基于海浪譜分解與重構的資料同化試驗

毛科峰,蕭中樂,宋海波,鐘奕飛

（1 .解放軍理工大學氣象海洋學院,江蘇南京211101；2 .解放軍96631部隊,北京102208；3 .解放軍92721部隊,浙江舟山316000；4 .解放軍95857部隊,湖南衡陽421000）

數值計算時表達式為:

?

基于海浪譜分解與重構的資料同化試驗

毛科峰1,蕭中樂2,宋海波3,鐘奕飛4

（1 .解放軍理工大學氣象海洋學院,江蘇南京211101；2 .解放軍96631部隊,北京102208；3 .解放軍92721部隊,浙江舟山316000；4 .解放軍95857部隊,湖南衡陽421000）

摘要:針對有效波高資料提出一種海浪譜分解與重構的資料同化方案:利用歷史時段內的有效波高觀測資料和模式計算波高場,采用最優插值方法得到分析波高場；在WAV E WAT C H -Ⅲ模式的波浪能量密度譜和有效波高分析值之間引入一個變異系數矩陣,描述模式的誤差,以此為狀態向量構建卡爾曼濾波系統,對分解過的海浪譜進行修正和重構,得到同化后的海浪譜初始場。利用美國阿拉斯加灣北部海域的7個浮標站進行同化和72 h預報試驗,對連續1個月的預報結果進行統計表明:采用該同化方案后24 h預報結果的有效波高均方根誤差比未同化的結果降低了0.13 m；同化方案對預報效果的影響可持續36 h左右,隨著預報時效延長,同化的效果減弱。

關鍵詞:海浪譜；有效波高；同化；WAV E WAT C H -Ⅲ模式；卡爾曼濾波

1 引言

為了提高海浪模式預測能力,將模式結果和實時資料進行同化,能夠改善模式預報的準確度［1］。目前同化的海浪資料包括實測波高和實測海浪譜,由于海浪模式的控制方程是建立在波譜能量平衡方程基礎上,觀測得到的有效波高對應著波譜能量平衡方程中的波浪能譜的積分,如何用有效波高去同化波浪能譜是資料同化時面臨的一個重要問題。Komen［2］首先嘗試將實測波高應用于波浪數值模式資料同化的研究,之后Hasselmann等［3］和Bauer等［4］以實測波高與模式計算值之比,作為修正二維波譜的參數去調整海浪譜。這種方法相對簡單,但是對波浪譜的調整,比較“粗糙”,沒有考慮實測資料對波浪譜方向和頻率分布的影響,后來Hasselmann等［5］在波高資料同化研究中改善了波譜修正的尺度因子,也有學者提出將波浪譜分離成風浪和涌浪部分分別同化。另外一方面,在同化高度計波高資料時采用考慮空間效應的修正因子去修正波浪譜,Greenslade和Young［6］采用最優插值方法同化E RS-2高度計資料,研究了觀測誤差方差和背景誤差方差的不同模型和背景誤差相關尺度隨緯度變化等因素導致的同化效果。E m manouil等［7］發展了一種基于集合卡爾曼濾波方法的波浪資料同化方法,能夠結合誤差協方差的空間分布特點,使得24 h內,波高的均方根誤差減小30 %～60 %。國內的海浪資料同化研究起步較晚,張志旭等［8］通過在臺風浪預報中同化高度計資料后改進預報效果。王毅［9］、王毅和余宙文［10］用最優插值方法將衛星高度計的波高資料同化到S WA N模式中,并通過業務預報檢驗了效果,表明預報效果有一定程度改善。Eeng等［11］采用最優插值方法在S WA N模式中首次同化了臺灣島臨近海域的實測資料用于臺風浪的預報研究,發現資料同化效果的影響范圍取決于臺風發展狀態及涌浪的傳播方向。Guo等［12］利用蒙特卡羅方法模擬計算有效波高的背景誤差協方差,并發展了一種新的基于平均波向的有效波高的背景誤差協方差模型,用于改進波高資料的同化效果。

