如何巧解高考數學解析幾何題

【摘 要】解析幾何是高考數算學的重點內容之一，其計甚為繁雜，但當解析幾何題出現在高考的選擇題和填空題當中時，一般都會有一些巧妙的方法能對其進行解答。本文討論了活用圓的性質、活用平行線的性質以及運用設而不求這三種求解高考數學解析幾何題的巧妙方法套路，舉出實例對其討論予以了說明。

【關鍵詞】高考數學 解析幾何題 巧解

不少高中學生會被高考數學中的解析幾何題所難倒，而且由于平常就被解析幾何題的運算量給嚇住，考試中看到解析幾何都不敢下筆，其實解析幾何題有很多巧妙的方法可以對其進行巧解。筆者根據實際教學中的經驗，舉出了幾種可以巧解高考數學解析幾何題的手段，希望能給廣大相關教育工作者一些啟發。

一、活用圓的性質巧解有關圓的高考數學解析幾何題

圓具有很多特殊的性質，而與圓有關的題目常在高考中以選擇題或填空題的形式出現，在面對這些與圓有關的題目時，不能盲目地展開大量的運算，必須先觀察已知條件的特點，合理運用圓的性質進行解答，否則不僅耽擱時間，而且可能根本算不出答案。

典例1：已知AB是圓 上的一條弦，其中點坐標為Q（3，1），AB與z軸交于P點，求 的值。

解析：這道例題若要通過兩點間的距離公式先行計算出 和 的長度再來完成對 值的計算，運算量非常的大，而且極有可能根本求不出結果，只有利用圓的性質才能完成對本題的快速解答。

和 是圓的一條弦被P點分成的兩半，構造出過P點的另一條弦，就能運用相交弦定理對 的值進行求解。

根據已知條件，可以確定圓心的位置為C（2，0），弦AB的中點為Q（3，1），運用垂徑定理的逆定理可知CQ與AB相互垂直，CQ的斜率為 ，所以AB的斜率為 ，可以確定直線AB的方程為 ，因此可以確定AB與x軸的交點P的坐標為P（4，0），從圓的方程 可以輕松算出圓與x軸的兩個交點坐標為M（-1，0）和N（5，0），以此可以輕松得出 ， ，由相交弦定理可以得知 ，題目中所求 值就可以確定為5。

這樣的題目，如果盲目計算耽擱的考試時間一定非常之多，即使僥幸算出了答案，也得不償失，合理運算圓的性質求解這類題目才是關鍵。

二、活用平行線的性質巧解有關圓錐曲線的高考數學解析幾何題

在圓錐曲線的相關題目中，挖掘利用題目中圖形上的平行關系，活用平行線的性質來解決問題，通常情況下都使很多繁雜的代數運算得到有效避免，使題目的運算量大大減少，從而實現對題目的巧解。

典例2：如圖1所示，過橢圓 左焦點F作與x軸夾角為60o的直線與橢圓的交點為A點和B點，且存在關系 ，求橢圓的離心率。

解析：該例題題目中給出了橢圓的焦點弦，故應該采用圓錐曲線的統一定義進行解題，設橢圓的左準線為l，過A點作 ，過B點作 ，則有AM平行于BN，就可以利用平行線的性質進行解題。

A點作 ，過B點作 ，由橢圓的定義可得出 ，因為有 的關系，所以 ，因為AM與BN平行，所以△PAM相似于△PBN，就存在 ， 。因為 ，所以 。在Rt△PBN中，cos60o= = ，所以橢圓的離心率的值為e= = 。

典例2這樣的題目，如果強行進行代數運算，其過程必然極為繁瑣，而這樣難度的題目不可能出現在高考的計算題里面，一般都會以選擇題和填空題的形式出現，考試中允許學生計算這樣題目的時間一般只有五分鐘，最大也不能超過十分鐘，如果進行代數計算來解這樣的題目，即使算出答案，也肯定將影響考試的整體成績。

三、運用設而不求的方法巧解有關直線與曲線交點問題

對于一些諸如以已知一條直線與一條曲線交于兩點為背景的考數學解析幾何題，設出兩點坐標，但不求出具體的值，進行代數運算，得出重要結論后去解決題中的問題是非常實用的方法，這種方法稱為“設而不求”。

典例3：已知拋物線 的焦點為F，一條直線經過點F且與該拋物線交于A、B兩點，點C是該拋物線準線上上的一點，BC與z軸相互平行，求證命題：原點O在直線AC上。

解析：這樣的解析幾何題，明顯幾何的元素比代數的元素更多，設而不求完成題中所需證明的絕佳手段。

證明：設點A、B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則C點的坐標就為C（ ，y2），且y12=2px1，直線OA的斜率kOA= = ，直線OC的斜率kOC= ，由于拋物線的焦點F在直線AB上，因而y1y2=-p2，所以kOA=kOC，即A、C、O三點存在共線的關系，所以直線AC經過原點O，命題得證。

證明典例3中這樣的命題，設出各個點的坐標，但不把其求出來，可以使運算得到很大程度的簡化，經過代數變換得到y1y2=-p2從而知道A、C、O三點共線是非常關鍵的。但典例3這樣難度的題目仍然是不會出現在高考的計算題當中，會變向的以選擇題和填空題的形式來進行命題，學生必須將這種方法熟練掌握，才能在考試中不為解析幾何的選擇題或填空題而耗費大多時間。

結束語

凡是高考數學解析幾何出現在了非計算題當中，一般都有比較巧妙的方法可以進行解答。本文對其進行了粗淺的討論，希望能拋磚引玉，待廣大高中數學教育工作者深入研究后建立更為完善的理論。

參考文獻

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