詩詞名句的數(shù)學模型分析舉例

[摘 要] 從數(shù)學的角度欣賞了北宋學者歐陽修的名句“月上柳梢頭，人約黃昏后”，并根據(jù)天文學的基本知識，建立數(shù)學模型，確定了2016年下半年廣州地區(qū)“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。

[關(guān) 鍵 詞] 月亮高度角；天赤道；黃道；白道；黃經(jīng)

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）13-0044-01

“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景。本文將從數(shù)學的角度欣賞該名句，建立數(shù)學模型，用數(shù)學軟件編程，分析2016年下半年廣州地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。

一、天文學基本知識

由于本文涉及太陽、月亮的視運動規(guī)律，需要對基本的天文學知識有一個初步的了解，并理解其相應(yīng)的含義。

（一）天赤道

將地球的赤道面無限延伸后和天球相交的大圓稱為天赤道（或稱為天球赤道、赤道）。

（二）黃道

將地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面與天球相交的大圓稱為黃道。

（三）白道

月球繞地球公園的軌道稱為白道，白道對黃道的傾角稱為黃白交角。

（四）黃緯、黃經(jīng)、赤緯、赤經(jīng)之間的關(guān)系

黃緯是指天體在黃道坐標系中的緯度；黃經(jīng)是指天體在黃道坐標系中的經(jīng)度；赤緯是指天體在赤道坐標系的緯度；赤經(jīng)是指天體在赤道坐標系中的經(jīng)度。它們之間的換算公式如下：

sinδ=sinε·cosβ·sinλ+cosε·sinβ（1）

cosδ·cosα=cosβ·cosλ（2）

cosδ·sinα=-sinε·sinβ+cosε·cosβ·sinλ（3）

其中：λ為天體的黃經(jīng)；β為天體的黃緯；α為天體的赤經(jīng)；δ為天體的赤緯；ε為黃赤交角。

二、建模與求解

按照人們通常的理解，黃昏是指太陽落山后，且天還沒有完全黑之前的一段時間。因為，我們定義黃昏為日落后30分鐘。“柳梢頭”的高度需要根據(jù)柳樹自身的高度、人與柳樹之間的距離來確定。因此，“柳梢頭”定義為一個角度范圍會更加合理一些。本文考慮“柳梢頭”的月亮高度角在10度～40度之間。

由于黃昏與太陽高度角有關(guān)，日落即太陽高度角為零。“月上柳梢頭”與月亮高度角有關(guān)，為簡化計算，我們假定黃白交角為0，并且認為太陽上中天的時刻為正午12時。此時，太陽和月亮可以看成是在黃道上運行，所以太陽黃緯βs、月亮黃緯βm均為0度。則式（1）可以化簡成：

太陽赤緯公式：sinδs=sinε·sinλs（4），其中：δs為太陽赤緯，λs為太陽黃經(jīng)。

月亮赤緯公式：sinδm=sinε·sinλm（5），其中：δm為月亮赤緯，λm為月亮黃經(jīng)。

記Dv=λm-λs（6）為日月黃經(jīng)差，假定農(nóng)歷初一0時0分的日月黃經(jīng)差為0度，那么通過月相我們可以得到日月黃經(jīng)差的計算公式為：

Dv=360Dm/29.5306（7），其中：Dm為農(nóng)歷的日期。

由于λs為太陽黃經(jīng)，所以在春分時刻λs=0，因此，它的值可由地球在黃道上的位置得到。因此可得到太陽黃經(jīng)的計算公式：λs=360（Ds-80）/365.2422（8），其中：Ds為積日。因此，只要知道陽歷和農(nóng)歷的日期，由式（6）和式（7），就可以計算出月亮的黃經(jīng)λm，再由式（5）就可計算出月亮赤緯δm。

由空間幾何知識可得，天體高度角公式為：sinh=sinΦ·sinδ+cosΦ·cosδ·cosω（9），其中，h為天體的高度角，Φ為觀測者的地理緯度，δ為天體的赤緯，ω表示時角，以上中天時刻定義為0度。天體的出沒時刻就是天體的高度角為0的時刻，即h=0。由式（9）得到：

cosω=-tanΦ·tanδ（10）。所以天體的出沒時刻為：S=t±ω（11），其中：t為天體的上中天時刻，Sr=t-ω為天體出時刻，Ss=t+ω為天體沒時刻。

由式（10）和式（11）就可計算出日落時刻，再加上30分鐘就是黃昏時刻，由式（9），再給出月亮的高度角，即給出月上柳梢頭的高度角，就可以計算出月上柳梢頭的具體時刻了。

三、模型檢驗

在完成具體的計算之前，需要對模型的誤差作檢驗，檢驗方法是與已公布的天文學資料[1]作對比。經(jīng)過檢驗，發(fā)現(xiàn)月亮視黃經(jīng)與實際理論值（所有理論值都是由文獻[1]得到的）大約有6度左右的誤差，而較為重要的太陽視赤緯和月亮視赤緯的誤差較小；日出、日落時刻的誤差也并不大，大約在15分鐘以內(nèi)。而月出、月落時刻的誤差稍大，約有20分鐘左右。因此前面給出的計算公式是可以使用的。

四、“月上柳梢頭”時刻的計算

廣州地區(qū)為北緯23.13度，東經(jīng)113.27度，利用天體高度角公式（9），計算出黃昏和柳梢頭的時刻如下表所示：

參考文獻：

[1]中國科學院紫金山天文臺.2010中國天文年歷[M].北京：科學出版社，2009.

[2]姜啟源.數(shù)學模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.