的概率，它包括三方面的內容，即安全性、適用性、耐久性。結構的安全性一般基于承載力極限狀態設計，而適用性與耐久性則是基于正常使用極限狀態設計考慮。

當結構的極限狀態方程由若干變量綜合而成的荷載作用效應以及結構對外荷載的抗力兩方面表示時，結構的極限狀態方程可表達為

式中:R為結構或構件的抗力，S為荷載作用效應。

我國現行標準《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)［6］對裂縫寬度有一定要求，當構件裂縫寬度過大時，會嚴重影響建筑的適用性。由此，可對正常使用極限狀態控制設計的混凝土結構構件進行可靠度分析。

在正常使用狀態下由裂縫寬度控制的混凝土受彎構件中的最大裂縫寬度按下式計算

式中:αcr為構件受力特征系數，對于受彎和偏心受壓的混凝土構件取1.9;ψ為受拉鋼筋應變不均勻系數;σsk為按荷載標準組合計算的鋼筋混凝土構件縱向受拉鋼筋應力;Es為鋼筋彈性模量;c為混凝土保護層厚度;ρte為縱向受拉鋼筋的配筋率;Ate為有效受拉混凝土截面面積;As為受拉區縱向鋼筋截面面積;deq為受拉區縱向鋼筋的等效直徑。

對于正常使用極限狀態，將規范規定的裂縫寬度限值作為結構構件對外荷載的抗力。依據《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)規定，在Ⅰ類和Ⅱ類環境下，鋼筋混凝土構件的最大裂縫寬度不得超過0.3 mm。

1.2 極限狀態方程

在最大裂縫寬度的可靠度分析中，認為構件的抗力為0.2 mm，而作用的效應為混凝土構件在實際荷載作用下產生的最大裂縫寬度。采用《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)中規定的計算公式得到的計算值，并引入計算模式不確定系數γ加以修正，則可建立基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土構件正常使用極限狀態方程［7－8］

式中:γ為構件裂縫寬度計算模式不確定系數。綜合以上各式，可得極限狀態方程為

2 基于驗算點法的可靠指標計算

目前，可靠度理論發展已較為成熟。常用的可靠度計算方法有蒙特卡洛(Monte Carlo)方法、響應面法、隨機有限元法、一次二階矩法、二次二階矩法及高次高階矩方法。根據《建筑結構可靠度設計統一標準》(GB 50068—2001)，鋼筋混凝土樓板所受恒荷載及其幾何參數基本服從正態分布，其所受各類活荷載則服從極值Ⅰ型分布。根據已有結構荷載的分布類型及其已知條件綜合考慮，宜采用一次二階矩當中的驗算點法作為可靠指標的計算方法［9－10］。

在使用基于一次二階矩中的驗算點法進行結構可靠度計算時，可靠指標β的幾何意義為:在標準正態坐標系中，坐標原點到極限狀態曲面的距離，垂足即為驗算點。將非線性功能函數在驗算點處展開，并取一次項［4］

則其平均值與方差分別為

則可靠指標為

由式(8)可知，可靠指標β為驗算點的坐標值函數，因為此驗算點的坐標值未知，所以需要補充其他條件。而驗算點與可靠指標有以下關系:

其中，αXi'為隨機變量靈敏度系數。可靠指標β由式(5)～(10)組成的非線性方程組迭代計算可得，其迭代步驟具體為:①選定初始驗算點，一般取x*(0)= (ux1，ux2，…，uxn);②由式(6)、(7)計算均值uX和方差σX;③由式(8)計算可靠指標β;④由式(10)計算αXi'(i =1，2，…，n);⑤由式(10)計算新的驗算點為規定的允許誤差，則停止迭代，所求β即為要求的可靠指標;否則，取x*(1)=x*(0)，轉第②步繼續迭代。

