從數學模型談“解決問題”的教學嘗試與思考

摘要：數學模型是用數學眼光對客觀事物空間形式和數量關系的一個近似反映。小學階段的數學模型屬于啟蒙階段，應以滲透為主線，要基于學生經驗基礎、情境基礎，以“兒童化”的視角，在“模型思想”引領中，促進學生“模型”思想的建構。

關鍵詞：小學數學；模型思想；解決問題

數學模型是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，借助數學語言，用字母、數字及其它數學符號建立起來的，描述數學問題中數量關系和變化規律的數學結構，是對客觀事物空間形式和數量關系的一個近似反映。《義務教育數學課程標準》正式提出數學模型思想的重要意義，明確在小學數學教學中“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題，構建數學模型”。然而，在小學階段，數學模型屬于啟蒙階段，對于學生數學模型思想的提升，不能照搬建模思路，而應強化滲透、引領，促進學生“模型”思想的建構。

一、“去情境化”引領信息加工

在問題解決的教學實踐中，學生的學習需要經歷現實問題“數學化”的過程，需要將現實問題進行轉化，從人情入境的現實情境中將情境剝離，觀察、收集、提煉數學信息，抽象出數學問題。這種“去情境式的數學化”過程，是數學學習的“本”，是學生數學學習中模型建構的前提。因此，在教學中，教師應重視學生問題情境的“數學化”過程，引導學生從以往的數學信息的獲取轉向數學信息的加工，幫助學生完成數學問題的提煉。

在教學實踐中，教師要重視學生“說數學”的能力培養，將學生的審題過程轉變為學生“說數學”的過程，并且將這一過程“拉長”，引導學生以“說”的形式呈現其研讀的數學問題，在“說數學”的過程中觀察、提煉、加工數學信息。

例如，教學蘇教版小學數學四年級上冊“用連除解決兩步計算的實際問題”。

教師引導學生充分觀察主題圖，理順信息之間的聯系，引導學生進行有序化的梳理：

師：從圖中你知道了什么？

生1：我知道有2個書架。

生2：我知道每個書架有4層，一共放了244本圖書。

師：根據這些信息，你會提出什么問題？

生3：平均每個書架放多少本書？

生4：一共有多少層？

生5：平均每層放多少本書？

師：你能解決哪些問題？（學生解答略）怎樣求平均每個書架每層放書多少本？

教師通過引導學生在充分觀察主題圖的基礎上，有序地整理信息。在對話過程中，將主題圖中的已知條件、問題進行數學化呈現，在“說數學”過程中實現“實際問題”與“數學問題”的圖文過渡，學生明確了條件，明確了問題。

其次，可以借助“畫數學”的形式，用符號化抽象引導學生對現實問題情境中的信息進行提取，排除題目中的干擾信息，選擇與解決問題有關的信息，并通過圖形、表格、線段圖等多種形式進行整理，完成信息加工。

例如，教學蘇教版小學數學四年級下冊“解決問題的策略”。

教師可引導學生剝離情境中的非數學因素，采取畫圖的形式，用圖形符號再現對情境描述進行替換，促進學生直觀有序地對現實問題中的情境信息進行數學化加工。

二、立足模型。關注關系結構

解決實際問題的數學模型就是用運算的數字與符號表示數量關系，確定解決思路的過程。這與傳統基于題型的解決問題不同。以往教學中往往按照歸一問題、和差問題、相遇問題、工程問題等題型來安排，以諸如“求比一個數多幾的數，用加法計算”等結語來引導學生套用，甚至歸納出“看到比多用加法計算”，“看到剩下用減法計算”這類錯誤的結論，導致學生只從表層分析，沒有深層領悟。因此，在解決問題的教學中，教師不能立足學生的表層分析，而應基于建模，引導學生在學習過程中逐步理解、完善認知結構，從重表層向重關系轉變。

