由“問題解決”轉變為“數學地思維”

張垚杰

摘 要：在小學數學的教學實踐中，教師經常會遇到這樣的困惑：學生已經具備了足夠的知識基礎，似乎也已掌握了相應的解題策略，但卻仍然不能有效地解決問題。這樣的現象，足以引起我們對解決問題的本質進行深入思考，并以此為基礎促進教學方法和課堂行為的轉變。以下是筆者就人教版四上教材中的一道練習，結合兩次實踐的體會，通過比較和反思，對從“問題解決”轉變為“數學地思維”這一觀點進行的探究。

關鍵詞：問題解決；轉變；數學地思維

在學習了第四單元中“積的變化規律”這一課之后，教材編排的“做一做”中有這樣一道習題（圖1）。意在利用所學知識解決實際問題，基本思路是：長不變（一個因數不變），寬增加到24米（另一個因數乘3），則擴大后的綠地面積為600平方米（積也乘3）。然而，在實際教學中，卻是這樣的情景：

（一）根據題意，嘗試解決

分析題意，自主練習后指名回答：200÷8=25（米），25×24=600（平方米）。

師：請說說你的解題思路。（先計算出長是多少，再計算擴大后的綠地面積。）有多少同學是用這樣的方法做的？（全班31個同學中有28個舉起了手）

師：還有別的方法嗎？能不能用這節課學過的知識來解決？

生：還可以這樣想，長不變，寬乘以3，那么綠地的面積也要乘以3。

師：非常好，那么可以用怎樣的一個算式表示？

生：200×3=600（平方米）。

（二）繼續引導，深入探索

師：根據題目的信息，我們還可以提出什么問題？

生：還可以求擴大后的綠地面積比原來大多少？（追問：也就是什么部分的面積？）擴大部分綠地。（可以怎么計算呢？）自主練習后回答：600-200=400（平方米）。

師：如果不知道擴大后的綠地面積呢？600平方米這個條件是未知的怎么辦？

生：先求出擴大后的綠地面積。（追問：非得求出這個條件嗎？）

生：可以用200×3-200=400（平方米）。

師：你還是先計算出了600平方米。（多數學生表示疑惑）我們可以這樣思考，什么條件沒有發生改變？（長）什么發生了改變？發生了怎樣的改變？（增加到24）也可以怎么說？（增加了16米）而16米正好是8米的（兩倍）。那么積也？（要乘以2）現在想一想，要求增加部分綠地面積，我們只需怎樣列式？生答：200×2=400（平方米）。

作為新知探索后的練習環節，學生已經對“積的變化規律”這一基礎知識和相應的解題策略有了一定的理解。但是從解題結果來看，幾乎全班學生都采用“先求出長方形的長，再計算面積”這一方法來解決。在教師“能不能用這節課學過的知識來解決”這一提問的引導下，才促使他們與剛剛學習的知識相結合從而得出另一種解法。在第二步深入探究中，當教師提出“600平方米這個條件是未知的怎么辦？”學生的第一反應是“先求出擴大后的綠地面積。”而后，在教師對整個過程的逐步引導下得出了第二種解法。

反思以上教學實踐，在第一次嘗試解答中，學生受制于“問題——解決”定式的困擾，教師受制于“利用已學知識解決問題”這一思路的影響。導致了學生僅僅是跟隨著教師的提問指引，被動地結合已學知識達成問題的解決。單從通過這一練習對本課知識的鞏固來看，似乎起到了一定的作用，但是從問題的解決促進學生思維能力的發展角度分析，所能體現的價值卻是微乎其微的。基于對這些問題的思考，筆者針對這一習題進行了再次設計和實踐。

