因為理解，所以“輕松”

朱國仙　章顯聯

摘 要：課堂教學要想“輕松”，關鍵在于課前做到三個“理解”：即理解學生，理解教材，理解數學. 本文以一節公開課為例，對此做了一番闡述.

關鍵詞：輕松；理解；簡錄；啟示

前不久，章老師開了一節公開課，聽課的有各學科的老師，課后點評時，大家給出了很高的評價，其中一位物理老師這樣評價：“聽章老師的課很輕松，學生也學得輕松，師生互動得多，教師講得不多，但能起到四兩撥千斤的效果.” 章老師的課堂教學之所以“輕松”，筆者認為關鍵在于課前做到了三個“理解”：即理解學生，理解教材，理解數學.

這節課的教學簡錄

（一）溫故知新，引出課題

求斜率為3的直線上兩點A（1，a），B（2，b）的線段AB的長度.

通過學生練習自然地復習了平面直角坐標中兩點間的距離公式及其變式，即斜率為k直線上兩點間的距離公式為y=

x1-x2

，同時，引出課題——點到直線的距離.

設計意圖：平面圖形最基本的要素是點和線. 在研究了兩點間距離公式后，自然會去研究點線間的距離，當然還可以更深入地去探究兩平行線間的距離. 這三個距離公式是一脈相承的，因此，這樣引入自然、貼切，符合學生的認知規律.

（二）特例引入，巧做鋪墊

引例：在平面直角坐標系中，（1）求點P（1，1）分別到直線x=2，y=-2的距離.

（2）求點P（1，2）到直線l：x+y-5=0的距離.

問題1：點到直線的距離指的是什么？

問題2：為什么選擇垂足與點P的距離作為點線距離？選直線上其他點與P點距離可以嗎？

問題3：點到直線的距離還可以怎么定義？

設計意圖：復習點到直線距離的垂線段定義法，同時引出廣義定義法，即點到直線上所有點距離的最小值，為后續目標函數的推導方法的展開埋下伏筆.

自主探究：請學生計算引例中的距離，并考慮用多種方法進行解答.

設計意圖：從具體的例子出發求距離，相對來說，計算量更小，學生有更充裕的時間去發現解法的多樣性，為后續求抽象的點線距離做好準備.課堂上出現以下幾種解法.

1. 垂線段法

評注：很好，該思路自然、簡單、清晰.

2. 解直角三角形法

如圖2，在圖1的基礎上，過P作PR∥x軸交直線l于點R.

評注：這種方案將點到直線的距離問題轉化為解直角三角形問題. 在斜邊及角度已知的情況下，顯然運用三角函數的知識可以輕松求解.

3. 等面積法

如圖3，在圖2的基礎上，過P作PS∥y軸交直線l于點S.

評注：直角三角形構造巧妙，避開研究三角形的內角，計算簡潔，快速得出結果.

問題4：還有別的做法嗎？如果從剛才點到直線的本原定義來看，我們可以先將點到直線上任意一點的距離表示出來，再求這個距離的最小值即可. 那么，要求最小值，我們可以從什么地方切入呢？

設計意圖：引出目標函數法.

4. 目標函數法

步驟1：求出點P到直線l上任一點M（x，y）的距離的平方：

評注：該方法運用函數思想，將幾何問題代數化，是典型的解析幾何解法.

（三）公式推導，殊途同歸

問題一般化：在平面直角坐標系中，求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離.

問題5：以上這些方法應該都可以用來解決該問題，但同學們會選擇哪種，或者哪些方法來做呢？為什么？

設計意圖：進行方案比較，優選；在比較中，再次領會各種方案的思想方法，比較它們的優缺點，選擇合適的方案執行.

法1：垂線段法：先求交點，再求兩點間距離. 特點：思路簡捷，計算較繁，體會坐標法、化歸法的思想.

法2：等面積法：構造直角三角形，使得所求垂線段為斜邊上的高，用等面積法求出高.

步驟1：過P作x，y軸的垂線，分別交直線l于M，N，構造直角三角形MPN；則PQ為斜邊上的高（如圖4）.

問題6：在上述推導過程有沒有不夠嚴謹的地方？

設計意圖：由學生自我排查，發現A，B必須都不等于0的條件等問題，培養學生思維的嚴謹性.