目前,利用有效波高資料對波浪模式同化的方法研究是為了將觀測波高的信息在物理意義上和空間相關性上去修正模式的波浪能譜。其中風浪和涌浪分離的方案在物理意義上具有優勢,然而涌浪的判據和分離本身也是一個較復雜的問題；通過修正尺度因子去調整波浪譜取得了較好的效果,但方法也依賴于經驗。因此,本文基于海浪模式中離散的海浪能量密度譜與有效波高的線性關系式,提出一種基于海浪譜分解與重構的波高資料同化方法,并在數值模式中進行預報效果試驗分析。

2 有效波高資料的同化方案

2.1 波浪能量密度譜變異系數的引入

海浪模式求解海浪能量密度譜平衡方程時,預報出計算格點上,每個預報時次的波浪能量密度譜E（f,θ）,然后根據波高、周期的統計分布關系式,計算出波浪要素,如平均波高、周期等,其中,有效波高的計算式為:

數值計算時表達式為:

式中,Ei,j是頻率為fi、方向為θj時離散的波浪能量密度譜值,方向和頻率離散的維數是nf和nθ,它表示波浪能量不僅分布在一定的頻率范圍內,而且分布在相當寬的方向范圍內,這描述了海浪內部結構,也能間接地表征海浪外在表現特征。值得注意的是式（1）被離散成式（2）后,與Ei,j構成了一個線性關系式。為了便于區分,本文用表示模式計算的有效波高Hs的真實值,數值模式計算得到的離散波浪能量密度譜值記為,為了描述模式計算的波浪能量密度譜值和真實有效波高之間的誤差和關系,引入一個模式計算的波浪能量密度譜和有效波高真值之間的變異系數矩陣,記為Bi,j其維數與相同,則有:

2.2 資料同化的思路

本文的資料同化思路就是基于這個變異系數,描述模式計算的能量密度譜和實測波高之間的誤差,以此為狀態向量構建卡爾曼濾波系統,對分解過的海浪譜進行修正和重構。為此首先對模式計算得到的較長一段時間內的波浪能量密度譜EMi,j進行經驗正交分解,記ek為特征值,對分解出的特征向量進行顯著性檢驗,并判定其物理意義,當式（4）成立時,

ek和ek+ 1是可以分離的,特征值是有意義的。然后將特征值按從大到小的順序進行排序,這里不妨設下式成立:

選取特征值較大前nk階特征向量來表示實際的。對t時刻模式得到的波浪能量密度譜Ei,j|t= t簡記為Et,它的維數為（nfnθ）,分解成:

ck,t和ek,t是t時刻的k階的特征向量和特征值,也有:

則式（2）可寫為:

式中,Et=（e1,t…ek,t…enk,t）,

因此對于式（3）,可以寫成:

式中,βt是前nk階特征向量對應的波浪能量密度譜變異系數矩陣,它的維數為（nk×1）。這一線性表達式可以被視為卡爾曼濾波中的量測方程,引入量測噪音εt,它是一維隨機向量,則寫為:

將波浪能量密度譜變異系數矩陣βt視為卡爾曼濾波系統中的狀態向量,用狀態方程式（12）描述其變化,和量測方程一起構成卡爾曼濾波系統,

δt- 1是動態噪音,與量測噪音εt一樣都是隨機向量,假設這兩個量滿足互不相關,均值為0,方差分別為W 和V ,因此構成如下遞推系統:

為了簡化表達式,令Xt= DEtCt,則:

利用初始時刻t以前的歷史資料通過上述遞推系統得到t時刻的變異系數矩陣βt后,就可以利用式（6）重構t時刻的波浪譜,記Ea為同化后的波浪譜,則有:

