二次方程 巧妙降次
2016-04-29 00:00:00史軍
雜文月刊·教育世界 2016年12期
【內容摘要】數學上解高次方程的基本思想是降次，那么我們該如何降次呢？一、直接開方法；二、配方法；三、求根公式法；四、因式分解法
一元二次方程解法的選擇順序為直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法。如何選擇合適的方法解一元二次方程呢？其實，形如ax2+bx+c=0（a≠0）方程，我們只需先計算它的b2-4ac，若b2-4ac能開平方開得盡，通常適合因式分解法，開平方開不盡適合求根式公式或配方法。
【關鍵詞】降次 b2-4ac 能否開得盡方 公式變形 整體思想
在我們學習數學的過程中，轉化是一種重要的方法。解方程組時，用消元法化多元為一元，轉化為我們學過的一元一次方程。那么學習一元二次方程時，我們的基本思想是降次，化二次為一次，那么我們該如何降次呢？
一、直接開平方法
能直接開平方的一元二次方程常見的形式有（1）ax2=p（p≥0），（2）（ax+b）2=p（p≥0），（3）（ax+b）2=（cx+d）2，凡符合這幾種形式的，我們可以直接開平方，從而達到降次的目的。
例1 解下列方程：
（1）4x2=25 （2）（3x+2）2=16 （3）（x+3）2=4（x-2）2
解：（1）4x2=25 2x=±5 x=±
5
2
x1=
5
2
x2=-
5
2
（2）（3x+2）2=16 3x+2=4 3x=±4-2 3x=2或3x=-6 x1=
2
3
x2=-2
（3）（x+3）2=4（x-2）2 x+3=±2（x-2） x+3=2（x-2）或x+3=-2（x-2） x+3=2x-4或x+3=-2x+4 x1=7 x2=
1
3
二、配方法
對于任意一個有實數根的一元二次方程，我們都可以通過配方法，轉化為能直接開平方的形式，從而達到降次的目的。
例2 用配方法解方程：2x2+5x-3=0
二次項系數化簡為“1”得： x2+
5
2
x-
3
2
=0；移項得：x2+
5
2
x=
3
2
；配方得：x2+
5
2
x+
25
16
=
3
2
+
25
16
；分解得：（x+
5
4
）2=
49
16
；開方得：x+
5
4
=±
7
4
； x1=
1
2
x2=-3
因此，我們可以把配方法解一元二次方程的步驟簡單概括為：一化，二移，三配，四分，五開，這樣用配方法解一元二次方程的問題就迎刃而解。
三、公式法
有了剛才配方的經驗，我們可以通過配方法把任何一個有實數根的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）轉化得到求根公式x=，從而代入公
式求出方程的實數根。
例3 用公式法解方程：2x2-7x-4=0
解：a=2、b=7、c=-4 ；b2- 4ac=49+32=81>0；x=；x1=
1
2
x2= -4
對于任意一個有實數根的一元二次方程，我們認為配方與求根公式都是萬能的。
四、因式分解法
因式分解法解一元二次方程，是通過因式分解把一個一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的等號左邊的二次式化為兩個一次因式積的形式，再根據如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式中至少有一個為零；反過來如果兩個因式中有一個因式為零，那么它們的積就等于零，從而轉化為兩個一次方程，達到降次的目的。
一般情況下，有公因式的要首先提公因式，最大公因式通常取各項系數的最大公約數與相同因式最低次冪的積。缺少常數項的一元二次方程，形如ax2+bx =0（a≠0）適合用提公因式法x（ax+b）=0，從而x=0或ax+b=0；缺少一次項的一元二次方程ax2+c=0（a≠0）且ac<0這適合用平方差公式分解；不缺項的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）若能因式分解，我們通常考慮提公因式、完全平方公式或十字相乘法來因式分解。
例4 解下列方程：
（1）3x2+4x=0 （2）4x2-9=0 （3）4x2+12x+9=0 （4）x2+6x-16=0
解：（1）3x2+4x=0 X（3x+4）=0 x=o或3x+4=0 x1=0 x2=-
4
3
（2）4x2-9=0 （2x+3）（2x-3）=0 2x+3=0或2x-3=0 x1=-
3
2
x2=
3
2
（3）4x2+12x+9=0 （2x+3）2=0 2x+3=0 x1=x2=-
3
2
（4）x2+6x-16=0 （x+8）（x-2）=0 x+8=0或x-2=0 x1=-8 x2=2
我們實際解一元二次方程，解法的一般順序為（1）直接開平方法；（2）因式分解法；（3）公式法；（4）配方法。究竟選擇什么解法合適呢？對于一個一元二次方程，能否用直接開平方法解一目了然，關鍵是不能直接開平方的一元二次方程，我們如何選擇解法，其實也很簡單，我們只將方程化為一般形式，ax2+bx+c=0，計算它的b2-4ac，若b2-4ac，能開得盡平方，該方程適合用因式分解法，若開平方開不盡可以選擇公式法，通常在指定用配方法的要求下我們才選擇配方法。
例5 選擇適當的方法解方程：
（1）3x2-10x+3=0
（2）2x2+6x-3=0
分析：觀察方程（1），計算b2-4ac=64，能開平方得盡方，所以選擇用因式分解法，方程（2）計算b2-4ac=36+24=60開平方開不盡，我們選擇公式法。
解：（1）3x2-10x+3=0 （3x-1）（x-3）=0 3x-1=0或x-3=0 x1=
1
3
x 2=3
（2）2x2+6x-3=0 a=2、b=6、
c=-3 x= x1=
x2=
當然，也不是所有的方程配方法都是最麻煩的。
例6 解方程x2-2x-288=0
解：x2-2x-288=0 x2-2x=288 x2-2x+1=289（x-1）2=289 x-1=±17 x1=18 X2=-16
該方程雖然用因式分解法，公式法都能解決，但是配方法也可以視為一個較合適的方法。
在實際的解題過程中，不一定局限于這些方法，結合不同形式的方程，靈活選擇合適的方法。
以上是我對一元二次方程解法及解法選擇的膚淺認識，在解方程的過程中，我們應該結合方程的特點和自身的實際情況選擇合適的解法。
