高中數(shù)學數(shù)形結合思想及其實踐探究

柳玉鳳

摘 要：“數(shù)形結合”思想是數(shù)學最基本的思想方法之一，貫穿于中小學數(shù)學教學的始終. 本文在從現(xiàn)代數(shù)學視角下的數(shù)形結合思想方法的內涵意義闡述的基礎上，分析了高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想方法的必要性，提出了一些高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想方法的策略.

關鍵詞：數(shù)形結合；數(shù)學思想；滲透；策略

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，也是引導和促進學生將知識轉化為能力的橋梁. 作為數(shù)學最基本的思想方法之一，“數(shù)形結合”思想始終貫穿于中小學數(shù)學教學的始終. 《高中數(shù)學新課程標準》指出：教學中教師“要注重數(shù)與形的聯(lián)系，在學習數(shù)學和應用數(shù)學中不斷體會數(shù)形結合的思想方法.” 然而在數(shù)學教學實踐中，教師對數(shù)形結合思想的重要性認識不足，或因受教材編寫所限，在具體教學時對數(shù)形結合思想的貫徹和落實就帶有一定的盲目性和隨意性. 因此在高中數(shù)學教學中，教師要根據(jù)高中數(shù)學知識的特點，注重數(shù)與形的聯(lián)系，強化數(shù)形結合思想方法的滲透與訓練，恰到好處地向學生充分展示知識的形成過程，使學生在學會和掌握重要數(shù)學知識的同時，不斷地體會數(shù)形結合的思想方法，學會用數(shù)學思想指導知識應用，獲得必要的數(shù)學應用技能，形成優(yōu)良思維品質，發(fā)展數(shù)學能力.

現(xiàn)代數(shù)學視角下的數(shù)形結合思想方法的內涵意義

所謂“數(shù)形結合”，就是把數(shù)學中兩個非常重要的元素——數(shù)量關系和空間形式緊密結合起來，使代數(shù)問題與圖形問題在抽象思維和形象思維的相互作用中彼此轉化，代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.由此可見，“數(shù)形結合”不僅是一種數(shù)學思想，而且也是一種數(shù)學解題工具，一種解決問題的策略意識.可以說“數(shù)形結合”的思想方法無時無刻不活躍在學生的數(shù)學學習活動之中. 在高中數(shù)學教學始終圍繞“形”“數(shù)”兩個角度來引導學生進行數(shù)學學習，有利于使數(shù)學中的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有利于學生形成完整的數(shù)學概念和深層次的把握數(shù)學概念的本質，加深對數(shù)學知識的理解和記憶，構建和優(yōu)化數(shù)學認知結構. 同時能使學生在積極參與教學活動的過程中，不斷積累數(shù)學活動經驗，提高數(shù)學思維，從而獲得終身受益的數(shù)學思想方法和解決問題能力.

高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想方法的必要性

1. 滲透數(shù)形結合思想方法是落實課標精神的需求

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：基本數(shù)學思想是學生的數(shù)學學習目標之一，要求學生在掌握數(shù)學基礎知識的同時要掌握基本的數(shù)學技能和基本的數(shù)學思想. 因此在數(shù)學教學中應以數(shù)學知識為載體，注重數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)和形完美地統(tǒng)一起來，促進學生數(shù)形轉化能力和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng).

2. 滲透數(shù)形結合思想方法是發(fā)展學生思維的需求

在數(shù)學教學中有效滲透數(shù)形結合思想方法，通過或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，不僅能使學生數(shù)學的思考具有條理性，能多層次和多角度地來思考問題，而且可以幫助學生樹立良好的現(xiàn)代數(shù)學思維意識，拓展學生尋找解決問題的途徑和發(fā)散解題思維，促進學生在將來的學習中能自覺進行數(shù)學的思考.

3. 滲透數(shù)形結合思想方法是處理好教與學的需求

在數(shù)學教學實踐中，不少教師對數(shù)形結合思想的重要性認識不足，對數(shù)形結合思想的貫徹和落實帶有一定的盲目性和隨意性，在數(shù)學知識的教學過程中不能合理布點、由淺入深，從數(shù)到形的轉換過程過于簡單，致使高中生對“數(shù)”和“形”的理解比較狹隘，運用數(shù)形結合法解題時出現(xiàn)構圖不當、轉換失真、數(shù)與形不等價、條件理解不深刻等問題，未能有效提高學生的解題能力.

基于以上三方面的分析，可以看出，滲透數(shù)形結合思想方法既是落實課標精神的要求，也是學生發(fā)展的要求，更是徹底改善目前高中數(shù)學教與學現(xiàn)狀的需要. 在高中數(shù)學教學中只有效滲透數(shù)形結合思想方法，才能讓學生在主動參與的學習過程中不斷體會數(shù)形結合的意義所在，獲得終身受益的數(shù)學思想方法和解決問題的能力，促進學生數(shù)學的發(fā)展.

