新課程背景下數學對比教學的探討

吳慧琴

【摘要】為實現新的數學課程標準提出的在數學教學中揭示數學概念、定理和公式的背景及相關知識與多方的聯系的目標要求，可以在數學教學中實施對比教學來予以實現。本文結合一定的實際案例和自身多年的教學實踐探索，提出了對數學對比教學的教學設計要點和教學實施策略的認識與實踐思考。

【關鍵詞】新課程標準 初中數學 對比教學 教學策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0079-03

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“數學的概念、定理和公式都是有背景的，有來龍去脈的，與其他的數學知識之間是有聯系的，與其他的學科知識之間是有關聯的，與學生的日常生活，社會生活是有聯系的。”[1]初中學生理性思維欠缺，要實現如上的教學目標，促進學生對相似概念的理解和知識的深層次掌握，為其解題提供優化策略，就必須實施以一定的教學方式與方法。筆者經過一定時期的實際教學探索，認為行之有效的一個方法是在教學中實施對比教學。

所謂對比教學，就是在數學教學中，將兩個或兩個以上的有聯系的數學對象進行比較，從某些視角出發，對它們進行觀察、比較和交流，找出它們的區別和聯系，能夠加深對數學對象的理解，促進數學知識的正確應用，發展學生的數學思維能力。對比教學法的運用，有助于培養學生整合知識和透過事物表象找出本質異同的深層分析探究的能力，它給學生創造了深入思考、積極聯想和生動活潑的學習氛圍，讓他們輕松、愉快地掌握知識和技能特別是方法。如果教師能正確運用這種教學方法，那么將會獲得事半功倍的課堂教學效果。[2]

本文以下試結合筆者近幾年在初中數學教學中的實際案例，談談對數學對比教學的教學設計要點和教學實施策略的認識與實踐思考，以期與同仁進行交流。

一、數學對比教學的教學設計要點

（一）對比對象的問題設計要合理

進行對比教學，首先要以增進理解對比對象的需要進行問題設計。在內容的選擇上要注意選材得當，教學適時，難易適度。初中階段很多數學內容都可以作為對比教學的對象，包括數學概念、公式、定理、符號、數學問題、數學解題過程等，只要是數學學習的對象和用來發展學生數學思維的對象都能作為對比教學的內容。作為對比教學的材料，在問題設計時要遵循兩個原則，一是問題能否增進學生對知識的進一步理解；二是問題要具有開放性，結論不唯一，這樣才有利于學生對問題進行思考，發展學生思維的廣度和深度。

（二）對比對象的觀察切入點要明確

進行數學對比教學，必須找到數學對象對比的切入點，交流時需要清楚地表達對比的結論，這是對比教學的關鍵環節。觀察產生智慧，觀察是對比教學的起點，是結論形成的開端。在問題的指引下，學生對所要比較的數學對象必須進行仔細地區分，從考察對象的共同點和不同點尋找數學的本質，從細節入手，能夠通過已知的事實推理出未知的事實，也就找到了數學對象對比的切入點。交流在對比教學中承上啟下，要緊緊抓住數學對象對比的切入點，進行合理比較，這是生成結論的重要方式。教學中，應開放課堂，把話語權還給學生，交流成果的生成必將豐富而精彩。

（三）對比對象的對比結果要系統化

總結是交流結果的升華，應用能夠鞏固交流的結果，增進理解數學知識。將交流的結果及時歸納能夠展示對比教學的成果，讓知識系統化。通過練習，可以是模仿，也可以是變式訓練，應用總結的成果，能夠檢測學生是否達成教學目標，檢驗對比教學是否有效，這是對比教學的必要環節。

案例1： 浙教版八（上） “三角形全等的條件”復習

問題設計：判定兩個三角形全等的四種方法SSS、SAS、ASA、AAS相互之間有哪些異同點？引導學生從邊與角的特點觀察，比較邊與角的數量和位置。經過學生討論和交流，總結它們的共同點有：①這四種判定三角形全等的條件都是三個；②這四種判定三角形全等的條件中至少要有一條邊對應相等；③這四種判定三角形全等的條件都適合于任何類型的三角形，包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。發現不同點有：①角相等的條件不同，SSS中沒有角對應相等，SAS有一對角對應相等、ASA、AAS有兩對角對應相等；②邊相等的條件不同，SSS有三對邊對應相等，SAS有兩對邊對應相等，ASA、AAS只有一對邊對應相等；③ASA與AAS中邊的位置不同，ASA中的邊是兩個角的夾邊，AAS中的邊不是兩個角的夾邊，而是其中一個角的對邊。這四種三角形全等的條件在逐一學習之后，適時梳理，配備幾道應用三角形全等來說明對應邊或角相等的練習，檢測學生選擇適當的方法判斷三角形全等的能力是必要的。

