對“多邊形內(nèi)角和”的理論與實踐研究

秦仕祥

[摘 要]“多邊形內(nèi)角和”是蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊的探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容的教學(xué)目標不僅僅是對“多邊形內(nèi)角和計算公式”的理解、掌握和應(yīng)用，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷實實在在的數(shù)學(xué)探究過程，在探究中感悟多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和計算公式，在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和邏輯推理能力。

[關(guān)鍵詞] 多邊形 內(nèi)角和 探索規(guī)律 提升思維

教育部審定的2013蘇教版數(shù)學(xué)教材中編排了一些數(shù)學(xué)探究教學(xué)內(nèi)容，四年級下冊數(shù)學(xué)教材第96頁的“多邊形內(nèi)角和”就是其中之一。

一、知識分析

“多邊形內(nèi)角和”是研究多邊形所有內(nèi)角度數(shù)總和與多邊形邊數(shù)之間關(guān)系的知識，其表達式是“多邊形內(nèi)角和=（邊數(shù)—2）×1800”，其中（邊數(shù)—2）是分割成的三角形的個數(shù)，1800是一個三角形的內(nèi)角和。怎么理解這個計算公式呢？

（一）理解思維一

因為三角形是最簡單的多邊形，任何一個多邊形都可以分割成若干個三角形，所以研究多邊形的內(nèi)角和就以三角形的內(nèi)角和為基礎(chǔ)，先把多邊形分割成若干個三角形，再把分割成的三角形的個數(shù)與1800相乘，乘積就是這個多邊形的內(nèi)角和。分割的原則：分成的若干個三角形的內(nèi)角和要正好等于原來多邊形的內(nèi)角和。分割的方法：分成的三角形的三個頂點都在原多邊形的頂點，分割線不能相交。一個多邊形可以分成多少個三角形呢？直觀思維：通過分割操作發(fā)現(xiàn)四邊形可以分割成2個三角形、五邊形可以分割成3個三角形、六邊形可以分割成4個三角形、七邊形可以分割成5個三角形、八邊形可以分割成6個三角形……發(fā)現(xiàn)分割成了“邊數(shù)-2）個。理性思維：以多邊形的一個頂點為起點與其它頂點連分割線，除了本身、左右相鄰兩點不好連接外其它點都可以連接，所以可以連接（邊數(shù)—3）條分割線，分割線連接完成之后的圖形就是“三角形和分割線一一間隔排列”，兩端都是三角形，所以三角形個數(shù)比分割線條數(shù)多1，分割成的三角形個數(shù)=邊數(shù)-3+1=邊數(shù)-2。因此多邊形內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×1800。

（二）理解思維二

在多邊形內(nèi)任選一點，把這點與多邊形所有頂點連接成三角形，是幾邊形就可以連接幾個三角形，用邊數(shù)乘1800就是這些三角形的內(nèi)角和，但是這些三角形的內(nèi)角和比原來多邊形的內(nèi)角和多了以這點為頂點的若干個角的和，這些角的和正好是一個周角3600，所以多邊形的內(nèi)角和=邊數(shù)×1800-3600=邊數(shù)×1800-2×1800=（邊數(shù)-2）×1800。

二、教材分析

教材的編寫可以分為五個板塊。

（一）回顧舊知、引出新知

教材第96頁的第一節(jié)及下面的三幅圖形，先引導(dǎo)學(xué)生回顧喚醒三角形內(nèi)角和1800的舊知，在此基礎(chǔ)上拋出“四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和是多少呢？”的問題，引入本節(jié)課要探究的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生探究的積極性。

（二）初步探究，得出方法

教材第96頁第二節(jié)及下面圖解，先讓學(xué)生自主探究直角梯形的內(nèi)角和，教材預(yù)設(shè)了兩種方案。方案一：直角梯形中有兩個角是直角（900），另外兩個角的度數(shù)不知道，學(xué)生可能會想到“先測量直角外的兩個內(nèi)角的度數(shù)”，再求出四個角的度數(shù)和900+900+1400+400=3600。方案二：因為三角形的內(nèi)角和是1800，所以學(xué)生可能會想到“先把直角梯形分成兩個三角形”，再算出直角梯形的內(nèi)角和是1800×2=3600。分割計算的方法要比測量求和的方法高級，而且是探索多邊形內(nèi)角和的必須的方法，所以教學(xué)時務(wù)必幫助學(xué)生理解和掌握分割計算的方法。