2.3 有效波高的最優插值方法

式中,Nobs為影響該模式格點的實測浮標站點的數目,Wij則為各觀測站點相對于計算格點的最佳權重,下標i表示計算格點,下標j表示浮標觀測站。由于實測波高值HO、模式的起始猜測值HP及分析值Ha與真值HT之間有誤差存在,要求取各測站對于計算格點的最佳權重,必須求解Nobs組聯立方程組,若僅有少量的觀測點,則用高斯消元法可求解。故:

若已知真值的條件下,易求得實測值與模式值的均方誤差,但實際上,真值未知,故采用已有研究成果中的處理方法［6］,觀測誤差協方差取為Okj=,其中δkj為kronecher符號,R為實測均方誤差與模式均方誤差之比。Pkj是觀測點k 和j上的模式計算波高的誤差協方差,Pik是計算格點i和觀測點k的模式計算波高誤差協方差。采用Greenslade和Young［6］在海浪同化研究中的方案,波高背景場誤差協方差取為:

式中,dkj是觀測點k和j之間的距離；σk和σj是觀測點k,j上的有效波高背景場的均方根誤差；L為影響尺度半徑；α、β、γ都是經驗常數。

2.4 資料同化的計算步驟

首先選擇同化某時刻t之前連續m天的模式計算波高場和方向譜矩陣序列,利用相應時刻的波高觀測資料通過最優插值方法得到分析波高場,對方向譜序列進行第一次正交經驗分解。選擇前nk個主成分,記錄前nk個特征向量；然后選取同樣時間長度的方向譜樣本,用第一次分解得到的nk個空間函數,將之進行第二次正交經驗分解,選取同樣個數的特征向量。利用第一次分解得到的nk個空間函數和分析波高,進行線性擬合,得到第一組波浪能量密度譜傳遞系數值；利用第二次正交經驗分解得到的nk空間函數和預報點的浪高,進行線性擬合,得到第二組波浪能量密度譜傳遞系數值。記C0為的誤差方差陣,認為是從樣本資料直接計算得到,與理論值相等,故C0取為nk階零方陣。W矩陣主對角線上的值是:Δ/Δt,i = 1,2,3,4 ,其他元素為0,其中,Δ、Δ分別是第一組波浪能量密度譜傳遞系數值與第二組波浪能量密度譜傳遞系數對應的差的平方, Δt分母為分解所用數據的時間樣本個數。由于量測量只有Hs一個量,故V為1×1矩陣,數值為V = q/（k - m - 1）,q為第一組正交分解后線性回歸的殘差,預報與實際的差的平方和,k為取得樣本個數,即數據的時間個數,m為選取主成分的個數。確定上述參數的取值后,可以利用卡爾曼遞推系統得到t時刻的變異系數矩陣βt,然后重構t時刻的波浪譜,得到同化后的初始場。

3 同化預報試驗

3.1 資料和海浪模式

為了開展同化預報的數值試驗,將波浪計算的區域選為美國阿拉斯加灣北部海域,一個重要的原因是因為該區域能夠獲得相當數量的波浪實測資料。

（1）同化的浮標資料

浮標資料由美國國家數據浮標中心（N DBC）提供,浮標主要集中在美國阿拉斯加灣北部海域,地理位置如圖1示意,浮標的編號和該點的水深情況如表1,采用的是“波浪騎士”浮標,采樣頻率為1.28 Hz,浮標實測有效波高資料的間隔為1 h。

圖1 同化資料的浮標位置Eig .1 The buoys used for assimilation

表1 浮標的位置和水深Tab .1 Buoy coordinates and water depth

（2）WAV E WAT C H -Ⅲ模式

本文的研究基于WAV E WAT C H -Ⅲ第三代海浪數值模式開發了新的資料同化模塊,并進行數值試驗,模式基于波浪能譜平衡方程:

式中,N即是波作用密度譜,它是頻率f、傳播方向θ、時間t和地理空間位置的函數,cg為群速,S是能量源匯,關于模式的具體內容見參考文獻［13］。

3.2 試驗方案

采用不同的初始場方案進行72 h預報設計了兩個試驗:

