拋物線中一類動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)的問題

筆者近日拜讀了王云峰老師的《淺談動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想將解析幾何中繁難的動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題簡(jiǎn)化為猜想證明，從而快速解決問題。筆者經(jīng)過(guò)反復(fù)研讀，認(rèn)為這種解題思想大有觸類旁通的作用，再聯(lián)想以往教學(xué)中出現(xiàn)的幾個(gè)典型問題，來(lái)淺談一下“拋物線中一類過(guò)定點(diǎn)問題”。

先來(lái)看一個(gè)經(jīng)典的問題：

問題1：O是直角筆者近日拜讀了王云峰老師的《淺談動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想將解析幾何中繁難的動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題簡(jiǎn)化為猜想證明，從而快速解決問題。筆者經(jīng)過(guò)反復(fù)研讀，認(rèn)為這種解題思想大有觸類旁通的作用，再聯(lián)想以往教學(xué)中出現(xiàn)的幾個(gè)典型問題，來(lái)淺談一下“拋物線中一類過(guò)定點(diǎn)問題”。

先來(lái)看一個(gè)經(jīng)典的問題：

問題1：O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：動(dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)。

我們先找到定點(diǎn)的位置，然后再驗(yàn)證。設(shè)直線OA、OB的斜率分別為k1、k2。

①當(dāng)k1→+∞時(shí)，則k2→0（k1· k2=-1），此時(shí)點(diǎn)A趨于原點(diǎn)O，點(diǎn)B趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，直線AB的極限位置就是x軸（也可由對(duì)稱性得出），這樣我們有理由認(rèn)為定點(diǎn)就在x軸上；② 取直線OA的斜率k1=1，則直線OB的斜率k2=-1，此時(shí)直線AB的方程為x=2p。這樣可以猜測(cè)直線AB所過(guò)定點(diǎn)為M（2p，0）。下面再來(lái)驗(yàn)證。

將直線OA的方程y=k1x與拋物線y2=2px聯(lián)立易得，

，

同理

∴與共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)為M（2p，0）。

探究：?jiǎn)栴}1中的條件OA⊥OB是從斜率角度考慮（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它條件不變，直線AB是否也過(guò)定點(diǎn)呢？我們可取k1=k2=1，此時(shí)直線AB就是在點(diǎn)（2p，2p）處的切線，對(duì)拋物線方程y2=2px求導(dǎo)得：，所以切線斜率為，切線方程為：，令y=0得x=-2p，

此時(shí)猜測(cè)直線AB過(guò)定點(diǎn)M（-2p，0），（驗(yàn)證同上略）。

條件直線OA和OB的斜率之積是特定的常數(shù)，那么我們大膽的猜想“當(dāng)OA和OB的斜率之積是任意的常數(shù)時(shí)，直線AB也過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)”。

問題2.：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB是否過(guò)定點(diǎn)。

可取k1=1、k2=λ，由問題1可知A（2p，2p）、，

此時(shí)，

直線AB的方程為

令y=0得：，猜測(cè)直線AB過(guò)定點(diǎn)。驗(yàn)證如下：

，

同理

∴與共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)為。

上面問題是把拋物線上的定點(diǎn)放在特殊位置——坐標(biāo)原點(diǎn)，那么我們猜測(cè)拋物線上任意一定點(diǎn)是否也有此類特性呢？這樣提出以下問題。

問題3：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，P是拋物線上的定點(diǎn)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB是否過(guò)定點(diǎn)。

我們?nèi)杂蒙厦娴乃伎挤椒ㄟM(jìn)行探究，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）

當(dāng)k1→+∞時(shí)，則k2→0（k1·k2=λ），

此時(shí)點(diǎn)A趨于點(diǎn)P′（x0，-y0），點(diǎn)B趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，

此時(shí)AB的極限位置就是y=-y0軸，這樣我們有理由認(rèn)

為直線AB如過(guò)定點(diǎn)，那么就該在直線y=-y0上。然后再取一組特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以確定定點(diǎn)位置，但也可以驗(yàn)證動(dòng)直線與直線y=-y0的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是否是一個(gè)定值。將直線PA的方程y-y0=k1（x-x0）與拋物線y2=2px聯(lián)立得：。

