用圓錐曲線的統一方程解題

許正川

摘 要：關于橢圓、雙曲線、拋物線的有關問題，往往都是利用它們各自的標準方程進行探究，所得結果也往往彼此不同，好似互不關聯. 利用圓錐曲線的統一定義，建立一個統一方程便能克服上述困難.

關鍵詞：圓錐曲線；統一方程；解題；探究

關于橢圓、雙曲線、拋物線的有關問題，往往都是利用它們各自的標準方程進行探究，所得結果也往往彼此不同，好似互不關聯.而進行計算或論證時，也比較繁雜冗長，有時要用難以想到的技巧，增加了解這類問題的難度. 如果我們利用圓錐曲線的統一定義，建立一個統一方程，以此為工具，有時可較好地克服上述困難，也較易看出它們有關結論的關聯，從而加深我們對圓錐曲線本質的理解.

若圓錐曲線C的一個焦點為F，與其相對應準線為l，離心率為e，以F為坐標原點，過F且與l垂直的直線為x軸建立直角坐標系，設直線l的方程為x+p=0（p>0），圓錐曲線C上任一點M（x，y），M至l之距為d，則由圓錐曲線的定義，有=e，即=e，

整理得（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0. （1）

當e≠1時，此圓錐曲線的兩軸方程為x=，y=0，中心O′

當e=1時，圓錐曲線有一條軸，y=0.

下面舉數例加以說明.

例1 （2015年全國高考數學（全國新課程）卷第20題的推廣）

已知直線l不過圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0（e≠1）中心O′，也不平行于坐標軸，與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，求證：直線O′M與直線l的斜率之積為e2-1，是一定值.

證明：由題意，直線l的斜率存在，且不為0，可設其方程為y=kx+b（k≠0），代入C的方程（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0，

例2 （2015年全國高考福建數學（文科）卷第19題的推廣）F為圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0的焦點，過F的直線交C于A，B兩點，G（-p，0），求證：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

證明：欲證結論成立，即欲證F至GA之距d1與F至GB之距d2相等.

直線GA的方程為y=（x+p），即y1x-（x1+p）y+py1=0，

例4 （2014年全國高考廣東數學（理科）卷第20題的推廣）

若動點P（x0，y0）為圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0外部一點，且過P點作圓錐曲線C的兩條切線相互垂直，求P點軌跡方程，并判斷是何種曲線.

解：設過P（x0，y0）的切線的斜率存在且不為0，則可設其方程為y=kx+（y0-kx0），代入圓錐曲線方程（1），整理得（1-e2+k2）x2-2[pe2-k·（y0-kx0）]x+（y0-kx0）2-pe2=0.

由題意有[pe2-k·（y0-kx0）]2-（1-e2+k2）·[（y0-kx0）2-p2e2]=0，

+y=，p點軌跡是一個圓，其中當e=時，是點圓；e>時，是虛圓.

評注：此題結果表明，當圓錐曲線C是一橢圓時，P點軌跡是一個圓；當C是一拋物線時，P點軌跡是一條直線，這條直線恰為拋物線的準線；當C是一雙曲線，e<時，P點軌跡是一個圓，e=時，P點軌跡是一個點，此點恰為雙曲線的中心，e>時，P點軌跡不存在.

例5 （《數學通報》數學問題2087的推廣）

過圓錐曲線的一個焦點作圓錐曲線任一切線的垂線，求垂足的軌跡是何種曲線.

解：設圓錐曲線的方程為（1），垂足（x0，y0），則仿例4也可得，[2pe2x0+（e2-1）x+p2e2]k2+2[（1-e2）x0y0-pe2y0]k+[（e2-1）y+p2e2]=0.

因為圓錐曲線（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的一個焦點（0，0），故由題意=-，k=-，代入上述方程，整理得（e2-1）（x+y）2+2pe2x0（x+y）+p2e2（x+y）=0，

顯然x+y>0，故有（e2-1）（x+y）+2pe2x0+p2e2=0.

當圓錐曲線切線的斜率不存在或為0時，此方程也成立.

垂足的軌跡是一個圓.

評注：本題特例橢圓時中解答，通過聯立方程組求交點坐標，計算量不小；然后計算x2+y2，又要用代數恒等變形的技巧，均不及此種解法簡單明快，且一箭三雕，同時解決了橢圓、雙曲線、拋物線的垂直切線的交點的軌跡問題.

例6 過圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的焦點F的直線l1交圓錐曲線于A、B的兩點，交定直線l2：x=x0于P點，設=λ1，=λ2，則λ1+λ2=-2

為定值.

證明：顯然，F（0，0），故可設l1的方程為y=kx，代入圓錐曲線C的方程

評注：若l2為焦點F相對應的準線，則λ1+λ2=0；若l2的方程為x=-，則λ1+λ2=-1；若l2為橢圓的短軸或雙曲線的虛軸，則λ1+λ2=.

例7 過點P（x0，y0）作圓錐曲線（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的兩條弦AB、CD，使這兩條弦的斜率之積為常數λ，設AB、CD的中點分別為M、N，則

證明：設直線AB的方程為y=kx+（y0-kx0），代入方程（1），整理得，