（1）試驗I:采用模式上次預報的波譜條件初始化后,進行預報72 h；

（2）試驗Ⅱ:采用本同化方案得到的初始場進行72 h預報。

海浪模式的計算區域為57.5°～62°N,155°～142.5°W ,如圖2。模式的網格分辨率為0.25°× 0.25°,網格總數為51×19；波譜頻率范圍為0.042～0.413 Hz,離散為25個,波譜方向分辨率為15°,離散為24個方向。模式計算的時間步長為300 s,模式預報結果每間隔1 h輸出1次。模式風場驅動采用CCM P風場數據（本文中預報所用的風場都不是實際的預報風場,故在分析預報誤差時可忽略風場預報誤差導致的海浪預報誤差）,CC M P風場的空間分辨率是0.25°×0.25°,每次時間間隔為6 h。水深資料采用美國國家地球物理數據中心（N G D C）提供的E T O P O-1數據。模式物理過程包括深度誘導波破碎、底摩擦耗散作用、白浪耗散作用、非線性4項波相互作用等主要物理過程。這些物理過程的參數化表達式都采用模式的默認設置。

試驗過程分為同化得到初始場和進行72 h預報兩個過程。以2008年10月21日08時起預報72 h為例說明,圖3表示這個同化和預報的過程,預報時間是2008年10月21日08時,同化過程是2008年10月20日08時開始同化至10月21日08時獲得同化后的初始場,開始預報,這24 h內同化5個時次的波高觀測資料,每個同化時次,利用該時次之前15 d（即m取值為15）的每小時實測資料,對模式計算結果進行有效波高的最優插值,然后根據上述的方案,對格點上有效波高的最優插值波高和模式計算的海浪譜進行波譜分解和重構,之后,數值模式繼續同化,具體流程如圖3。

3.3 結果分析

（1）初始場對比

用浮標的有效波高實測值對模式計算的波高場（下稱背景場）進行最優插值,上式中對L和α、β、γ等經驗常數的取值基于前人的研究成果［2］,α= 0,β= 2, γ= 0.5,L = 40 k m,圖2中給出了浮標站點的位置和同化浮標資料的計算格點,從圖中可見共有51個計算格點的波高經過最優插值訂正,形成新的波高分析場,如圖4所示。圖4a是2008年10月20日08時的模式背景場,圖4b是該時刻的分析場,背景場波高偏小的現象,在同化格點上得到了修正。圖4c和4d分別為2008年10月20日14時的模式波高背景場和波高分析場,可見到類似的現象,最優插值對波高的影響也由局部范圍擴大到整個計算區域。

圖2 海浪模式計算區域Eig .2 The waves mode calculation area

圖3 同化和預報的流程Eig .3 The flowchart of assimilation and forecast

圖4 模式計算有效波高場和分析場（m）Eig .4 The significant wave height of model result and analysis fields（m）a .2008年10月20日08時模式背景場,b .2008年10月20日08時分析場,c .2008年10月20日14時模式背景場,d .2008年10月20日14時分析場a .Significant wave height background field at 08:00 of October 20th,2008,b .significant wave height analyticalfield at 08:00 of October 20th, 2008,c .significant wave height background field at 14:00 of October 20th,2008,d .significant wave height analyticalfield at 14:00 of October 20th,2008

得到有效波高的分析場后,構建卡爾曼濾波系統對分解過的波譜進行修正和重構得到模式預報所需的海浪譜初始場。對每個同化計算的格點,用同化時刻之前的15 d的分析場和模式輸出的海浪譜,進行波譜修正和重構,得到同化時刻的海浪譜。以2008 年10月21日08時計算格點（57.75°N,144.75°W）為例,圖5a是同化之前的海浪方向譜,圖5b是同化后的海浪方向譜,該點同化后的方向譜在能量的大小上有一定增大,計算格點（57.75°N,144.50°W）和計算格點（59.50°N,144.50°W）同化后的方向譜在能量的大小和主要頻率及譜形狀上發生了改變,分別如圖6和圖7所示。

