解決中學數學問題的關鍵及策略

解決數學問題，首先就需要對問題進行理解，這種理解不是表面的、膚淺的，而是全方位、多角度、深刻的、靈活的，就是對問題本質的洞察與把握，這是解決問題的基礎.本文著重對數學理解加以探討.

一、數學理解的含義

不同學派的心理學家持有不同的觀點，巴甫洛夫認為，人們是通過聯想獲得有關事物關系的知識，理解就是利用舊聯想形成新聯想，即聯想的聯想；格式塔學派認為理解就是“頓悟”是頭腦中知覺“完形”的出現，理解就是對事物間的關系突然貫通與領悟；以皮亞杰為代表的日內瓦學派認為：個體對新事物的理解，就是新刺激被個體已有的知識結構同化或順應的過程。認知心理學家奧蘇伯爾則認為理解就是將新信息納入原有認知結構，新舊知識發生意義同化的過程。以上種種觀點都各自在一定程度上解釋了理解的含義。我們認為，理解就是個體運用已有知識、經驗認識事物的聯系、關系直至其本質規律的思維活動。

行為主義認為個體對知識的理解就是記憶概念、規則和方法，并能迅速提取并用于解決問題。顯然，行為主義將知識理解定位在知識記憶的層面上，而不對“機械性記憶”和“在理解基礎上的記憶”加以區別，事實上，行為主義只關注人的外部行為，不研究人的內部，因而不可能對“知識的理解”作深入思維過程探討。

二、數學理解水平

數學理解分為 8 個水平，即初步了解、產生表象、形成表象、關注性質、形式化、觀察評述、組織結構和發現創造。這8 種水平的關系。可以用8個嵌套的圓來表示，每一種水平用一個圓表示，并依水平的增高所表示的圓的半徑依次增大，前一個圓包含在后一個圓中，逐步拓廣。

三、對數學知識的理解

認知心理學家將知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式稱為知識的表征。對知識的理解與知識的表征密切相關，事實上，對一個事物本質的理解，就是指該事物的性質以一定的方式在學習者頭腦中呈現并能迅速提取。基于此，我們將理解解釋為對知識的正確、完整、合理的表征。根據對數學知識的分類，數學理解應涵蓋對陳述性知識、程序性知識及過程性知識的理解等3個方面。

（1）對陳述性知識的理解

陳述性知識以命題、表象、線性排序等3種形式作為基本表征單位。命題相當于頭腦中的一個觀念，一個命題被看作是陳述性知識的最小單元。一個命題不是孤立的，它與其它命題相互聯系組成命題網絡。表象表征是對事物的知覺特征的保留，是一種連續的，模擬的表征。線性排序是對一系列元素所作的線性次序的編碼。在人的知識表征中往往組合了命題、表象及線性排序，從而形成對知識的綜合表征——圖式。

對數學陳述性知識的理解是從知識的基本單元表征，到形成命題網絡，再到獲得圖式的過程，對一個陳述性數學知識的理解，是指學習者獲得了該對象的圖式。

（2）對程序性知識的理解

程序性知識是由陳述性知識轉化而來的，是陳述性知識的動態成分。與靜態的陳述性知識不同，程序性知識以“產生式”這種動態形式來表征。所謂產生式指一條“條件——行動”規則，即一個產生式總是對某一或某些特定的條件滿足時才發生的某種行為的一種程序。當一個產生式的行動成為另一個產生式的條件時，這2個產生式便建立了相互的聯系，若一組產生式有這種相互聯系，便形成一個產生式系統。產生式系統代表了人從事某一復雜行為的程序性知識。

對數學知識而言，其二重性表現得尤為突出，這種二重性或稱為概念性知識和方法性知識，或稱為對象和過程，其本質就是陳述性知識和程序性知識，一個數學概念既包含結果也包含過程。

四、數學理解的策略

對一個數學問題的理解應該包括三個方面，對條件的理解；對結論的理解；對條件與結論關系的理解。這里的理解不僅是表面的，更重要的應該是本質的，不僅是工具性的，更應該是關系性的，不僅是特征性的理解，更應是功能性的理解——對問題本質的洞察與把握。因此，可以從三個方面去理解。

（1）數學語言角度

數學家斯托利亞爾早就說過“數學是一種語言”。數學首先是一種語言，這是數學的一個基本特征。數學語言是從數學的角度對世界認識的一種表述。因此，對數學問題的理解首先應該是對構成該問題的數學語言的理解。

（2）數學結構角度

很大程度上講，數學是研究結構的科學。這里的“結構”不同于布爾巴基學派的“結構主義”，那里的“結構”我們不妨稱之為“廣義的結構”，我們這里的“結構”不妨稱為“狹義的結構”。

所謂“數學結構”是指構成該數學問題的各個要素以及它們之間的相互聯系。根據初等數學的研究對象，我們可以將數學結構分為：代數結構、幾何結構和數形結構等等。狹義的結構主義的基本思想：數學是研究結構的科學；結構決定著方法、結構蘊含著方法、結構提示著方法；結構的豐富性決定著方法的多樣性；結構的特殊性決定著方法的奇特性。一個數學問題解決的方法不是從天上掉下來的，而是由該數學問題的結構所決定的。

總之，數學理解是解決數學問題的基礎與關鍵之一，加強數學理解的理論研究與教育實踐研究，是數學問題解決研究的重要方面，這對于中學數學教學、中學數學教育改革，特別是對中學數學解題教育，提高學生的素質、發展學生的思維品質和能力都具有十分重要的理論意義與實踐意義。