時(shí)鐘問(wèn)題與解答

時(shí)鐘上的分針、時(shí)針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)都是勻速的，但速度各有不同，分針要越過(guò)時(shí)針、秒針要越過(guò)分針與時(shí)針而轉(zhuǎn)動(dòng)。加之有些鐘表計(jì)時(shí)的誤差等，這就形成了十分有趣的時(shí)鐘問(wèn)題。本文介紹三類(lèi)典型問(wèn)題及其解答，說(shuō)明處理這些問(wèn)題的方法。

一、時(shí)針與分針的角度問(wèn)題

問(wèn)題一 從中午12點(diǎn)鐘開(kāi)始，幾分鐘后秒針每次等分針和時(shí)針?biāo)傻慕牵?/p>

解：1分鐘內(nèi)，秒針走鐘面一周360°分針走鐘面周角的6°，時(shí)針走鐘面周角的

·6°，設(shè)x分鐘時(shí)（1﹤x﹤2）秒針等分時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵瑒t：分針與12點(diǎn)線所成的角為6°·x，時(shí)針與12點(diǎn)線所成的角為

1

12

·6°x，秒針與12點(diǎn)線所成的角為360°（x-1）。根據(jù)題意，有

1

12

（6°x+

1

12

·6°x）=360°（x-1）。解之，得x=1

12

1427

（分）。

說(shuō)明：①在同一時(shí)間內(nèi)，秒針、分針、時(shí)針的速度之比為60：1：1/12；②“12點(diǎn)線”這一位置，是處理許多方面問(wèn)題的參照物。

問(wèn)題二 某人在室內(nèi)明亮的陽(yáng)光下看報(bào)。看報(bào)前，他看了一下手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針異向處在一條直線上。看完報(bào)后，他又看了一下手表，分針和時(shí)針恰好又異向處在一條直線上。在此期間他還聽(tīng)到隔壁臺(tái)鐘（每半小時(shí)報(bào)時(shí)一次）一共敲了三下。試問(wèn)，他從什么時(shí)候開(kāi)始看報(bào)的，一共看了多長(zhǎng)時(shí)間？

解：分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一周，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)

1

12

周。從12點(diǎn)鐘開(kāi)始，分針與時(shí)針第一次成異向直線的時(shí)間t1（小時(shí)）滿足（1-

1

12

）t1=

1

2

。解之得t1=6/11（小時(shí)）。即12時(shí)32分43

7

11

秒時(shí)，分針

與時(shí)針第一次異向成一直線（當(dāng)然是12點(diǎn)后1）。

用同樣方法可求得分針與時(shí)針第二次成異向直線的時(shí)間t2=18/11（小時(shí)），即1時(shí)38分10

10

11

秒，第三次時(shí)間為t3=30/11（小時(shí)），即2時(shí)43分38

2

11

秒，…顯然前后兩次成異向直線的時(shí)間間隔為12/11小時(shí)。臺(tái)鐘共報(bào)時(shí)兩次，一共敲三下，則開(kāi)始閱報(bào)必定在一時(shí)后，結(jié)束閱報(bào)在三點(diǎn)之前。即看報(bào)時(shí)間是從下午1時(shí)38分10

10

11

秒開(kāi)始，一共看了1時(shí)5分27

3

11

秒。

說(shuō)明：①時(shí)間確定為“從12點(diǎn)開(kāi)始”，是解答這一問(wèn)題的前提。②靈活運(yùn)用“兩個(gè)物體的速度差與時(shí)間的乘積等于兩物體之間的距離”來(lái)確定三針每次成直線的時(shí)刻，是處理這類(lèi)問(wèn)題的常用方法。

問(wèn)題三（美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如果現(xiàn)在時(shí)間是10：00與11：00之間，而6分鐘后，鐘表的分針將會(huì)剛好同3分鐘前的時(shí)針的方向相反。問(wèn)現(xiàn)在的準(zhǔn)確時(shí)間是多少？

解：設(shè)x為現(xiàn)在的分鐘數(shù)，又設(shè)A和B分別為表面上分針在6分鐘后、時(shí)針在3分鐘前的位置，O為表面中心，C和D分別為表面上12和6的刻度。如果以分鐘為單位來(lái)度量，則∠AOC的大小是x+6，∠BOD的大小是20+（x-3）/12。顯然∠AOC=∠BOD，于是有方程x+6=20+（x-3）/12。解之得x=15，即現(xiàn)在的時(shí)間為10：15。

說(shuō)明：用“分鐘”做角的度量單位，可使三針角度得到簡(jiǎn)捷處理。

二、時(shí)鐘的快慢問(wèn)題

問(wèn)題四 一間工廠中一個(gè)普通的鐘走慢了，使得在一般鐘面位置上，每69分鐘分針經(jīng)過(guò)時(shí)針，超時(shí)工資要比原有工資多半倍。一個(gè)按照那個(gè)慢鐘做足八小時(shí)、每小時(shí)1元的工人應(yīng)收取的額外工資是多少？

