高中數(shù)學(xué)延伸拓展教學(xué)的多維研究思路

劉洪志

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，基于教材及傳統(tǒng)的教學(xué)習(xí)慣，可以幫學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力. 而在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的延伸拓展，能夠更為有效地讓學(xué)生弄清數(shù)學(xué)概念、規(guī)律以及問題解決背后更為本質(zhì)的內(nèi)容. 因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的延伸拓展研究，需要從多個(gè)維度來進(jìn)行. 實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)概念、規(guī)律構(gòu)建、數(shù)學(xué)問題解決，尤其是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后的學(xué)習(xí)反思，是有效地進(jìn)行延伸拓展的重要維度.

關(guān)鍵詞：延伸拓展；教學(xué)思路；研究維度

延伸拓展是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思路，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升的重要途徑. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）給出的意圖很明顯，高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對象的具體情況，通過延伸拓展的辦法，讓學(xué)生就某個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更為深入細(xì)致的研究，以進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)問題解決的體驗(yàn)過程，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)知識建構(gòu)與問題解決的能力.

有研究者指出，所謂延伸拓展，就是從學(xué)生的原有知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平出發(fā)，通過問題解決或者課題研究的方式對原有學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行拓展，并在此過程中深化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，同時(shí)深化教師對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識的過程. 在實(shí)際教學(xué)中，延伸拓展以不同形式存在著，甚至在課程改革之前，延伸拓展實(shí)際上也就已經(jīng)存在著，只不過沒有冠之以延伸拓展之名而已. 目前面臨的主要挑戰(zhàn)是，延伸拓展在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中還沒有真正走出常規(guī)思維中的習(xí)題變式尤其是難度遞增的變式思路，也就是說對延伸拓展的材料的研究還有進(jìn)一步研究的空間. 筆者將延伸拓展材料的研究稱之為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的培元固本的工作，并從多個(gè)維度對之展開了系列研究.

[?] 概念構(gòu)建，基于內(nèi)涵外延實(shí)現(xiàn)延伸拓展

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的基石，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有理論上的重要性與實(shí)踐上的次要性的矛盾. 應(yīng)試狀態(tài)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，常常在新知授課習(xí)題化的思想下變成一個(gè)速成的過程. 顯然，這是不利于學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念理解的，筆者以為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)非但不能壓縮，還應(yīng)當(dāng)在原有教學(xué)過程的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸，而其方向不外乎內(nèi)涵和外延兩個(gè)角度. 現(xiàn)以“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)為例，談?wù)劰P者的延伸拓展研究思路.

奇偶是學(xué)生在義務(wù)教育階段就已經(jīng)習(xí)得的概念，當(dāng)奇偶與函數(shù)結(jié)合起來并以之描述函數(shù)的性質(zhì)出現(xiàn)時(shí)，教師首先要關(guān)注的就是學(xué)生對函數(shù)的奇偶性這一概念的理解. 從數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的角度來看，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材（必修1）中對函數(shù)的奇偶性是這樣定義的：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱y=f（x）是偶函數(shù)；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱y=f（x）是奇函數(shù). 從定義本身可以看出函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵，即關(guān)鍵在于對于某一定義域之內(nèi)如果滿足自變量與應(yīng)變量的對應(yīng)的正負(fù)關(guān)系，那就存在著奇偶性.

學(xué)生在理解函數(shù)奇偶性這一概念的時(shí)候會有什么樣的心理過程？這是筆者關(guān)注的內(nèi)容，研究發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分學(xué)生在理解的時(shí)候首先就是關(guān)注為什么要用“奇偶”來形容（前面的單調(diào)性學(xué)習(xí)也是如此），此處的奇偶與有理數(shù)中的奇偶是一回事嗎？有意思的是，當(dāng)這個(gè)問題出現(xiàn)在部分高中數(shù)學(xué)教師同行面前時(shí)，所獲得的理解也是不同的. 但實(shí)際上這個(gè)問題教材是給出了回答的，在本內(nèi)容引入的時(shí)候，教材給出了這樣的描述：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱的現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……而在給出了函數(shù)奇偶性定義之后，教材又強(qiáng)調(diào)：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可知，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 而實(shí)際教學(xué)中，教師常常是忽視這種前后對應(yīng)關(guān)系的，因而也就不能將函數(shù)奇偶性的概念進(jìn)行有效的延伸拓展；反之，看到了這種對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生對函數(shù)奇偶性概念的理解就可以既有內(nèi)涵，也有外延，從而可以完善這種概念理解，學(xué)生會認(rèn)識到此處的奇偶并非是指能否被2整除，而是與對稱相關(guān)的描述.

類似于此的概念教學(xué)中的延伸拓展，對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的最大價(jià)值在于，學(xué)生可以對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生一個(gè)完整的理解，即不僅知道函數(shù)的奇偶性是什么意思，更知道為什么會以這樣的詞語來描述這種特征，而這恰恰是數(shù)學(xué)概念最為本質(zhì)的地方. 又如單調(diào)性，正如有學(xué)生所說的那樣：當(dāng)函數(shù)圖象在某定義域內(nèi)只呈現(xiàn)一種變化形態(tài)的時(shí)候，確實(shí)是夠單調(diào)的.

需要指出的是，數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)中同樣也存在著必要的延伸拓展的問題，考慮到其與概念建構(gòu)的原理類似，這里不多贅述.