圖5 57.75°N,144.75°W格點的方向譜的比較Eig .5 Directional spectra for the grid 57.75°N,144.75°W

圖6 57.75°N,144.50°W格點的方向譜的比較Eig .6 Directional spectra for the grid 57.75°N,144.50°W

（2）預報結果對比分析

試驗中m取值為15,即用15 d的方向譜時間序列進行譜分解和重構,取nk為9個主分量。如圖8所示,在預報時刻之前進行24 h的資料同化,形成預報時刻的初始場,然后進行預報,以24 h預報結果為例分析同化后的預報效果。圖8為連續1個月的浮標站實測有效波高和兩個試驗方案預報結果的時間序列比較圖,時間間隔為1 h。該圖和有效波高均方根誤差的比較表明未同化的模式預報的有效波高值較實測值普遍偏小,同化后的預報結果與實測值接近,特別是在實測波高較大時同化后效果改進比較明顯, 表2給出了這7個測站1個月連續24 h預報效果的統計結果。

圖7 59.50°N,144.50°W格點的方向譜的比較Eig .7 Directional spectra for the grid 59.50°N,144.50°W

分別進行了24 h、36 h、48 h、72 h同化預報試驗,考察不同預報時效的效果,結果如表2所示。由表2給出的7個測站1個月的預報誤差可見,采用同化方法進行預報的結果在24 h內預報效果得到了明顯改進。將7個測站的結果平均后,發現同化后有效波高均方根誤差較未同化的效果降低了0.13 m；48 h預報效果是同化后有效波高均方根誤差較未同化降低了0.05 m；72 h的預報結果中同化后和未同化的有效波高均方根誤差沒有差別,因此可以認為同化后初始場對預報效果的改善作用已經消失了。

表2 預報結果與浮標觀測值的均方根誤差統計（單位:m）Tab .2 Statistical parameters R M SE of observed and calculated significant wave height（Unit:m）

通過兩個測站同化后和未同化的預報結果的比較來分析同化作用對預報影響的時效。圖9a為46077站從10月20日08時至10月21日08時每6 h同化一次后獲得10月21日08時的初始場后進行預報的有效波高時間序列,圖9b為46105站的結果,在10月21日08時之后的30 h內預報波高和實測符合較好,此后隨著時效增長,效果變差,從46077站的結果看,50 h后同化和未同化的結果完全一致。值得注意的是在10月21 日08時之前的24 h內在每間隔6 h的時刻同化了觀測資料后,波高會出現“跳躍式變化”,模式計算值會出現突然大于或小于實測波高的現象,波高變化較快。這個現象可能是由于間斷的將實測資料與模式進行同化,同化后的波浪譜是在接近實測波高的條件下重構得到的,與模式的平衡關系被打破了,所以模式的計算結果也體現了模式對同化資料后的平衡調整過程。

圖8 2010年10月有效波高預報結果時間序列比較Eig .8 Time series of observed and calculated significant wave height for the assimilation experiments on October 2010

從整個區域的有效波高等值線也可發現這個現象。圖10a為同化后的初始場,圖10b為未同化的初始場,圖11a和圖11b分別為未同化和同化后6 h預報結果,波高的差值分布從同化的格點區域擴散到了整個計算區域。圖12a、12b、12c、12d分別為6 h、12 h、36 h、48 h預報結果的差值,從整個區域有效波高預報結果的差值變化圖可見,差值從同化的計算格點逐漸擴散到近岸,并減小為0,這也可以認為同化后的初始場對模式的作用是以波浪能量的形式傳播影響整個計算區域,因此同化影響的時效和范圍也可能與波浪傳播的速度有關。

圖9 2010年10月有效波高結果和實測比較Eig .9 The time series of observed and calculated significant wave height on October 2010