（三）自主探究，積累素材

教材第96頁第三節(jié)、第四節(jié)及中間的分割圖，先讓學(xué)生用分割的方法自主探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和，接著再讓學(xué)生研究七邊形、八邊形……的內(nèi)角和，一方面幫助學(xué)生在操作中理解和掌握分割三角形的方法，另一方面為研究多邊形邊數(shù)與分成的三角形的個數(shù)之間的關(guān)系提供素材。

（四）探索規(guī)律，抽象概括

教材97頁的表格到多邊形內(nèi)角和的表達式。先讓學(xué)生把前面研究的多邊形的名稱、邊數(shù)、分成的三角形個數(shù)、內(nèi)角和的算式填在表格內(nèi)，再讓學(xué)生仔細觀察這個表格，通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律：可以把多邊形分割成若干個三角形計算多邊形的內(nèi)角和；分割成的三角形的個數(shù)都是“邊數(shù)-2”個；分成幾個三角形，多邊形的內(nèi)角和就是“幾×1800”。從而推導(dǎo)出“多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)—2）×1800”。

（五）回顧反思，提煉思想

引導(dǎo)學(xué)生回顧研究多邊形內(nèi)角和的過程，反思探索多邊形內(nèi)角和的方法，使學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化對探索多邊形內(nèi)角和的作用，掌握探索規(guī)律的方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟轉(zhuǎn)化、內(nèi)比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的價值，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的問題意識、探索意識和創(chuàng)新意識。

三、學(xué)情分析

皮亞杰的認知發(fā)展理論把思維發(fā)展分成四個階段：感知運動階段（0-2歲）、前運算階段（2-7歲）、具體運算思維階段（7-12歲）和形式運算階段（12-15歲）。小學(xué)四年級學(xué)生正處于具體運算階段，皮亞杰認為：此時兒童從表象性思維中解脫出來，認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有了抽象概念，因而能夠進行邏輯推理，但運算仍離不開具體事物的支持。因此學(xué)生研究多邊形內(nèi)角和的探索起點是測量計算的方法，需要在教師暗示、啟發(fā)才能把研究的方法轉(zhuǎn)移到抽象的分割推算方法上來，更需要教師的引導(dǎo)和攙扶才能理解和掌握分割推算的方法，其中如何分割成若干個三角形是學(xué)生研究的難點，分割后的邏輯推理需過程離不開教師的啟發(fā)和引導(dǎo)。

四、目標分析

本探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容屬數(shù)學(xué)教育的范疇，教學(xué)目標不僅僅在于對“多邊形內(nèi)角和計算公式”的理解、掌握和應(yīng)用，而在于對“多邊形內(nèi)角和計算公式的推導(dǎo)過程”的理解，在于經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索的過程，感悟科學(xué)探究的方法，使學(xué)生在探索規(guī)律的實踐活動中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，掌握科學(xué)探究的方法，發(fā)展學(xué)生的探究能力、邏輯推理能力。所以教材的教學(xué)目標這樣定位是：1.使學(xué)生通過觀察、操作、推理等數(shù)學(xué)活動，探索并發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與其邊數(shù)之間的關(guān)系，并用式子表示探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。2.使學(xué)生在探索多邊形內(nèi)角和的過程中積累探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和邏輯推理能力。3.使學(xué)生在參與探索規(guī)律的過程中，體驗探索的樂趣，并對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，感受數(shù)學(xué)的神奇和魅力，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

五、教學(xué)預(yù)設(shè)

由于本教學(xué)內(nèi)容屬于規(guī)律探究的教學(xué)內(nèi)容，因此教學(xué)重點應(yīng)當放在幫助掌握科學(xué)探索方法上，探索規(guī)律的一般方法是：首先由最簡單到復(fù)雜研究幾個實例，其次對研究的幾個實例加以觀察、比較、分析尋找它們的相同點；再次提出某一猜想并驗證，最后總結(jié)規(guī)律。探索多邊形內(nèi)角和的規(guī)律分這幾步逐步展開：首先研究最簡單的三角形內(nèi)角和，逐步增加難度研究四邊形、五邊形、六邊形、七邊形……的內(nèi)角和，其次對前面研究的幾個多邊形的內(nèi)角和進行觀察、比較尋找共性的東西，提出數(shù)學(xué)猜想，再次從理性的角度驗證猜想，最后得出多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)—2）×1800。因此教學(xué)時要按照這樣幾個步驟組織教學(xué)活動。

