認知理論在高中數學教學中的應用

“問題是數學的心臟”“數學是人類思維的體操”。高中數學教學的核心任務之一是讓學生會解題，而解題教學的核心又是思維能力的培養。如何將認知理論與學科特點相合，將其深度融合于課堂教學中，從而有效地進行思維訓練，提高解題能力？筆者根據多年教學實踐發現，“碰壁點撥”是訓練學生思維、提高解題能力的一種有效途徑。“碰壁點撥”的教學思想主要是以問題為教學平臺，以學生為中心，以學生為主體，以教師為主導，以訓練為主線，提倡在教學過程中努力構建和諧的師生、生生交流平臺，讓學生先嘗試，其目的是為了在教學過程中創造條件及時暴露學生的思維過程，從而使點撥和訓練更有效。那么，在高中數學教學中，教師應該如何使用“碰壁點撥”來及時暴露學生思維過程，發展學生思維能力，提高學生解題能力呢？

一題多解，培養發散思維

例1.求拋物線y2=4x上一點P到直線y=x+2距離的最小值，并求出此時點的坐標。

解法一：（函數法）設所求P點的橫坐標為a，縱橫坐標為b，先由點直線的距離公式建立所求距離d與a、b之間的函數關系式后，把點P的坐標代入拋物線方程后，再代入目標函數中消去可得d與a的二次函數，求此二次函數的最小值即為所求。解法二：（判別式法）可設與已知直線平行且與拋物線相切的直線的方程為：y=x+m，將此直線方程與拋物線方程聯立得關于x的一元二次方程，因為直線與拋物線相切，所以令其判別式法為零，得關于m的方程，解之得m的值，將m代回上述方程可得P的坐標，再由點到直線的距離公式求出兩平行線間的距離即為所求。解法三：（導數法）拋物線方程中令y大于零時，則可把y看成x的函數，因為平行于已知直線且與拋物線相切的直線的斜率為1，而由導數的幾何意義知切點處的際數值等于切線的斜率，所以求其導數后令導數等于1可得與已知直線平行且與拋物線相切的直線與拋物線的切點的橫坐標，以下的解法同上。

以上三種解法，第一種解法學生容易想到，思維量要小一些，但利用點到直線的距離公式和直線、拋物線的方程建立目標函數后涉及二次函數的絕對值的最小值，學生容易算錯；第二種解法是解幾的通法，多數學生都會做；第三種解法運算量最小，但不易想到，是體現多想少算的典例。在課堂教學時，教師可先讓學生用多種不同的解法解題，讓學生先嘗試，在嘗試過程中，發現多數學生只能用一種方法解，學生的思維受阻，但能及時暴露出思維過程，教師及時點撥，可以收到事半功倍的效果。在解題時，多數學生遇到的困難是思路打不開，找不到切入點。因此，堅持一題多解訓練，“碰壁點撥”可以發展學生的發散思維，拓寬解題思路。

構造函數，培養抽象思維

例2.設a、b是不相等的兩個正數，且blna-alnb=a-b，試判斷a+b>2是否正確？

解：由已知可構造函數，再求其導數可知，當x大于零而小于1時，其導數小于零，函數在此區間上為單調遞減 當x大于1時，其導數大于零，此時函數為單調遞增（圖略）。以因為f（a）=f（b），不妨設a大于零小于1，b大于1，且1-a

此題表面看是考察不等式和等式，其實質是考察函數圖象和性質。那么，又如何由等式、不等式想到構造函數呢？關鍵是要引導學生從具體的數學現象中抽象出數學的本質東西。一般的，學生將已知條件進行整理、a和b各歸一邊后，就不知所措了，思維上碰壁了。此時，教師進行點撥，引導抽象出函數后此題就迎刃而解了。抽象思維能力的培養是解題教學，也是數學教學的核心之一。高中數學中構造函數是培養學生抽象思維的一種行之有效的方法，也是重要的解題思想和方法。教學中，教師要創造條件讓學生適時“碰壁”，大膽暴露其思維過程，及時“點撥”，使學生抽象思維能力得到提升。

正難則反，培養逆向思維

例3.關于x的方程：x2+2ax+a-1=0至少有一負根，求實數a的取值范圍？

在解此題時，多數學生的問題出在“會而不對”“會而不全”。正面考慮，則要分以下三種情況討論求解：有兩個負根；有一個負根和一個正根；有一個負根和一個零根。這是多數學生的思維方式，顯然比較繁瑣，若按此思路做下去，事倍功半。此時，教師若能適時引導學生從反面入手——“先求此方程沒有負根時實數a的取值范圍A，再求A的補集即為所求”，應比正面入手要容易一些。對一些綜合性較強的題目，當學生從正面思考“碰壁”時，教師不妨有意識地引導他們從反面思考，反其道而行之，培養學生的逆向思維能力。

解題教學是數學教學的核心和重點，而解題又分兩個層面——思維層面、操作層面。教師應培養學生形成先想后做、多想少算、想清楚了再算的習慣，養成良好的思維習慣，即先把思維層面上的事做好，操作就好辦了。學生的思維水平決定其解題能力，在高中數學教學中，學生的思維能力的培養和有效的訓練顯得尤為重要，而訓練思維能力應適當創造條件讓學生“碰壁”，及時暴露學生思維過程，提高訓練的有效性和點撥的針對性。這樣，既能充分調動學生的學習主動和積極性，體現了以學生為中心，又有利于積極構建高效課堂，努力提高課堂效益。