（1）提出問題，嘗試解答

出示（圖2），分析題意。利用這些信息你能提出什么數學問題？

生：增加后的綠地面積是多少？面積比原來增加了多少？（師：請選擇一個問題解答。）

匯報交流。問題一：200÷8=25（米），25×24=600（平方米）。

問題二：200÷8×24=600（平方米），600-200=400（平方米）。

（2）比較解釋，溝通聯系

師：將計算結果與原來的面積相比較，你有什么發現？（增加后的綠地面積是原來的3倍，增加的部分相當于原來的面積乘以2。）你能用這節課學習的知識來解釋一下嗎？

生：因為長不變，寬增加到24米也就是8×3，面積也要乘以3。

生：因為長不變，寬增加了16米，也就是8×2，增加的面積就是原來的面積乘以2。

師：你能用算式表示嗎？

生：200×3=600（平方米），200×2=400（平方米）。

師：比較這兩種方法，主要的區別在于哪里？用到什么知識？（生答略）

（3）數形結合，拓展思路

師：不列式，你能用其他的方式解決這兩個問題嗎？

小組討論匯報：可以通過畫圖的方法解決。（圖3）

師：你們能看懂這張圖的意思嗎？誰來說一說。

生：長不變，寬增加到24米，面積是600平方米。增加部分的面積是400平方米。

（結合板書）小結：通過這些信息，我們提出了什么問題？（學生回答）用了幾種方法來解答？你最喜歡哪種方法？談談你的感受。

（4）練習鞏固，加深理解

師：還想試一試嗎？（課件出示）有一塊1公頃的正方形土地，將它的兩邊分別延長100米，面積增加了多少公頃？

分析題意后，由學生自己提出問題并選擇其中一個進行解答。通過“將計算結果與原來的面積相比較，你有什么發現”的提問，引導學生主動結合所學知識加以解釋，再通過方法比較使學生感知運用“積的變化規律”可以使算法優化。第三個步驟的設計，以“不通過列式，你能用其他的方式解決這兩個問題嗎”激發學生的探究熱情，鼓勵學生在符合要求的前提下用自己的方法達成問題的解決，再將利用數形結合解決的方法作為重點強化。課堂小結中的提問對整個過程進行了回顧和反思，之后的練習則使學生加深了對方法理解和掌握的程度。縱觀整個實踐過程，主要從以下三個方面凸顯了對“解決問題”教學思路的轉變：

一、由“關注結果”轉變為“關注活動”

“傳授—接受”式教學的具體表現之一，在于學生總是被要求去解答由其他人所提出的問題，關注點是問題解決的結果，而從動態的角度分析，在“解決問題”的教學中，我們顯然更應關注數學活動本身。結合上文改進后的教學，可以對此類數學活動的一般方式進行簡要概括：在分析已知條件的基礎上提出相應問題可以看作是開展數學活動的起點；整個分析與解答的過程作為活動的主體以“嘗試—探索—比較—拓展”為主線加以貫穿；對活動的回顧與反思體現在課堂小結中，最后設計相應的練習對活動的結果進行檢測和評價。

二、由“問題解決”轉變為“思維發展”

在對第一層轉變深入理解之后，新的問題隨之而來，既然把“問題解決”看作完整的數學活動，那么此類活動的主要目標是什么？如果僅僅著眼于對所學知識的在解決問題中的實際應用，那么上文中第一次教學實踐也可認為達成相應目標。但是，如果著眼于更大的范圍，數學知識不應被看成單純的解決問題的工具，更對思維的訓練和發展有著十分重要的意義。

因此，改進后的教學設計充分體現了“求取解答并繼續前進”的思維發展理念：在第一次問題解決的基礎上，先是通過比較解釋的方式溝通與所學知識的聯系，進一步提高要求設置的“開放式”作業，使學生可以依據自己的水平去求解，在引入并強化數形結合這一思想方法的同時，消除了學生頭腦中因解題習慣性定式造成的不良影響。

三、由“被動接受”轉變為“自覺探索”

在上文對第一次實踐的片斷進行的反思中已提到：學生僅僅是跟隨著教師的提問指引，被動地結合已學知識達成問題的解決。改進后的教學，在問題的設計上則體現了“探究性”和“啟發性”，其主要目的在于引出新的問題和進一步的思考。這里特別需要說明的是：首先，針對方法比較設計的問題可以使方法的“優化”成為學生的一種自覺行為；其次，解題活動最后階段“回頭看”式的提問設計應該作為學生自覺探索能力內化發展的重要環節；再次，在“開放性問題”的交流環節，教師的提問應當特別注重保護學生自覺探索的意識，從而幫助學生逐步掌握合理的猜想方法。

毫無疑問地說，小學生數學思維能力的形成和發展是一個長期的過程，而在這一過程中，問題的解決起著舉足輕重的作用。以上探索和實踐，僅僅是筆者立足于充分挖掘習題的內涵和價值方面的幾點體驗，供老師們教學時參考。