（一）喚醒舊知、導(dǎo)入新課

1.出示一個三角形

問：這是什么圖形？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的什么知識？

設(shè)計意圖：通過學(xué)生交流喚醒學(xué)生有關(guān)三角形的知識，明確三角形內(nèi)角和1800，為研究多邊形內(nèi)角和奠定知識基礎(chǔ)。

2.出示一個長方形、正方形、梯形、五邊形、六邊形

（1）這些又什么什么圖形？

（2）這些圖形有內(nèi)角和嗎？請你指出這些圖形的內(nèi)角和是哪些角的度數(shù)和？

（3）仔細觀察一下，這些圖形內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和大小怎樣？為什么？

（4）在這些圖形中誰的內(nèi)角和最大？誰的最小？你是怎么想的？

設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生指一指每個圖形的內(nèi)角和是哪幾個角的度數(shù)總和，幫助學(xué)生理解內(nèi)角和的含義，再讓學(xué)生比較這些圖形的內(nèi)角和的大小，并思考為什么？幫助學(xué)生明白：邊數(shù)越多，內(nèi)角的個數(shù)也就越多，而且每個內(nèi)角度數(shù)也越大。從而感悟多邊形邊數(shù)越多其內(nèi)角和也就越大。

（5）這些圖形的所有內(nèi)角和是多少度呢？（不要求學(xué)生回答）

教師談話導(dǎo)入新課：今天我們就來研究多邊形的內(nèi)角和。

（二）引導(dǎo)探究、制造沖突

談話：我們在研究一個數(shù)學(xué)知識時，一般都是從簡單到復(fù)雜進行研究，那么我們應(yīng)當先研究哪個圖形的內(nèi)角和呢？

1.研究長方形的內(nèi)角和

（1）這個長方形有幾個內(nèi)角？

（2）這個長方形的內(nèi)角的和是多少？你是怎么想的？（900×4=3600）

（3）如果老師換一個比它大的長方形，你知道它的內(nèi)角和是多少？為什么？

（4）如果再換一個比它小的長方形呢？為什么？

（5）由此可以得出什么結(jié)論？

2.研究正方形的內(nèi)角和

（1）這個正方形的四個內(nèi)角和是多少？你又是怎么知道的？（900×4=3600）

（2）比它大的正方形內(nèi)角和是多少？比它小的正方形內(nèi)角和是多少？為什么都用900×4=3600計算？

3.研究直角梯形的內(nèi)角和

（1）這個一個什么圖形？

（2）這個圖形的四個內(nèi)角與長方形和正方形用什么不同？

（3）你打算怎么求這個圖形的四個內(nèi)角的和？

學(xué)生在印發(fā)的直角梯形中操作得出：900+900+1400+400=3600

（4）剛才我們是先測量出右邊兩個內(nèi)角的度數(shù)，再用加法算出這個直角梯形的內(nèi)角和，如果不測量右邊兩個角的度數(shù)，你能想辦法求出這個直角梯形的內(nèi)角和嗎？

先讓每個學(xué)生獨立思考，再同桌交流，最后全班匯報。

設(shè)計意圖：此時教師要求學(xué)生不測量未知角的度數(shù)求直角梯形的內(nèi)角和，“逼”學(xué)生轉(zhuǎn)換思路、另辟蹊徑尋找“分割推算”的方法。

（三）另辟蹊徑，提升思維

1.匯報交流，理解道理

（1）你是怎么想的？

（2）為什么把這個梯形分成兩個三角形？

（3）怎么分割的？分割之后怎么計算內(nèi)角和的？

（4）老師有一個問題：分割以后用1800×2=3600是兩個三角形的六個內(nèi)角的和，為什么也是這個梯形的四個內(nèi)角的和的呢？

設(shè)計意圖：借助上圖引導(dǎo)學(xué)生推理：兩個三角形的六個內(nèi)角的和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，因為∠1=∠A，∠2+∠6=∠B，∠5=∠C，∠3+∠4=∠D，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠A+∠B+∠C+∠D=直角梯形的內(nèi)角和，幫助學(xué)生理解分割推算多邊形內(nèi)角和的科學(xué)道理。