例如，教學蘇教版六年級上冊“用分數乘法和減法解決復雜實際問題”。

林陽小學去年有24個班級，今年的班級數比去年增加了1-6。今年一共有多少個班級？

教師引導學生對“今年的班級數比去年增加了1-6”進行分析：

師：你認為這道問題中，哪句話比較關鍵？

生1：今年的班級數比去年增加了1-6。

師：從這關鍵句中，你獲得哪些信息？

生2：是把去年的班級數看作單位“1”。

生3：是今年的班級數和去年的班級數進行比較。

生4：今年的班級數比去年的班級數要多。

生5：如果把去年的班級數看作“1”，那么今年的班級數是“1+1-6”。

生6：今年的班級增加的數量是去年的1-6，也就是24的1-6。

生7：如果把去年的班級數看作6份，那么今年的班級數就是（6+1）份。……

通過對關鍵句的解讀分析，學生逐步把今年、去年班級數的數量關系理清，能動地發揮學生的自主性，學生個性化地表達了對關鍵句分析過程，其解題思路也在深層分析中得以顯現。

三、基于“模仿”，向“策略”轉向

學生模型化思想的建構、形成需要一定量的數學模型練習支撐。但這種支撐并非簡單的練習模仿，而應引導學生在模型化練習過程中轉向策略的遷移。在模型化策略的引導下，組織學生練習，對解題過程進行反思，提升學生對模型化思想的潛移默化式認知。

例1.教學蘇教版六年級下冊91頁第11題。

教師引導學生對問題進行模型化處理，引導學生對這一類問題的數學本質深入把握，以模型化的思想為主導，呈現一系列不變中的變化，引導學生發散思維，形成策略，從而在靈活多變的思考中牢牢把握這一模型的建構。

例2.（2013年啟東市小考數學試題）如下圖，a、b是兩個棱長為8厘米的正方體盒子，a盒中放入一個直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱形鐵塊，b盒中放入四個直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱形鐵塊。現在把a盒注滿水，然后全部倒人b盒里，下面說法正確的是（

）。

A.a盒的水正好倒滿b盒

B.a盒的水倒入到b盒還有多余

C.a盒的水不夠倒滿b盒

例3.（2014年崇川區小考數學試題）三個邊長都是24厘米的正方形，從中分別剪出1個最大的圓，4個相等的盡量大的圓盒、9個相等的盡量大的圓做盒蓋（如下圖）。下面的說法正確的是（ ）

A.第①種使用率最高

B.第②種使用率最高

c.第③①種使用率最高

D.三種使用率相同

例4.（2015年河北省張北縣小考數學試題）

右圖中陰影部分的面積是（ ），周長是（ ）。

例5.（2015年浙江省溫州市小考數學試題）

如圖9，一個半徑為4cm的圓形在一個足夠大的正方形內任意移動。在該正方形內，圓形不可能接觸到的部分的面積是多少c㎡？（請列式解答）

學生從發散的情境中，發現其實是課本教材中的數學模型，從而迅速地找出不同的方法進行巧妙解題，提升了學生模型策略的應用能力。

四、批判反思，提升模型

在基于建模思想的教學中，解決問題的檢驗重在“答案分析，模型改進”，這與傳統應用題教學中重結果正誤有所不同。在模型思想中的檢驗不僅僅考察結果的正確與否，還需考察解題過程中數學思想，反思檢驗內容等。學生在問題解決后，還要思考：“得到的結果是否符合題意”，“計算過程是否合理”，“除了這種方法還有沒有更好的方法”，“我是如何思考的”等。通過對答案的正確性進行確認，對答案的合理性進行評判，對解題過程進行反思等，引導學生經歷數學建模的形成過程，形成經驗，在經驗的反思中形成兒童獨有的思考，從而進一步實現模型思想的飛躍。

總之，解決問題不是為“解決”而教，“模型思想”的教學不是為“模型”而“建模”。在解決問題的教學中，“解”是教學的出發點，“建模”是教學的主線，學生在“學解”的歷程中注重信息加工，注重關系結構的認知，注重檢驗中的兒童化思考，從而有效實現模型思想的建構。