“三板斧”秒殺平面向量數量積

曾敏

摘 要：平面向量的數量積是向量的核心內容，也是高考考查的熱點內容. 平面向量的數量積分坐標形式與幾何形式兩種. 利用這兩種形式及相關的性質，我們不僅可以解決平面向量的長度、角度、垂直等問題，還可以解決一些函數的最值問題，往往可以收到化繁為簡、化難為易的效果.

關鍵詞：向量數量積；轉化法；坐標法；幾何法

平面向量是高中數學中重要和基本的概念之一，它是溝通代數、幾何和三角函數的一種工具，而且經常和平面幾何、最值、范圍等問題結合起來，充分體現了向量的工具性作用. 而作為向量的核心內容之一的數量積運算又是高考考查的熱點內容，學生頗感困惑.基于此，本文通過一個具體案例談一談解決平面向量數量積問題的方法與策略.

例 如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點（包括端點），則·的取值范圍是_________.

①“必殺技一”——轉化法

分析：向量， 均由基底向量，線性表示，

而且已知，的模與夾角，可用定義直接求.

評注：借助原有圖形對所求向量進行分解轉化，化為用一組基底表示的向量進行處理. 此法要求所選的基底的模與夾角可知，計算中靈活運用可以減少運算量、思維量，特別對于平面圖形不含坐標系或不方便建立坐標系的情況更可以達到事半功倍的效果.

②“必殺技二”——坐標法

分析：由于三角形邊角給定，可把其放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數和向量運算，從而使問題得到解決.

解法二：以A點為原點，以AB所在直線為x軸，如圖2建立直角坐標系，

則A（0，0），B（2，0）.

由于0≤λ≤1，故·的取值范圍是[-5，2].

評注：從幾何形態解決問題較困難時，可采用代數方法. 若向量出現在矩形、正方形、直角梯形、特殊三角形等圖形中時，可以建立適當的平面直角坐標系，將向量用坐標表示，選擇坐標法進行運算.

③“必殺技三”——幾何法

分析：從數量積的幾何意義看求兩個向量的數量積關鍵就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

解法三：由余弦定理知：

BC==定值.

由數量積的幾何意義知：

·等于的模乘以在方向的投影.

過A作AH⊥BC于H點

易知：當D在B處時，投影最小，即：

當D在C處時，投影最大. 即：

故·的取值范圍是[-5，2].

評注：向量的幾何方面的應用，充分體現數學解題的轉化思想和數形結合思想.

上述例子充分顯示了平面向量數量積求解的特點，處理此類問題的策略很多，歸結到底：①“轉化法”關鍵緊扣定義，轉換概念. ②“坐標法”建系化為代數中的函數最值問題. ③“幾何法” 構造幾何圖形巧解函數最值. 充分利用好三板斧（“轉化法”、“坐標法”、“幾何法”）可以真正意義上秒殺數量積相關問題.