3.1.3兩個向量的數量積（學案）

學習目標：1.理解空間向量夾角的概念及表示方法;2.理解兩個向量數量積的概念;3.運用公式解決立體幾何中的有關問題。

重點：空間向量數量積運算

難點：如何將立體幾何問題等價轉化為向量問題。

一、【自主學習】

1.空間兩個向量的夾角

兩個向量的夾角的定義____________________________________________.

a與b的夾角記作______，范圍__________.

兩個向量的夾角唯一確定且lt;a，bgt;______lt;b，agt;.

當______________時，a與b同向;當______________時，a與b反向;

當______________時，a與b互相垂直，記作________.

2.異面直線所成的角

我們把________________的兩條直線叫做異面直線.把異面直線______到一個平面內，這時兩條直線的夾角（____________）叫做兩條異面直線所成的角.如果所成的角是_______，則稱兩條異面直線互相垂直.

3.兩個向量的數量積

（1）已知空間兩個向量a，b，總可以把它們平移到一個平面內，把平面向量的數量積________________________叫做兩個空間向量a與b的數量積（或內積）.

注：兩個向量的數量積是一個_________.規定：0·a=______.

（2）空間向量數量積具有哪些性質？

①__________; ②__________;

③__________; ④___________.

（3）空間向量數量積滿足哪些運算律？

①__________;②__________;③_____________;

注意：數量積不滿足結合律（a· b）·c≠a·（b·c）

二、【合作學習】

合作學習一：異面直線的夾角

1.下圖中異面直線AB與C′A′的夾角多大？同AB與C′A′的夾角有什么關系？依據是什么？AB與A′C′的夾角呢？

合作學習二：兩個向量的數量積

2.已知平面α⊥平面β，點A，B在α內，并且它們在l上的正射影分別為A′，B′;點C，D在β內，并且它們在l上的正射影分別為C′，D′，求證：AB·CD與A′B′ C′D′

知識遷移：已知四面體ABCD的每條棱長都等于a，點E，F，G分別是棱AB，AD，DC的中點，求下列向量的內積：

（1）FG·BA

（2）GE·GF

三、【典例解析】

應用（一）求線段長度和兩點距離

例1：已知在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，求對角線AC′的長度。

應用（二）證垂直

例2.如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于O，連結AO，求證：AO⊥CD′

應用（三）求角

例3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角.

四、【課堂達標練習】

1.A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_____。

2.已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結論中，不一定成立的是（ ）

A.|AB+AC+AD|=|AB+AC-AD|

B.|AB+AC+AD|2=|AB|2+|AC|2-|AD|2

C.（AB+AC+AD）·BC=0

D.AB·CD=AC·BD=AD·BC

3.如上圖，在空間四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，BD=，CD=3，∠ABD=30°，∠ABC=60°，求AB與CD的夾角的余弦值.

五、【課后作業】

1.如圖，已知線段AB在平面α內，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，線段DD′⊥α， ∠DBD′=30°，如果AB=a，AC=BD=b 求C、D之間的距離。

2.如圖，一空間四邊形ABCD的對邊AB與CD，AD與BC都互相垂直，用向量證明：AC與BD也互相垂直.

3.已知P為棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內（含正方體表面）任意一點，則AP·AC的最大值為____。