134課題學習最短路徑問題

一、本課主要內容

本節課以一則公益廣告為載體開展對節能環保的教育，進而提出數學能為節能減排做出什么貢獻呢？引出本節課的主題：最短路徑問題的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。

二、學習目標

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想。

三、學習重點

利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.

四、引入新知

問題：這個視頻同學看懂了嗎？來說說看懂了什么？

引言：節約是一種的美德，特別是對于資源慢慢匱乏的今天，我們更要把這一美德繼續傳承下去。無論節約能源還是節省資源都是我們當今非常關注的問題，那么作為學數學的我們能為節省資源提供哪些思路和方法呢？這就是今天我們要學習的內容最短路徑問題 （板書：標題）

五、探究新知

問題：最短路徑問題，最短，我們學過與最短有關的知識嗎？

垂線段最短；兩點之間，線段最短（板書：垂線段最短；兩點之間，線段最短；并畫圖）

現在我們來看這樣一個實際問題：

一、問題提出

如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站C，分別向A、B兩鎮供氣，泵站C修在管道的什么地方，可以最節省材料？（圖略）

問題：這個實際問題誰能解決？沒關系，咱們數學可以解決，那你會把實際問題轉化成數學問題嗎？哪位同學試試？

問題：泵站C修在管道l的什么地方，可以最省材料？這個最省材料該怎么理解呢？

（板書：實際問題抽象數學問題點和線的問題）

點C在直線l上有無數種可能，到底點C在哪里可以使線段AC+BC的和最短呢？面對這樣一個未知問題，我們可以把它轉化成已學的知識來解決嗎？用哪個已知的知識來解決呢？

二、第一次嘗試、驗證

問題：哪一個最短的方法可以幫我解決這個問題呢？不防猜想、嘗試一下，畫一畫，找一找點C。以小組為單位進行討論 （在黑板中間位置畫圖）

有同學已經找到點C了，請同學上來說說你是怎么找到點C的呢？還有哪一位同學找到了點C？來說一說

同學們能積極的思考，并付之實踐，非常值得表揚，來給咱們自己一點掌聲，鼓勵一下。這位同學找的點C會使線段AC+BC的和最短嗎？我們得驗證一下才行，今天我們來玩玩高科技，老師用幾何畫板來直觀的演示一下。

三、第二次嘗試、驗證

問題：通過幾何畫板的演示，我們發現剛剛找的點C并不能讓線段AC+BC的和最短，那現在我們該怎么辦呢？要把它轉化成哪個已學的知識來解決呢？

問題：那么我們如何把這個問題轉化為兩點之間線段最短呢？

我這樣連接AB行嗎？

大家的意思是說，在連接線段AB使用兩點間線段最短的同時，還要與直線l有交點！

問題：怎樣才能讓這條最短的線段與直線l有交點呢？

要是能把其中一個點能變到直線的另一側就好了，就可以輕而易舉的解決問題了，那就請大家再開動小腦袋，想一想，試一試，畫一畫，找找點C吧。以小組為單位進行討論

問題：哪一位同學愿意說一下你們小組的想法？還有其他的方法嗎？

這兩位同學用不同的畫法找到了點C，如果在一幅圖上的話，這兩個點C是同一個點嗎？看我們看看，是同一個點C嗎？哪位同學可以說說為什么？

這個點C真的可以讓AC+BC最短嗎？我們用幾何畫板演示一下，好像是哦。

問題：為什么這個點C可以讓AC+BC最短呢？又是通過什么方法實現兩點之間線段最短呢？

原本是求AC+BC最短的，怎么會轉化成AB’最短呢？

為什么AC+BC=AB’？

我們還需要來證明，如果我認為C不是使AC+BC最短的點，那我就再找一點C’來驗證

問題：回憶一下剛剛我們怎么解決這個實際問題的？

把實際問題——數學問題

把同側的兩點——異側的兩點（軸對稱）

用兩點之間，線段最短這個已學的知識，解決實際問題，實現了化未知為已知。

問題：軸對稱在解決最短距離的問題上起到了什么作用？

在這一題目的解決過程中，用軸對稱做出圖形的變換起到至關重要的作用，既幫助我們把同側兩轉化成異側兩點，也幫助我們使用了兩點之間，線段最短。

這樣到目前為止，在解決最短路徑問題上我們有了三種模型，

第一，一點一線；第二，異側的兩點一線；第三，同側的兩點一下問題

先看我們已經畫好的圖形，在畫到這個直線之前我先做了什么？這就化折為直

為什么要畫線段呢？

在畫到這個線段之前我們又用到了什么？

四、練習鞏固

1.如圖，在平面直角坐標系中，點A（-2，4），B（4，2），在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的位置怎么求？

問題：在解決這個問題時，我們應該用哪個模型？誰是村莊？誰是煤氣管道？

如果是在圖形里，還可以解決最短路徑問題嗎？我們一起試試

2.已知等腰ABC，AB=AC，AD是BC邊上的高，E是AB邊上的中點，

在AD上找到點p，使PB+PE最短

1、誰是村莊，誰是煤氣管道？

2、為什么點B的對稱點是C；

在解這個題目時，我們用了兩種方法做對稱，找到了同一個點P，大家喜歡哪一種做法？為什么？如果圖中不能直接找到對稱點，我們就只能自己畫了

剛才幾個問題同學解決的非常好，那我們來總結一下，今天這節課你學到了什么知識，哪些解題方法呢？

相信同學們通過這節課的學習會合理的使用這三個數學模型解決最短路徑問題，為節省資源做出貢獻，做一個環保小衛士，但是千萬不這樣使用最短路徑哦！

今天我們的作業是挑戰新高度，模型四和模型五，你能自己解決嗎？

五、挑戰新高度

六、板書