高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想方法的策略

1. 恰當運用多媒體技術手段動態(tài)展現(xiàn)數(shù)形結合思想方法

信息技術具有動態(tài)可視化的效果，因此教學中可以利用多媒體技術來展現(xiàn)數(shù)形結合方法，動態(tài)變化的演示過程不僅能將抽象的數(shù)學知識直觀形象、變化有序地展示在學生面前，驗證發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生的動態(tài)感，而且為學生進行建構性學習提供了有利的平臺，使學生學會利用動態(tài)的眼光去看待問題.

高中解析幾何不僅是數(shù)和形的緊密結合，具有利用方程的性質來研究相應的幾何圖形的特點，而且它是把曲線，也包括直線看作按一定的幾何條件運動的集合.因此教學中用多媒體把“數(shù)”和“形”的潛在關系動態(tài)地顯示出來，并有針對性地加以講解或組織學生討論. 通過觀察、驗證、對比等一系列探究性活動尋找到一般規(guī)律和特殊屬性，從而充分揭示教學內容中內在的辯證關系，加深學生對幾何圖形的感知和理解，從而培養(yǎng)學生用運動、變化的觀點分析和解決問題的習慣，最終理解和掌握所學知識的實質.

2. 在探尋知識意義的實踐活動中滲透數(shù)形結合思想方法

數(shù)學學習的過程不只是數(shù)學知識的習得，而應是引導學生在“經歷”“體驗”知識的產生、發(fā)展和形成過程中發(fā)展能力. 因此在高中數(shù)學教學中教師要創(chuàng)設開展數(shù)學活動的良好情境，給予學生充分的從事數(shù)學活動的時間和空間，在親歷中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗，發(fā)展數(shù)學思維.

如，在教學“函數(shù)的單調性”時，筆者安排了三個層次的教學活動：（1）以實際生活中的氣溫變化表、股市走勢等讓學生利用已有的知識經驗進行思考；（2）出示函數(shù)圖象，引導學生將圖象中上升或下降的趨勢用自己的語言描述出來；（3）用幾何畫板動態(tài)演示，讓學生觀察隨著x值的變化，函數(shù)值f（x）是如何變化的，然后再用數(shù)學語言對圖形中的上升或下降趨勢加以描述. 將圖象語言、符號語言、文字語言相結合，在探究、經歷“函數(shù)單調性”的數(shù)學活動過程中使學生對“函數(shù)單調性”本質內涵進行理解，體驗數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.

3. 在解題過程中合理引導學生使用數(shù)形結合思想方法

數(shù)學學習的目的，不僅是引導學生學會和掌握數(shù)學知識，更重要的是學會用數(shù)學思想指導知識的應用. 作為解決數(shù)學問題時“由數(shù)思形”或“由形思數(shù)”的一種數(shù)學思想，它可以有效地將數(shù)字和圖形相互轉化，利用形象解決抽象，實現(xiàn)化難為易的效果. 因此教師在平時的教學中應有意識地引導學生把數(shù)形結合的思想運用于解答數(shù)學問題中去，提高學生的分析及解決問題的能力.

（1）由數(shù)思形，以形得數(shù)

如：已知f（x）=x2+4x+3，求f（x）在閉區(qū)間[-3，1]上的最大值、最小值.

分析：f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1圖象的開口向上，對稱軸x=-2，作此二次函數(shù)的大致草圖（如圖1），對稱軸在區(qū)間內，并在區(qū)間中點的左側，故f（x）max=f（1）=8，f（x）min=f（-2）=-（2）由形思數(shù)，以數(shù)論形

如：如圖2，AB為半圓O的直徑，且AB=2，P是延長線上一點，且OP=2，Q為半圓上任一點，以PQ為一邊向△OPQ的外部作等邊三角形PQR，求四邊形OPRQ的面積的最大值，并求當四邊形OPRQ面積最大值時∠QOP的值.

分析：要確定四邊形面積的最大值，必須由題目條件結合圖形，把面積的表達式寫出來.

設∠QOP=θ，則在△OPQ中，由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ，故

.

四邊形OPRQ面積的最大值為，此時θ-=，所以θ=.

在引導學生對知識的反思的過程中提煉數(shù)形結合思想

高中數(shù)學很多知識點屮都蘊含數(shù)形結合思想，可以說貫穿于高中數(shù)學學習的始終. 然而在數(shù)學問題解決的過程中，很多教師往往就題論題，告知學生此題可利用數(shù)形結合思想來解，這樣不利于學生達到真正意義上的理解和接受. 因此教師要徹底改變重視“教”而忽略“學”的現(xiàn)狀，不僅要在整體上做好分類，有目的、有計劃地選取典型例題進行分析和講解，而且還應積極引導學生進行反思與歸納，在對知識的反思的過程中提煉數(shù)形結合思想，從而構建完整的數(shù)形結合解決問題的策略體系.

總之，在高中數(shù)學教學中教師要從著眼于學生數(shù)學能力的提高的視角，在數(shù)學教學中體現(xiàn)對數(shù)形結合思想方法的關注和重視，注重學生數(shù)學思想方法的激活，讓學生從解決問題的方法和過程中感悟與體會數(shù)學思想方法，在親歷自主探究解決問題的過程中實現(xiàn)知識的完整建構，促進學生數(shù)形轉化、遷移思維與分析問題及、解決問題能力的提升，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).