由韋達(dá)定理得：

，

同理。

，

∴直線AB的方程為，令y=-y0得：

故直線AB是否過(guò)定點(diǎn)

經(jīng)過(guò)對(duì)問題3的探究得到結(jié)論“A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，P（x0，y0）是拋物線上的定點(diǎn)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)”。

上述在探究問題的過(guò)程中，我嘗試運(yùn)用的《淺談動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題》一文的思想方法，沿著“特殊到一般”的思考路徑，尋求問題的關(guān)鍵點(diǎn)，最終使問題得到解決。坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：動(dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)。

我們先找到定點(diǎn)的位置，然后再驗(yàn)證。設(shè)直線OA、OB的斜率分別為k1、k2。

①當(dāng)k1→+∞時(shí)，則k2→0（k1· k2=-1），此時(shí)點(diǎn)A趨于原點(diǎn)O，點(diǎn)B趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，直線AB的極限位置就是x軸（也可由對(duì)稱性得出），這樣我們有理由認(rèn)為定點(diǎn)就在x軸上；② 取直線OA的斜率k1=1，則直線OB的斜率k2=-1，此時(shí)直線AB的方程為x=2p。這樣可以猜測(cè)直線AB所過(guò)定點(diǎn)為M（2p，0）。下面再來(lái)驗(yàn)證。

將直線OA的方程y=k1x與拋物線y2=2px聯(lián)立易得，

，

同理

∴與共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)為M（2p，0）。

探究：?jiǎn)栴}1中的條件OA⊥OB是從斜率角度考慮（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它條件不變，直線AB是否也過(guò)定點(diǎn)呢？我們可取k1=k2=1，此時(shí)直線AB就是在點(diǎn)（2p，2p）處的切線，對(duì)拋物線方程y2=2px求導(dǎo)得：，所以切線斜率為，切線方程為：，令y=0得x=-2p，

此時(shí)猜測(cè)直線AB過(guò)定點(diǎn)M（-2p，0），（驗(yàn)證同上略）。

條件直線OA和OB的斜率之積是特定的常數(shù)，那么我們大膽的猜想“當(dāng)OA和OB的斜率之積是任意的常數(shù)時(shí)，直線AB也過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)”。

問題2.：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB是否過(guò)定點(diǎn)。

可取k1=1、k2=λ，由問題1可知A（2p，2p）、，

此時(shí)，

直線AB的方程為

令y=0得：，猜測(cè)直線AB過(guò)定點(diǎn)。驗(yàn)證如下：

，

同理

∴與共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)為。

上面問題是把拋物線上的定點(diǎn)放在特殊位置——坐標(biāo)原點(diǎn)，那么我們猜測(cè)拋物線上任意一定點(diǎn)是否也有此類特性呢？這樣提出以下問題。

問題3：A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，P是拋物線上的定點(diǎn)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB是否過(guò)定點(diǎn)。

我們?nèi)杂蒙厦娴乃伎挤椒ㄟM(jìn)行探究，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）

當(dāng)k1→+∞時(shí)，則k2→0（k1·k2=λ），

此時(shí)點(diǎn)A趨于點(diǎn)P′（x0，-y0），點(diǎn)B趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，

此時(shí)AB的極限位置就是y=-y0軸，這樣我們有理由認(rèn)

為直線AB如過(guò)定點(diǎn)，那么就該在直線y=-y0上。然后再取一組特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以確定定點(diǎn)位置，但也可以驗(yàn)證動(dòng)直線與直線y=-y0的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是否是一個(gè)定值。將直線PA的方程y-y0=k1（x-x0）與拋物線y2=2px聯(lián)立得：。

由韋達(dá)定理得：

，

同理。

，

∴直線AB的方程為，令y=-y0得：

故直線AB是否過(guò)定點(diǎn)

經(jīng)過(guò)對(duì)問題3的探究得到結(jié)論“A、B是拋物線y2=2px上不同兩點(diǎn)，P（x0，y0）是拋物線上的定點(diǎn)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，當(dāng)k1·k2=λ（不為零的常數(shù)）時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)”。

上述在探究問題的過(guò)程中，我嘗試運(yùn)用的《淺談動(dòng)曲線過(guò)定點(diǎn)問題》一文的思想方法，沿著“特殊到一般”的思考路徑，尋求問題的關(guān)鍵點(diǎn)，最終使問題得到解決。