一次函數圖象平移的探究

我們知道，一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移∣b∣個單位長度得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向上平移）。或者說，直線y=kx平移∣b∣個單位長度得到直線y=kx+b （當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）。例如，將直線y=-x向上平移3個單位長度就得到直線y=-x+3，將直線y=-x向下平移1個單位長度就可以得到直線y=-x-1.需要注意的是，函數圖象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移.這里所說的平移，是指函數圖象的上下平移，而非左右平移。

以上平移比較簡單，因為它是對最簡單的一次函數即正比例函數進行平移.對于一個一般形式的一次函數圖象又該怎樣進行平移呢？讓我們一起進行探究：

問題1：已知直線 ：y=2x-3，將直線 向上平移2個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

分析：根據“兩直線平行，對應函數的一次項系數相等”，可設直線 的解析式為y=2x+ b，由于直線 的解析式中只有一個未知數，因此再需一個條件即可。怎樣得到這個條件呢？注意到直線 與兩條坐標軸分別交于兩點，而直線 與y軸的交點易求，這樣就得到一個條件，于是直線 的解析式可求。

解：設直線 的解析式為y=2x+b，直線 交y軸于點（0，-3），向上平移2個單位長度后變為（0，-1）。把（0，-1）坐標代入y=2x+b，得b=-1，從而直線 的解析式為y=2x-1。

問題2：已知直線 ：y=2x-3，將直線 向下平移2個單位長度得到直線 ，求直線的解析式。答案：直線 的解析式為y=2x-5。（解答過程請同學們自己完成）1。

對比直線 和直線直線 的解析式可以發現：將直線 ：y=2x-3向上平移2個單位長度得到直線 的解析式為：y=2x-3+2；將直線 ：y=2x-3向下平移2個單位長度得到直線 的解析式為：y=2x-3-2.（此時你有什么新發現？）

問題3 ：已知直線 ：y=kx+b，將直線 向上平移m個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

簡解：設直線 的解析式為y=kx+n，直線 交y軸于點（0，b），向上平移m個單位長度后變為（0，b+m），把（0，b+m）坐標代入 的解析式可得，n=b+m.從而直線 的解析式為y=kx+b+m.

問題4：已知直線 ：y=kx+b，將直線 向下平移m個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

答案：直線 的解析式為y=kx+b-m.（解答過程請同學們自己完成）。由此我們得到：直線y=kx+b向上平移m（m為正）個單位長度得到直線y=kx+b+m，直線y=kx+b向下平移m（m為正）個單位長度得到直線y=kx+b-m，這是直線直線y=kx+b上下（或沿y軸）平移的規律。

這個規律可以簡記為：

以上我們探究了直線y=kx+b的上下 （或沿y軸）的平移，如果直線y=kx+b不是上下（或沿y軸）平移，而是左右（或沿x軸）平移，又該怎樣進行平移呢？Let，s go，讓我們一起繼續探究！

問題5：已知直線 ：y=3x-12，將直線 向左平移5個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

簡解：根據“兩直線平行，對應函數的一次項系數相等”，可設直線 的解析式為y=3x+b，直線 交x軸于點（4，0），向左平移5個單位長度后變為（-1，0）.把（-1，0）坐標代入y=3x+b，得b=3，從而直線 的解析式為y=3x+3。

問題6：已知直線 ：y=3x-12，將直線 向右平移5個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式.

答案：直線 的解析式為y=3x-27。（解答過程請同學們自己完成）。

對比直線 和直線直線 的解析式可以發現：將直線 ：y=3x-12向左平移5個單位長度得到直線 的解析式為：y=3（x+5）-12；將直線 ：y=3x-12向右平移5個單位長度得到直線 的解析式為：y=3（x-5）-12.（此時你有什么新發現？）。

問題7：已知直線 ：y=kx+b，將直線 向左平移m個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

簡解：設直線 的解析式為y=kx+n，直線 交x軸于點（ ，0），向左平移m個單位長度后變為（0， -m），把（0， -m）坐標代入 的解析式可得，n=km+b.從而直線 的解析式為y=kx+km+b，即y=k（x+m）+b。

問題8：已知直線 ：y=kx+b，將直線 向右平移m個單位長度得到直線 ，求直線 的解析式。

答案：直線 的解析式為y=k（x-m）+b.（解答過程請同學們自己完成）

由此我們得到：直線y=kx+b向左平移m（m為正）個單位長度得到直線y=k（x+m）+b，直線y=kx+b向右平移m（m為正）個單位長度得到直線y=k（x-m）+b，這是直線y=kx+b左右（或沿x軸）平移的規律.

這個規律可以簡記為：

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下面就請同學們運用一次函數圖象平移的規律解決下面問題：

①直線y=-x-3向上平移2個單位長度后得到的直線解析式是 ；直線y= -2向下平移3個單位長度后得到的直線解析式是 。②直線y=-5x-12向左平移2個單位長度后得到的直線解析式是 ；直線y= 向右平移3個單位長度后得到的直線解析式是 。③直線y=8x+13既可以看作直線y=8x-3向 平移（填“上”或“下”） 單位長度得到；也可以看作直線y=8x-3向___平移（填“左”或“右”）___單位長度得到。④要由直線y=2x+12得到直線y=2x-6，可以通過平移得到：先將直線y=2x+12向___平移（填“上”或“下”） 單位長度得到直線y=2x，再將直線y=2x向 平移（填“上”或“下”）得到直線y=2x-6；當然也可以這樣平移：先將直線y=2x+12向 平移（填“左”或“右”） 單位長度得到直線y=2x，再將直線y=2x向 平移（填“左”或“右”）得到直線y=2x-6；以上這兩種方法是分步平移.也可以一次直接平移得到，即將直線y=2x+12向 平移（填“上”或“下”）直接得到直線y=2x-6，或者將直線y=2x+12向 平移（填“左”或“右”）直接得到直線y=2x-6.