區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的構造

喬希民， 吳洪博

(1. 商洛學院 數學與計算機應用學院， 陜西 商洛 726000； 2.陜西師范大學 數學與信息科學學院， 陜西 西安 710062)

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喬希民1， 吳洪博2

(1. 商洛學院 數學與計算機應用學院， 陜西 商洛 726000； 2.陜西師范大學 數學與信息科學學院， 陜西 西安 710062)

摘要：以區間集和濾子理論作為研究區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的工具，通過引入區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的概念，討論了生成〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的幾種方法，彰顯模糊邏輯推演系統被視為代數濾子的鏡像.

關鍵詞：非可換模糊邏輯； 區間集； 區間集上非交換剩余格； 〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子；構造性方法

QIAO Ximin1, WU Hongbo2

(1.CollegeofMathematicsandComputerApplication,ShangluoUniversity,Shangluo726000,ShaanxiProvince,China; 2.CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

0引言

本文試圖將區間集思想和濾子理論運用到非交換剩余格,引入區間集上非交換剩余格的概念,在模糊點和模糊集間的“屬于關系”中析取“擬重于關系”，將其拓展為“屬于關系”廣義析取()“權擬重于關系”(Q)，給出區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的定義，并研究〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的基本性質，進一步探討區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的構造方式和完備性,以從本質上認識〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的基本特征.

1預備知識

設U為論域,2U是U的冪集,那么區間集上2U的子集形式為：

稱其為閉區間集.閉區間上的所有區間集的集合記為

引理1[21]設A,B,C∈I(2U),則下列各式成立:

定義3設〈I(2U),,,?,?,,U,?〉是一個(2,2,2,2,2,0,0)型代數，若滿足以下條件:

(Ⅰ)〈I(2U),,,U,?〉是一個有界格；

(Ⅱ)〈I(2U),?,U〉是以U為單位元的半群；

定義4若I(2U)中的算子?滿足交換性,則稱I(2U)為區間集上交換剩余格.

性質1設I(2U)是一個區間集上非交換剩余格,?X，Y,Z∈I(2U),則有以下性質成立：

(1) ?:I(2U)×I(2U)→I(2U)是單調遞增的；

可直接運用定義3與文獻[21]的相關定理完成上述性質的證明.

定義5設I(2U)是區間集上非交換剩余格,Φ≠J?I(2U),如果?X，Y∈I(2U),有

(2)若X，Y∈I(2U)，則X?Y∈I(2U)，那么稱J為I(2U)上的一個濾子，所有濾子之集記為J(I(2U)).

又若J是I(2U)的一個濾子，且滿足：?X，Y,XYJ,可推出XJ或YJ,則稱J是I(2U)的素濾子.

(1)U∈J；

定義6設I(2U)是區間集上非交換剩余格,G:I(2U)→[?,U]是一個映射，則G為I(2U)的模糊子集.全體模糊子集之集記為F(I(2U)).

定義7設I(2U)是區間集上非交換剩余格,

J∈F(I(2U)),?T∈[?,U],

則稱G(J,T)是I(2U)上的T-水平集.

定義8設I(2U)是區間集上非交換剩余格,X∈I(2U),J∈F(I(2U)),若J滿足:

則稱J為I(2U)上的一個模糊值,記為XT,其中X是XT的支撐,T為XT的值，記為G(X,T).

注2P(X)⊕T表示P(X)與T的線性和；P(X)?T表示P(X)與T的線性差.

定義9設I(2U)是區間集上非交換剩余格,?X，Y∈I(2U),J∈F(I(2U)),如果J滿足以下條件:

則J稱之為I(2U)上的fuzzy濾子.全體fuzzy濾子之集記為JJ(I(2U)).

命題2設I(2U)是一個區間集上的非交換剩余格,J∈F(I(2U)),則J是I(2U)上一個fuzzy濾子的充要條件為

定義10設I(2U)是區間集上非交換剩余格,P∈F(I(2U)),?T,R∈(?,U),如果P滿足以下條件:

定理1設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U)),則F為〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的充要條件是F滿足(FP3)和(FP4),其中,

(FP4) ?X，Y∈I(2U),

證明首先,證明(FP1)等價于(FP3),即以下2種情形成立.

(1)若有(FP1),則有(FP3).

(2)證明若有(FP3),則有(FP1).

其次,證明(FP2)等價于(FP4),即以下2種情形成立.

(1)若有(FP2),則有(FP4).

(2)若有(FP4),則有(FP2).

綜上,證得定理1成立.

推論1設I(2U)是區間集上非交換剩余格,若F是I(2U)上的fuzzy濾子,則F是I(2U)上的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子.

推論2設I(2U)是區間集上非交換剩余格,若F是I(2U)上的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子,且F(U)CI,則F是I(2U)上的fuzzy濾子.

定義12設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U)),G∈FF(I(2U))，若有

(1)F?G；

(2) ?H∈FF(I(2U))，如果F?H，那么G?H,則稱G是I(2U)上由F構造的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子，記為[F].

命題3設?F,G∈F(I(2U)),則有

(1)如果F∈FF(I(2U)),那么F=[F]；

(2)如果F?G，那么[F]?[G].

由定義12容易證得.

推論3設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F1,F2∈FF(I(2U)),則F1∩F2∈FF(I(2U)),但F1∪F2未必是I(2U)上的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子.

定理2設F∈F(I(2U)),則?X∈I(2U),

[F](X)={F(A1)F(A2)…F(An)

i=1,2,…,n}F(X).