3 算例及可靠指標分析

3.1 算例1

某現澆簡支單向板，板厚為150 mm，計算跨度為2.7 m，承受恒荷載標準值gk=0.8 kN/m2(不包括板自重)，活荷載標準值qk=2.5 kN/m2，采用混凝土強度等級為C30，HPB300級鋼筋。鋼筋混凝土自重為25 kN/m3，不考慮受壓鋼筋作用。

3.2 算例2

具體參數同算例1，樓板結構形式為雙向板，采用雙向板計算方法，考查基于裂縫寬度的各隨機變量可靠度。根據文獻 ［10］查得各隨機變量的統計參數見表1。

表1 各隨機變量統計參數表Table 1 Statistical parameters of random variables

用MATLAB軟件基于一次二階矩法編程進行可靠指標計算，經過多次迭代最終滿足精度要求，得到不同變量變化時與可靠指標β的關系圖。圖1～圖4分別表示在不同混凝土保護層厚度c、樓板有效高度h、混凝土抗拉強度ftk以及不同荷載效應比下的鋼筋混凝土雙向板與單向板可靠指標β之間的關系曲線。

圖1 混凝土保護層厚度c與可靠指標β關系Fig.1 Relationship between thickness c of concrete protection and reliability indexβ

圖2 樓板有效高度h與可靠指標β關系Fig.2 Relationship between effective height h of floors and reliability indexβ

圖3 混凝土抗拉強度ftk與可靠指標β關系Fig.3 Relationship between tensile strength ftkof concrete and reliability indexβ

圖4 荷載效應比q/g與可靠指標β關系Fig.4 Relationship between load effect ratio q/g and reliability indexβ

由圖1可知，其他變量一定時，相同保護層厚度的雙向板可靠指標高出單向板可靠指標約5%。由圖2和圖3可知，相同樓板有效厚度h和混凝土抗拉強度ftk的單向板可靠指標高出雙向板可靠指標約3%。從圖4中可以看出，其他變量一定時，隨著荷載效應比q/g的增大，雙向板保護層厚度的增大使可靠指標下降的程度較其他隨機變量更為明顯，其可靠指標高出同等條件下單向板的5%～10%。同等樓板有效高度h和混凝土強度ftk情況下，單向板可靠指標高出雙向板約4%。

3.3 可靠指標靈敏性分析

可靠度對于隨機參數靈敏性分析是結構可靠性研究的一個重要方面，為了分析不同隨機變量參數對可靠指標的影響程度，通過改變樓板的保護層厚度c、有效高度h、混凝土抗拉強度ftk等參數，得到了計算模式不確定性系數γ、恒荷載作用g、活荷載作用q對可靠指標的靈敏度系數α，具體結果見表2。

由計算結果可知，在不同的保護層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強度ftk下，雙向板與單向板的計算模式不確定性系數γ、恒荷載效應g、活荷載效應q的靈敏度基本保持一致，沒有明顯差異。不確定性系數γ的靈敏性基本保持在0.984 1～0.999 8，恒荷載作用 g基本保持在0.004 3～0.038 4，活荷載作用 q基本保持在0.019 5～0.173 5。不確定性系數γ的靈敏性遠遠高于恒荷載作用g與活荷載作用q。由此可知，不確定性系數對可靠指標的靈敏性最大，在計算過程中應予以考慮。

表2 隨機變量靈敏度參數Table 2 Random variable parameter sensitivity

圖5 荷載效應比q/g與靈敏度數α關系Fig.5 Relationship between load effect ratio q/g andα

圖5表明在不同的荷載比q/g下，保護層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強度ftk的靈敏程度有所不同。計算結果表明，隨著荷載效應比的增大，雙向板與單向板的保護層厚度的靈敏性逐漸降低:荷載比q/g在0.5～1.5，保護等厚度c的靈敏度表現平緩;在1.5～2.0時，雙向板c的靈敏度急劇下降。恒荷載效應約為2倍的活荷載效應時，保護層厚度對雙向板與單向板的靈敏度出現跳躍，表現出較為明顯的差異;樓板有效高度h、混凝土抗拉強度ftk對雙向板與單向板的靈敏度在q/g為1.5～2.5范圍時無明顯差異，基本一致。