圖10 2010年10月20日08時有效波高（m）預報初始場Eig .10 The initialfields of significant wave height（m）on October 20th,2010

4 小結和討論

（1）提出一種基于海浪譜分解與重構的海浪有效波高資料同化方案:該方采用最優插值方法得到分析波高場；在模式的波浪能量密度譜和有效波高分析值之間引入一個變異系數矩陣,描述模式的波浪能量密度譜值和有效波高之間的誤差關系,以此為狀態向量構建卡爾曼濾波系統,對分解過的波譜進行修正,進而重構海浪譜初始場。

（2）通過利用美國阿拉斯加灣的7個浮標站進行同化和預報的數值試驗,對連續1個月的24 h預報結果進行統計表明:采用同化方案后預報結果的有效波高均方根誤差比未同化的結果降低了0.13 m；同化后初始場對預報效果的影響可持續36 h左右。

圖11 6 h有效波高（m）預報結果Eig .11 The significant wave height（m）fields of 6 h forecast

圖12 未同化和同化后有效波高預報結果之差（m）Eig .12 Difference of significant wave height for experiments with and without assimilation（m）

（3）文中對最優插值的幾個參數的設置主要采用了前人研究成果；對同化方法中波浪方向譜時間序列的天數選取和譜分解的主分量個數設置沒有詳細討論,而是直接給出了經驗取值,這一點還需進一步研究。

（4）本文的研究只直接同化了有效波高資料,對觀測波周期等波浪要素的直接同化也將開展進一步研究,并采用更多源的觀測資料來檢驗同化預報的效果。

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中圖分類號:P731.22

文獻標志碼:A

文章編號:0253-4193（2016）03-0015-12

收稿日期:2014-12-05；

修訂日期:2015-04-02。

基金項目:江蘇省自然科學基金（B K20150711）；國家自然科學基金資助項目（11102232）。

作者簡介:毛科峰（1981—）,男,湖南省常德市人,講師,研究方向為海洋環境預報與海洋調查。E-mail:maomaopla @ 163 .com

毛科峰,蕭中樂,宋海波,等.基于海浪譜分解與重構的資料同化試驗［J］.海洋學報,2016,38（3）:15 - 26,doi:10.3969/j.issn . 0253-4193.2016.03.002

M ao Kefeng,Xiao Zhongle,Song Haibo,et al. Assimilation experiment based on wave spectrum decomposition and reconstruction［J］. Haiyang Xuebao,2016,38（3）:15 - 26,doi:10.3969/j.issn .0253-4193.2016.03.002

Assimilation experiment based on wave spectrum decomposition and reconstruction

M ao Kefeng1,Xiao Zhongle2,Song Haibo3,Zhong Yifei4
（1 .Instituteof Meteorology and Oceanography,PLA University of Science and Technology,Nanjing 211101,China；2 . The 96631 Unitof PLA ,Beijing 102208,China；3 .The 92721 Unitof PLA ,Zhoushan 316000,China；4 . The 95857 Unitof PLA ,Hengyang 102208,China）

Abstract:In the near-shore wave forecasting model,the ocean buoy data assimilation method based on wave spectral decomposition and optimization is proposed . The calculated wave energy spectru m before the initialtime is studied with orthogonal decomposition,and the result,combined with synchronous buoy observations of significant wave height value is used to construct a Kalman filtering system,and the initial wave energy density spectru m of wave modelis revisesd by the multi-time significant wave height value . This method has been applied to 72 h wave forecast experiments with assimilation 7 buoy's significant wave height data in the Gulf of Alaska . One month experiments show that method can improve the forecasts of significant wave height at different degree of different prediction time . The mean square errorfor 24 h forecast of significant wave heightreduces 0.13 m . M eanwhile,the effect ofinitialfield after assimilation to forecast will extend 36 h or so,but the assimilation effectis weakened by extend the prediction time .

Key words:ocean wave spectru m；significant wave height；assimilation；WAV E WAT C H -Ⅲmodel；Kalman filtering