通過對比教學，既知道了三角形全等條件的共同點，又知道了它們的不同點，在增進理解三角形全等條件中對比教學有效地發揮了整合作用，將零散的知識整合到知識鏈上，使得知識結構更加有序，更加牢固。在后續碰到利用全等三角形解決問題的過程中解決問題的方向明確了，解題正確率有明顯提高。

二、數學對比教學的教學實施策略

在初中數學課堂中，可以通過多種教學載體來實施對比教學，發揮其在幫助學生理解數學概念，區分運算類型，提高解題思維水平，加深對各種數學知識性質的認識，培養學生優秀的數學思維品質等方面的作用。

（一）對比數形差異，增進數學概念的理解

“用數來表達和交流信息，用圖形形象地描述問題”是新課標對學生能力培養的一項重要目標。在初中數學中，許多數學概念都可以依賴于數、形的解釋來獲得學生的理解。

案例2：浙教版七（上） “2.7近似數”

問題：下列由四舍五入法得到的近似數各精確到哪一位？

（1）1.20×104 （2）1.20 （3）1.20萬 （4）1.2萬

教學設計：課本對精確度的表述為“一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位”，沒有對應的例題展示，學生通過對課本的學習收獲甚微。為了讓學生掌握這一易錯知識點，我利用了對比教學法，對課本“做一做”的練習進行改編，補充了科學計數法表示的數。課堂中首先呈現第（1）個數1.20×104，讓學生在草稿紙上寫下答案，巡視時發現，寫下“百分位”的同學在三分之一左右，我讓大家繼續看第二個數（2）1.20，前面寫錯的學生開始發現問題，開始涂改答案。繼續完成后面的兩個數的精確度解答后，讓學生再次體驗課本上關于精確度的闡述，體會數的表達形式對精確度的影響。繼續給學生補充發現不同點有：①它們的有效數字不同，（1）（2）（3）有三個有效數字，（4）有二個有效數字；②它們的精確度不同，（1）、（3）精確到百位，（2）精確到百分位，（4）精確到千位。

通過以上的對比教學，學生從有效數字、精確度的視角去比較它們的差異，不僅提高了對近似數不同表達形式的認識水平，而且通過知識的應用增進理解近似數精確度的概念。

這樣的例子還有很多。除了用數的對比教學來促進概念的理解外，還能用圖形的對比教學鞏固數學概念，提高學生畫圖水平和讀圖能力。：

案例3：浙教版七（上）“6.2線段、射線和直線”

教學設計：通過讓學生對“延長線段AB”和“延長線段BA”進行畫圖訓練，讓學生在比較反饋中會進行正確的畫圖，理解兩種延長方向的不同導致圖形結果的不一樣。而讓學生畫“點C在線段AB上”、“點C在線段AB外”、“點C在線段AB的延長線上”、“點C在線段BA的延長線上”幾種不同的圖形，為后面線段的和差計算提供分類討論奠定基礎。

在初學幾何知識階段，這種讓學生通過根據要求畫出符合題意的不同圖形的對比教學，能更好的理解相似幾何圖形的不同表述，能加深對幾何圖形的直觀印象。

（二）對比數學符號，提高運算能力和表達能力

將兩個相像的數學符號進行對比教學，既要找出它們的相同點，說明聯系，更要找出它們的不同點加以區分，便于更好的識別與應用，提高計算水平和表達能力。

案例4：浙教版七（上）“2.5有理數的乘方（1）”

教學設計：讓學生說出（-3）2和-32的聯系和區別？引導學生觀察，不難發現它們的聯系有：①都是由負號、3和2構成；②都是冪的運算。但由于（-3）2比-32增加了一個小括號，二者的區別就大了，不同點有：①讀法不同，（-3）2讀作“負3的平方”，-32讀作“3的平方的相反數”；②底數不同，（-3）2的底數是-3，-32的底數是3；③意義不同，（-3）2表示“兩個-3相乘”，-32表示“兩個3相乘的相反數”； ④結果不同，（-3）2=9，-32=-9。

通過（-3）2和-32的對比教學，學生能從四種視角認識二者的區別，并通過模仿練習，達到觸類旁通，這對于和他人交流，或者是進行有理數的乘方運算都是有好處的。

這種數學符號的對比教學還能推廣到其他的數學知識的教學。譬如：二次根式的性質 和 有哪些聯系和區別？正比例函數與反比例函數的表達式有哪些區別和聯系？一次方程和一次不等式有哪些區別和聯系？……實踐證明，通過相像數學符號的比較，能夠有效地提高計算水平和表達能力。

（三）對比函數圖象，提高函數性質的認識

函數圖象是函數的直觀反映，蘊含了方程、不等式、坐標和函數等知識，將函數圖象自身分段進行對比，或者兩個函數圖象進行對比，能從不同的側面揭示函數的性質，提高學生應用函數性質分析問題和解決問題的能力。