問題解決，基于發(fā)散思維實(shí)現(xiàn)延伸拓展

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決是一個(gè)重要的任務(wù)，某種程度上講還是關(guān)系到接受高考評價(jià)的最為核心的任務(wù). 由于應(yīng)試的存在，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題解決常常是聚合性的，也就是學(xué)生的思路常常是指向最終的唯一答案的. 這種聚合性往往是延伸拓展的大敵，從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的角度來看，在日常教學(xué)中基于發(fā)散思維去培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，也應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)教師的應(yīng)然任務(wù). 且這樣的教學(xué)并不會對學(xué)生的應(yīng)試能力有任何的影響，其需要的只是教師在傳統(tǒng)的應(yīng)試教學(xué)思路中付出基于延伸拓展需要而進(jìn)行的發(fā)散性思維訓(xùn)練的勇氣而已.

同樣來看一個(gè)例子（考慮到現(xiàn)實(shí)需要，這里呈現(xiàn)的問題仍然是一般意義上的數(shù)學(xué)習(xí)題，而非與生活關(guān)系更為密切的、可以用數(shù)學(xué)模型來解決的現(xiàn)實(shí)問題，前者是后者抽象的結(jié)果）. 這則例子來源于蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2中的一個(gè)例題：判斷圓（x+2）2+（y-2）2=1與圓（x-2）2+（y-5）2=16的位置關(guān)系. 一般情況下，本問題解決的思路是求出兩個(gè)圓的圓心，然后再求出圓心距；將之與兩圓半徑之和進(jìn)行比較，即可得到結(jié)果. 如果這樣，那本題就是一道簡單的命題，除了鞏固學(xué)生的新知之外，沒有其他價(jià)值.

但若從延伸拓展的角度來看，本題實(shí)際上是可以進(jìn)行思維的發(fā)散性訓(xùn)練的，在這種發(fā)散性訓(xùn)練中，還可以讓學(xué)生對已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行更有效的整合. 比如說我們可以向?qū)W生追問這樣的幾個(gè)問題：本問題解決的思路是什么？經(jīng)由學(xué)生思考，可以梳理出是基于圓心距之和與半徑之和的比較；有沒有其他的解題思路？思維發(fā)散的基本提問方式；兩個(gè)圓的方程可否轉(zhuǎn)換為方程組？如果求解，其得到的解又有什么數(shù)學(xué)意義？

還有研究者更精辟地指出，如果在此時(shí)超越本題，而向?qū)W生提出問題：如果將兩個(gè)圓的方程相減，那將會得到什么？（這是一個(gè)高中學(xué)生能夠解決的問題，但又不是教材上出現(xiàn)的問題；至于兩圓相加得到的圓系方程，有興趣的同行不妨研究）得到的這個(gè)直線方程與兩圓又是什么樣的關(guān)系？

這樣的延伸拓展，可以將學(xué)生的視線延伸到原來的問題之外，也可以讓學(xué)生認(rèn)識到即使最為簡單的數(shù)學(xué)問題，也都可以進(jìn)行有價(jià)值的延伸. 當(dāng)然，有價(jià)值的延伸并不一定需要延伸，但這樣的意識形成，實(shí)際上有助于學(xué)生將來遇到更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以以一種更理性的心態(tài)去面對，以一種更冷靜的心態(tài)去將難題逐步分解成相對簡單的問題. 這是實(shí)實(shí)在在的問題解決能力的體現(xiàn).

學(xué)習(xí)反思，基于思維規(guī)律實(shí)現(xiàn)延伸拓展

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要體現(xiàn)，就是學(xué)生的反思能力. 相對數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建而言，反思能力更加直接地指向?qū)W生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 學(xué)習(xí)后的反思過程，原本就是學(xué)習(xí)過程的延伸，如果在延伸的過程中再加以拓展，那學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)就有可能得到真正的提高，而學(xué)習(xí)后的反思也正是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較薄弱的一環(huán).

筆者在實(shí)踐中嘗試在學(xué)生學(xué)習(xí)之后引導(dǎo)反思，從環(huán)節(jié)分類來看，也是從數(shù)學(xué)概念建構(gòu)、數(shù)學(xué)規(guī)律內(nèi)化、數(shù)學(xué)問題解決能力的提高等維度來進(jìn)行的. 從現(xiàn)實(shí)角度來看，在問題解決的過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，是比較重要的選擇.

例如，在函數(shù)概念與基本初等函數(shù)中學(xué)習(xí)到的分段函數(shù)，教材上給出的數(shù)學(xué)問題是源于實(shí)際生活中出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的問題：某市出租汽車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：在3km以內(nèi)（含3km）路程按起步價(jià)7元收費(fèi)，超過3km以外的路程按2.4元/km收費(fèi). 試寫出收費(fèi)額關(guān)于路程的函數(shù)解析式.

這一問題的解決有兩個(gè)過程：一是生活事實(shí)向數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象，這一步并不復(fù)雜；二是分段函數(shù)的得出. 有學(xué)生在解題過程中會寫出y=7（03）的表達(dá)式.而在教師給出y=7（0

2.4（x-3）+7（x>3）之后，有學(xué)生認(rèn)為兩者并無本質(zhì)區(qū)別. 于是，數(shù)學(xué)形式與數(shù)學(xué)本質(zhì)之間的關(guān)系就成為可以延伸拓展的重要研究命題之一. 從教師的角度來講，教師必須知道數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)形式之間的關(guān)系，而對于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，需要讓學(xué)生知道的則是每一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容都應(yīng)當(dāng)有對應(yīng)的數(shù)學(xué)形式，數(shù)學(xué)形式背后是數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的體現(xiàn). 只有認(rèn)識到這一點(diǎn)，基于分段函數(shù)的延伸拓展教學(xué)，才有了純粹的數(shù)學(xué)意義.

因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后的反思尤其是從某一個(gè)知識點(diǎn)向數(shù)學(xué)本質(zhì)的延伸拓展，應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)自覺.