解：顯然，對(duì)一個(gè)準(zhǔn)確的鐘而言，分針經(jīng)過(guò)時(shí)針?biāo)钑r(shí)間比60分鐘會(huì)長(zhǎng)一些。分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)（

1

2

）°。假設(shè)開(kāi)始時(shí)兩針重合，x分鐘后，兩針?lè)謩e轉(zhuǎn)了6x和

1

2

x度，

當(dāng)6x-360=

1

2

x，即x=720/11分鐘

時(shí)，它們會(huì)再重合在一起。于是，慢鐘所指示的時(shí)間與真實(shí)的時(shí)間比是

720/11

269

=

240

253

。當(dāng)慢鐘經(jīng)歷八小時(shí)，真實(shí)的時(shí)

間t可得自480/t=240/253。解得：t=506=480+26。于是，在八小時(shí)的錯(cuò)誤記錄上，有26分鐘的超時(shí)工作。不難算出工人應(yīng)得超時(shí)工資0.43元。

說(shuō)明：處理時(shí)鐘的快慢問(wèn)題，還可利用快慢三針在同一時(shí)間內(nèi)的速度比與12點(diǎn)線所成的角度來(lái)解決。

三、時(shí)針與分針位置互換問(wèn)題

問(wèn)題五 當(dāng)一個(gè)鐘的分針和時(shí)針準(zhǔn)確地指示某個(gè)時(shí)刻時(shí)，如果把分針變?yōu)闀r(shí)針、時(shí)針變?yōu)榉轴槪话阏f(shuō)來(lái)，便不能準(zhǔn)確地指示一個(gè)時(shí)刻了。例如三點(diǎn)半鐘時(shí)，如果把分針和時(shí)針互換，便不能準(zhǔn)確地指示一個(gè)時(shí)刻：如果說(shuō)它是六點(diǎn)整，那么分針應(yīng)指著12才對(duì)；如果說(shuō)它是六時(shí)十七分半，則時(shí)針應(yīng)指在6和7之間某處才對(duì)。然而有的時(shí)候時(shí)針與分針的位置可以互換而仍能正確地表示某個(gè)時(shí)刻。例如當(dāng)時(shí)針與分針重疊時(shí)。試問(wèn)，除兩針重疊外，這種情況共有多少？是在什么時(shí)候？

解：時(shí)針與分針互換位置，仍能準(zhǔn)確地表示某個(gè)時(shí)刻，可理解為時(shí)針繼續(xù)走至分針位置時(shí)，分針恰好到達(dá)時(shí)針原來(lái)的位置。我們把鐘面一周分成60格。設(shè)x為時(shí)針走的格數(shù)，m為分鐘走的圈數(shù)，y為分針扣除整圈繞行次數(shù)后從零計(jì)起的格數(shù)。因?yàn)闀r(shí)針走一格，分針走十二格，于是有12x=60m+y。①顯然y﹤60。當(dāng)時(shí)針繼續(xù)走至分針位置時(shí)，分針須繞行若干圈（設(shè)為m）后停到時(shí)針原來(lái)的位置。于是又有12y=60n+x ②這里m，n﹤12，無(wú)妨假設(shè)m≦n.由①得y=12x-60m ③把③代入②得：12（12x-60m）=60n+x。解這個(gè)方程得x=

720

143

m+

60

143

n④ 當(dāng)m=n時(shí)，可得

x=y，即兩針重疊。當(dāng)m≠n時(shí)，根據(jù)m、n作可取值列表如下（略）：由此可知，除兩針重合外符合題目要求的答案共有（11+1）×11/2=66個(gè)，每次取m、n的一對(duì)對(duì)應(yīng)值代入④，即可求得x，進(jìn)而求出兩針互換前后所代表的兩個(gè)時(shí)刻，例如當(dāng)m=3，n=6時(shí)，短針在x=

720

143

×3+

60

143

×6=17

89

143

（格）。化成相應(yīng)

的時(shí)間為3點(diǎn)31分28

16

143

秒，當(dāng)兩針對(duì)換后，短針在y=12x-60m=31

67

143

（格）化成相應(yīng)的時(shí)間為6點(diǎn)17分37

16

143

秒，因此在3點(diǎn)31分28秒時(shí)將

長(zhǎng)短針互換后指示的明間為6時(shí)17分37

16

143

秒。

說(shuō)明：此題中x=y時(shí)，可變?yōu)樵诙提樌@鐘面一周的過(guò)程中兩針重合的次數(shù)有幾？另外此題中我們限制n≧m，如果 n﹤m又是什么情況呢？讀讀者思考。