案例5：浙教版九年級“二次函數復習課”

問題：寫出函數 與函數 的三個共同點和三個不同點（如圖1）。

教學過程：給出問題后，學生首先從函數表達形式上指出了不同點，前者是一次函數，后者是二次函數，這是基本問題。接下去從函數的性質入手又可以進行哪些方面的比較呢？引導學生學生通過對比函數圖形，總結出多個方面的異同點。例如，三個共同點：①圖象都經過兩點（0，0），（1， 2）；②當 時，函數值y都隨著x的增大而增大；③自變量x的取值范圍相同，都是全體實數；三個不同點：①圖象形狀不同， 的圖象是直線， 的圖象是拋物線；②當 時，它們的增減性不同， 的函數值y都隨著x的增大而增大， 的函數值y都隨著x的增大而減小；③函數值y的取值范圍不同， 的函數值y是全體實數， 的函數值 。

該問題中，學生從圖象間的交點、取值范圍、增減性和圖象形狀等方面認識和應用了函數性質。當然，還可從圖象經過的象限、對稱性、最值等側面來描述二者的區別和聯系，進一步地完善學生對函數性質的認識。實踐證明，這樣的對比教學滲透了數形結合的思想，不僅能培養學生的觀察能力、思維能力，而且還把觀察的方法、描述數學對象的方法示范給學生，能提高學生運用數學語言的交流能力。

當然，還可以通過對幾何圖形的對比教學，提高學生對幾何圖形的表示能力，提高學生對幾何圖形的性質認識。例如，將線段、直線和射線進行對比教學，能從用字母的表示方法、端點數量、方向、長度和可延長性等角度去認識它們的性質和區別。

（四）對比解法對錯與優劣，提高解題水平，發展學生數學思維能力

學生在解題中存在著對錯，或者解法有優有劣的現象，通過比較，引導學生分析錯誤的原因，比較解法優劣的差距，能夠完善學生對知識的認識、拓寬學生視野，對提高解題水平和發展思維能力大有好處。

案例6：浙教版八（下）“平行四邊形的復習”

問題：如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，OE⊥AD，垂足為E，OF⊥BC，垂足為F，求證：OE=OF。

學生感覺題目比較簡單，很快有了證明方法，讓兩名學生代表將證明過程寫在黑板上，再讓學生比較下列兩種證法，看看兩種證明方法是否有問題。

問題呈現之后，學生通過思考與比較，認為兩種方法都是正確的?？墒抢蠋熥寣W生找證明的錯誤，說明肯定有一種證法是錯誤的，哪一種呢？教師的引導、啟發學生仔細閱讀題目條件，幫助學生分析，“OE⊥AD，垂足為E，OF⊥BC，垂足為F”這個條件可以用來說明“∠AEO=∠CFO=90°”的理由是什么？“∠AOE=∠COF”成立的理由又是什么？在進一步思考的情況下，學生想到了題目中并未給出E、O、F在一直線上，所以把∠AOE和∠COF看為對頂角是不正確的，這不符合對頂角的定義。證法一是錯誤的，說明了學生對“對頂角”的概念理解不透切，證明過程中出現了“想當然”，思維不嚴密。

通過對證明方法對錯的對比教學，有助于杜絕學生“自以為是”的想法，培養思維縝密性。實踐證明，如果對解法優劣進行對比教學，就能培養學生思維的深刻性，激發學生的學習興趣，提高學生的解題水平。

三、結語

數學教學是培養學生數學思維能力的教學；數學教學過程是師生雙方各自實現自身價值和自身發展，不斷積累數學體驗的過程。學生學習數學的根本是學會數學學習、學會數學方法和學會數學思維，而不僅僅是學會數學解題。在教學過程中，教師恰當地運用對比教學，將會對教會學生學會數學學習，掌握數學方法，發展數學思維達到事半功倍的效果。[3]

長期的教學實踐，讓筆者體會到，在初中數學中實施對比教學，不僅可以將新舊知識、事物關系溝通組織起來，而且能夠培養學生學習的興趣，活躍學生的思維，還能創造良好的教學氣氛和秩序，是一種非常適合學生汲取知識的學習方法。對比教學的運用可以使學生在面對新知識的學習時，有效擺脫陌生感，迅速找到輕松入門的途徑，增加學習的主動性，提高學習效率，優化學習效果。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 《義務教育數學課程標準》（2011年版）[M]. 北京： 北京師范大學出版社， 2011.

[2]丁旭東. 對比教學法在初中數學課堂上的應用[J]. 數理化學習（初中版）， 2013， （4）： 26-27.

[3]王冬軍. 加強對比教學研究，提高課堂教學效率[J]. 遼寧教育， 2010， （5）： 45-46.