4 結論

通過對最大裂縫控制的鋼筋混凝土樓板在正常使用極限狀態下的可靠度與靈敏度分析，得出以下結論:

(1)從影響鋼筋混凝土樓板可靠度的眾多因素中發現，在其他變量一定的情況下，同等保護層厚度的雙向板可靠指標高出單向板可靠指標約5%，同等樓板有效厚度h和混凝土抗拉強度ftk的單向板可靠指標高出雙向板可靠指標約3%。

(2)在不同的保護層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強度ftk下，雙向板與單向板的計算模式不確定性系數γ、恒荷載效應g、活荷載效應q的靈敏度基本保持一致，沒有明顯差異。

(3)恒荷載效應約為2倍的活荷載效應時，保護層厚度對雙向板與單向板的靈敏度有明顯差異，而樓板有效高度h、混凝土抗拉強度ftk對雙向板與單向板的靈敏度在q/g為1.5～2.5時無明顯差異，基本一致。

［1］史志華，胡德炘，陳基發，等．鋼筋混凝土結構構件正常使用極限狀態可靠度的研究［J］．建筑科學，2000，16 (6):4－11．

［2］Val D V，Stewart M G，Melchers R E．Effect of reinforcement corrosion on reliability of highway bridges［J］．Engineering Structures，1998，20(11):1010－1019．

［3］蔣偉，呂大剛．鋼管混凝土拱面穩定的可靠度與靈敏度分析［J］．哈爾濱工業大學學報，2012，44(12):8－12．

［4］焦美菊，孫利民．基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土橋梁可靠度分析［J］．工程力學，2010，27(S1):245－249．

［5］GB 50068—2001，建筑結構可靠度設計統一標準［S］．

［6］GB 50010—2010，混凝土結構設計規范［S］．

［7］趙羽習，金偉良．正常使用極限狀態下的混凝土結構構件可靠度的分析方法［J］．浙江大學學報:工學版，2002，36(6):674－679．

［8］楊偉軍，趙傳智．土木工程結構可靠度理論與設計［M］．北京:人民交通出版社，1999:73－78．

［9］Gayton N，Bourient JM，Lemaire M.CQ2RS:A new statistical approach to the response surfacemethod for reliability analysis［J］．Structural Safety，2003，25(1):99－121．

［10］貢金鑫，魏巍巍．工程結構可靠性設計原理［M］．北京:機械工業出版社，2007．

Reliability analysis of reinforced concrete slabs based on themaximum crack w idth

WANG Li-xian，YANGWan-hui，DISheng-kui，XIANG Chang-sheng
(Key Laboratory of Disaster Prevention and Mitigation in Civil Engineering of Gansu Province，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China)

In this paper，the distribution of each random variable in reinforced concrete members under the maximum crack width index is analyzed based on specification of function limit state．According to the checking pointmethod of the reliability theory，reliability index is calculated by MATLAB program．The random variable of the reliability index is studied to discuss the sensitivity of themaximum crack width index，through specific examples．The results show that the thickness of concrete cover，floor height，concrete axial tensile strength and load effect on the reliability index have different effects on reliability index and sensitivity．The result can provide theoretical basis and suggestion for the design of reinforced concrete slabs．

reliability;sensitivity;themaximum crack width;reinforced concrete floor

TU375.2;TU311.2

:A

2015－07－07

國家自然科學基金項目 (51608245);甘肅省科技計劃項目 (148RJZA012)

王立憲 (1977—)，男，博士研究生，講師，研究方向:結構健康監測，wanglxian@lut.cn。

王立憲，楊萬輝，狄生奎，等．基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析［J］．桂林理工大學學報，2016，36(4):721－725．

1674－9057(2016)04－0721－05

10.3969/j．issn.1674－9057.2016.04.012