2.反例研究，掌握方法

（1）我們來看這種分法，把這個梯形分成了四個三角形，1800×4=7200，這樣分割計算可以嗎？

（2）為什么不可以？

設(shè)計意圖：借助上圖引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：分成四個三角形，這四個三角形的12個內(nèi)角和比原來的梯形的內(nèi)角和多了中間四個角（對角線交叉形成的四個角），也就是分成四三角形的內(nèi)角和比這個梯形的內(nèi)角和多了3600，所以這樣分割不可以。

（3）從這里可以看出，分三角形時有什么要求？

教師小結(jié)：用分割成三角形求梯形內(nèi)角和時，要保證分成的兩個三角形的內(nèi)角和正好等于梯形的內(nèi)角和，分割成的三角形的頂點要在原來梯形的四個內(nèi)角上，也就是分割線不要相交。

設(shè)計意圖：分割是學(xué)生研究多邊形內(nèi)角和的難點，自然是教學(xué)的重點，通過反例的研究，讓學(xué)生感悟分割線不能相交的道理，掌握分割成兩個三角形的方法，為研究其它多邊形的內(nèi)角和奠定思維基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ)。

（四）深入研究，積累素材

1.研究一個任意四邊形的內(nèi)角和

（1）剛才我們研究了長方形、正方形和直角梯形這樣的四邊形的內(nèi)角和是3600，那么其它的四邊形的內(nèi)角和是不是也是3600呢？請同學(xué)們自己舉一個四邊形研究研究。

學(xué)生自己獨立研究，再同桌交流，最后全班匯報

（2）誰來說說你是怎么研究的？

設(shè)計意圖：通過長方形、正方形和直角梯形內(nèi)角和的研究，還不能得出所有四邊形的內(nèi)角和是3600結(jié)論，所以此時放手讓學(xué)生自主研究，使學(xué)生感悟到：不管是什么樣的四邊形都可以分割成兩個三角形，這兩個三角形的內(nèi)角和正好是原四邊形的內(nèi)角和，所以四邊形的內(nèi)角和是1800×2=3600。

2.研究五邊形的內(nèi)角和

（1）剛才我們應(yīng)用分割成三角形的方法研究出了四邊形內(nèi)角和是3600，你們能用這樣的方法研究五邊形的內(nèi)角和嗎？

（2）學(xué)生拿出課前準備的五邊形先分割操作，再推算內(nèi)角和。

（3）你們是怎么分割成三角形的？下面的分法你贊成哪個？為什么？

（4）你有什么經(jīng)驗與同學(xué)們分享？

（5）分成了幾個三角形？怎么推算五邊形的內(nèi)角和？

設(shè)計意圖：多邊形的邊數(shù)增加了，分割也變復(fù)雜了，通過觀察、比較幫助學(xué)生感悟和掌握分割的方法：從其中一個頂點起向其它頂點連分割線，連完為止。

3.研究六邊形、七邊形、八邊形的內(nèi)角和（略）。

（五）理性思考，探尋規(guī)律

剛才我們研究了四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和的，還有哪些多邊形的內(nèi)角和需要研究？

接下來你打算怎么研究九邊形、十邊形……的內(nèi)角和？

分割成三角形的個數(shù)有沒有規(guī)律呢？先把剛才的研究的情況填在表格里，再仔細觀察這個表格，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

三角形的個數(shù)=（邊數(shù)-2）是規(guī)律嗎？怎么驗證？

現(xiàn)在用字母n表示多邊形的邊數(shù)，一共可以分成多少個三角形？n邊形的內(nèi)角和怎么算呢？

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生感悟：多邊形有無數(shù)種，如果用分割操作的方法研究永遠研究不完，必須轉(zhuǎn)換研究的思維，從而激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的欲望，并在觀察、思考、交流活動中感悟多邊形邊數(shù)與分割成的三角形個數(shù)之間的關(guān)系。并借助操作的分割圖的觀察與思考，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)：以其中一個點向其它點畫分割線，除了自己和左右兩點不好連接，其他的點都可以連接分割線，一共可以連接（邊數(shù)-3）條分割線，這時就是三角形和分割線一一間隔排列，兩端都是三角形，三角形的個數(shù)比分割線的條數(shù)多1，所以三角形的個數(shù)就是（邊數(shù)-3+1=邊數(shù)-2）個。并總結(jié)出：多邊形內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×1800。

（六）回顧反思，提升素養(yǎng)

今天我們研究了什么知識？

我們是怎么研究多邊形的內(nèi)角和的？

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生對探索多邊形內(nèi)角和計算公式的過程的回顧個反思，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和邏輯推理能力。