一個鮮為人知的誤區

高用

摘 要：目前，三角函數問題中區間與集合等同使用非常普遍，不僅是日常教學、解題中還是諸多教輔中，甚至是高考參考答案都是如此，這是否規范？本文從教學中遇到的問題出發，對該問題進行深入探討.

關鍵詞：誤區；三角函數；區間；集合

筆者在講評《正弦函數、余弦函數的性質》一課的習題時，一道判斷題引發了學生的激烈討論.

題目 函數y=sinx在第一象限內是增函數.

學生中主要有如下三種觀點：

觀點1：錯誤. 根據正弦函數圖象，函數y=sinx在第一象限內的圖象有增有減，明顯不是遞增的.

觀點2：錯誤. 舉反例：和π都是第一象限角，且<π，但是sin=，sinπ=sin=，所以sin>sinπ，不滿足單調遞增的定義，故y=sinx在第一象限內不是增函數.

觀點3：正確. 第一象限角組成的集合可以表示為{x

，k∈Z上是增函數，即函數y=sinx在第一象限內是增函數.

持觀點1的學生顯然是理解錯了題意，理解成了函數y=sinx在第一象限中的圖象是上升的，題目中第一象限是指自變量角x的取值范圍.

觀點2是正確的，通過舉反例證明了函數y=sinx在第一象限內不滿足函數單調遞增的定義.

那么，觀點3就是有問題的，但是問題出在哪里呢？觀點3看起來也很正確啊.經過仔細思考和反復辨別，還是觀點2給了筆者啟發，我們來看看反例的這兩個角：∈

0，

這是錯誤的，在教材上可以找到兩點依據：

1. 普通高中數學教材人教A版關于正弦函數y=sinx單調區間的敘述為：單調增區間是

2. 普通高中數學教材人教A版必修四第31頁提到：因為終邊相同的角有相同的三角函數值，所以函數y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π），k∈Z且k≠0的圖象，與函數y=sinx，x∈[0，2π）的圖象的形狀完全一致.

由此可以看出區間

然而，無論在解題中還是教學中，我們似乎已經默認了區間與集合是等同的，寫區間和寫集合都可以，并沒有過分追究，現在細細想來，我們卻因此犯下了不少鮮為人知的錯誤.

錯誤一 求定義域用區間

綜上所述，上述幾種情況，區間與集合是不能混用的，具體用集合還是用區間要區別對待，平時的教學中應該強調這一點，并加以規范. 或許，以上問題不痛不癢，無關乎數學本質，過分追究便是吹毛求疵，但是數學本身是嚴謹的，不允許出現任何錯誤. 況且這個問題本身就可以一言以蔽之，當然應該嚴格規范. 筆者希望本文能引起同行們的重視！