（四）公式記憶，學以致用

教師引導學生驗證A=0或B=0的特殊情況也符合一般的距離公式. 最后得到點到直線的距離公式可統一為d=.

問題7：這個公式如何記憶？

問題8：這個公式對點、線的位置有沒有要求？

設計意圖：強化公式記憶，明確公式的適用范圍.

例1 請你編一道與點到直線有關的題目

設計意圖：本題是開放題，可強化學生對公式的理解，激發學生學習興趣.

例2 （1）設點A（4，0），B（0，4），求原點到直線AB上各點距離的最小值.

（2）求過點A（-2，3）且與點B（-3，5）的距離為1的直線方程.

（3）求與直線x+y+2=0平行且距離為的直線方程.

（五）歸納總結，思維提升

1. 學習了點到直線距離的定義；

2. 學習了點到直線距離公式的四種不同推導方法，其實點到直線距離公式的推導方法還有很多種，如：向量法、參數法、不等式法、坐標平移法等；

3. 在公式推導過程中，領悟特殊到一般、轉化與化歸、分類與整合、數形結合、函數與方程等數學思想.

（六）課后作業，鞏固實踐

1. 上網查閱點到直線距離公式的多種推導方法；感受數學知識的廣博與統一.

2. 書面作業：魯中作業本P121

啟示

這堂課之所以得到好評，從“一堂數學課”的角度看，筆者認為還是在“三個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學.

教師在“理解數學”上具有高水平，這是上好一堂數學課的前提條件. 數學課首先還是要把數學教好，數學育人的載體是數學的內容及其由內容反映的思想方法. 只有當教師具有挖掘數學知識蘊含的價值觀資源，并能以與學生智力發展水平相適應的方式表達出來，以恰當的方式傳達給學生，才能有效地實現數學課程的育人目標. 假如教師對數學的理解不到位，連“講對”都還做不到，那么其他一切都是空談，對學生的關懷、熱愛也會變得蒼白甚至虛偽. 《點到直線的距離》這節課的內容是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計算的過渡. 點到直線的距離公式是解析幾何后續學習的一個基礎工具，屬于概念性知識. 本節課蘊含分類與整合、轉化與化歸、數形結合、函數與方程等豐富的數學思想；它既是兩點間距離公式的延續，又為導出兩平行線間距離公式做了鋪墊，具有承上啟下的重要作用. 貫穿于本節課的兩條主線：一是明線，提陳述性知識的呈現，公式的推導、應用、記憶；二是暗線，指程序性知識的滲透、數學思想的領會、數學本質的探究、數學美感的欣賞等. 正是基于對本節數學本質的理解，對于公式的推導在特列的引導下，放手讓學生思考，推導，對于課堂中的各種生成，教師也能做到胸有成竹，適時點撥，學生積極思維，高潮迭起.

“理解學生”，核心是理解學生的數學認知規律和情感發展規律. 具體針對一堂課而言，就是要理解如下幾個方面：一是當前的數學知識與學生的生活經驗和已有數學經驗的聯系，這是確定教學出發點的依據；二是當前知識與學生已有認知結構的“距離”，這是確定教師對學生學習過程干預強度的依據. 本節課中學生已有的認知結構：學習了兩點間的距離公式，且具備了相關的幾何知識，如：交點、垂直、三角函數等. 學生對坐標法解決幾何問題有初步的認識. 正是基于學生的認知結構，教學設計時不急于將一般性的問題呈現出來，而是特例引入，巧設鋪墊，達到了較好的教學效果：學生學得主動，教師教得輕松.

“理解教學”當然是對數學教學規律的認識和教學機智的敏銳水平. 理解數學、理解學生是把數學教好、發揮數學的育人功能的前提條件，但如果在理解教學上不到位，同樣不能達到目的. 適合學生的教學才是最好的教學，課堂上做到恰到好處才是智者. 如公式推導中的第一種方法，教材中是這樣敘述的：“上述方法思路十分自然，但是運算較繁，下面我們采用另一種方法.” 根據教材中這段話，絕大多數教師對這節內容進行教學時，以尊重教材為前提，從而一滑而過，學生也一直認為求交點坐標很難，這使解決此題失去了一次良好的機會. 事實上計算并不復雜，放開讓學生去推導，反而達到了良好的教學效果.