證明若?X∈I(2U),則

G(X)={F(A1)F(A2)…F(An)

i=1,2,…,n}CI.

G(X)={F(A1)F(A2)…F(An)

Ai∈I(2U),i=1,2,…,n}.

(1)證G是〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子.設X，Y∈I(2U),

A1?A2?…?An;Ai∈I(2U),i=1,2,…,n}，

B2?…?Bm;Bj∈I(2U),j=1,2,…,m}，

C1?C2?…?Ct;Cp∈I(2U),p=1,2,…,t}.

分2步完成(1)的證明:

同樣,(FP3)成立.

分2種情形:

A1?A2?…?An?B1?B2?…?Bm;

Ai,Bj∈I(2U),i=1,2,…,n,j=1,2,…,m}=

Cp∈I(2U),p=1,2,…,t}=G(X?Y),

證得定理1之(FP4)成立.

G(X)=F(X),G(Y)=F(Y),

綜上可知,G是I(2U)上的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子.

(2)設H∈FF(I(2U)),且F?H.因為?X∈I(2U),

G(X)={F(A1)F(A2)…F(An)CI|XA1?A2?…?An;Ai∈I(2U),i=1,2,…,n}F(X){H(A1)H(A2)…H(An)CI|XA1?A2?…?An,Ai∈I(2U),i=1,2,…,n}H(X)=H(X),

所以G?H.

又因為F?H,故依據定義12，知G是由F構造的〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子.

推論4設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U)),則有?X∈I(2U),

[F](X)={F(A1)F(A2)…F(An)CI|

A1?(A2?…?(An?X)…)=U;

Ai∈I(2U),i=1,2,…,n}F(X)={F(A1)F(A2)…

i=1,2,…,n}F(X).

定理3設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F,G∈FF(I(2U)),?x∈I(2U),則

[F∪G](X)={F(A)G(B)CI|XA?B,

A,B∈I(2U)}F(X)G(X).

證明設X∈I(2U)，根據定理2知

[F∪G](X)={(F(A1)G(A1))…

A1?A2?…?An;Ai∈I(2U),

i=1,2,…,n}F(X)G(X).

(1)若X∈I(2U)，則有

(2)若X∈I(2U)，則

{(F(T1)(G(T1))…(F(Tn)G(Tn))CI|

Ti∈I(2U),i=1,2,…,n}=

{(F(A1)G(A1))…(F(An)

G(A1)(i=1,2,…,n),

B1?B2?…?Bm;Ai,Bj∈I(2U),

i=1,2,…,n,j=1,2,…,m}∪

{F(C1)G(C1)…(F(Cn)G(Cn))

Ci∈I(2U),i=1,2,…,n}∪

{(F(D1)G(D1))…(F(Dm)

Dj∈I(2U),j=1,2,…,m}.

若令

A={(F(A1)G(A1)…(F(An)G(An))

(F(B1)G(B1))…(F(Bm)G(Bm))CI|

Ai,Bj∈I(2U),i=1,2,…,n,j=1,2,…,m},

B={(F(C1)G(C1))…(F(Cn)G(Cn))CI|

Ci∈I(2U),i=1,2,…,n},

C={(F(D1))G(D1))…(F(Dm)

Dj∈I(2U),j=1,2,…,m},

則有

[F∪G](X)=(A)(B)(C)F(X)G(X),

再設

A=A1?A2?…?An∈I(2U),

B=B1?B2?…?Bm∈I(2U),

又因為

所以

A,B∈I(2U)}F(X)G(X).

這樣,由(1)、(2)可知：

[F∪G](X)=

(2)F(GH)=(FG)(FH).

下面從兩方面考慮(1)的證明.

A1,A2∈I(2U)})][F(X)G(X)]

B1,B2∈I(2U)})(FG)(X)(FH)(X)

又因為X具有任意性,所以

由以上2步可知(1)成立.

同理可證(2)也成立.

4結語

基于非可換模糊邏輯背景,引入了區間集上非交換剩余格與區間上非交換剩余格fuzzy濾子的概念,給出了區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的代數結構,進一步討論了區間集上非交換剩余格-fuzzy濾子的構造概念和代數結構形式.在此基礎上,研究了幾種生成區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子,并探討了全體fuzzy濾子集上完備的分配格，以顯示區間集上非交換剩余格〈∈,∈Q〉-fuzzy濾子的特征和性質.對于區間集上非交換剩余格廣義fuzzy濾子及其相應特殊廣義fuzzy濾子,以及如何建立區間集上相應模糊邏輯系統等將另文探討.

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Abstract:Based on interval sets and the filter theory, the non-commutative residual lattice 〈∈,∈Q〉-fuzzy filter on the interval sets was researched. Firstly, we introduced the structural concept of the non-commutative residual lattice 〈∈,∈Q〉-fuzzy filter on the interval sets, and then discussed several methods for generating 〈∈,∈Q〉-fuzzy filter. Fuzzy logic deduction system is regarded as the acoustic image of algebraic filter.

Key Words:non-commutative fuzzy logic; interval sets; non-commutative residual lattice on interval sets; 〈∈,∈Q〉-fuzzy filter; constructional method

中圖分類號：O 141

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-127-07

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.001

作者簡介：喬希民(1960-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-9585-672X,男,副教授,碩士,主要從事非經典數理邏輯與格上拓撲學研究,E-mail：qiaoximin@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61572016)；陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2013JM1023)；陜西省教育廳科研計劃項目(11JK0512).

收稿日期：2015-03-01.