預設對話促進生成，變式拓展即時反饋——以“菱形（第1課時）”教學為例

☉浙江省寧波市鎮海區駱駝實驗學校　王雪君

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預設對話促進生成，變式拓展即時反饋——以“菱形（第1課時）”教學為例

☉浙江省寧波市鎮海區駱駝實驗學校王雪君

章建躍博士近年來倡導的“教學要重視向學生傳遞‘基本套路’意識”，深獲一線教師的認可，僅筆者關注的《中學數學》（下）近兩年來就發表了大量向學生傳遞“基本套路”的課例.我們知道，“平行四邊形”一章學習的基本套路是研究圖形的定義、性質與判定，而在性質和判定中往往是從邊、角、對角線、對稱性等角度展開，這些學習套路應該成為學生自主學習時的方式.本文整理筆者近期開設的“菱形（第1課時）”研討課的教學設計，并跟進解讀教學立意，供研討.

一、菱形（第1課時）教學設計

（一）開課引入

教師開場：我們知道，當平行四邊形有一個內角是直角時，這時成為一個？（矩形）現在老師演示一個教具（如圖1），大家注意，我還保證了這個平行四邊形的一組鄰邊相等，這時我們發現這樣的四邊形四條邊會怎樣？（都相等）

圖1

接著在黑板上畫圖（如圖2），標出字母給出菱形的符號表示.

追問：教材上把這樣的四邊形稱為菱形，那么如何定義這種四邊形比較恰當呢？

圖2

預設：學生可能會回答教材上的定義，比如有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；或者四條邊相等的四邊形是菱形.如果是后者，則建議學生類似矩形的定義，調整定義為前者為宜，因為數學追求前后一致、邏輯連貫的特點.四邊相等的條件可以轉化為前者實現證明，下一節會研究這種菱形的判定方法.接著板書菱形定義與符號語言（略）.

過渡：定義菱形之后，我們仍然先研究菱形的性質，下一節課會研究它的判定.

（二）菱形性質的研究

如圖2，猜想菱形有哪些性質，你準備從哪些角度研究？

預設互動：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分.學生可能會漏了對角相等，以及每一條對角線平分一組對角.在學生回答的同時，教師注意啟發其他學生互動，補充、完善，同時注意引導學生口述這些性質如何證明，并將相關性質條理化，板書到黑板上（見下文的板書設計）.由于學生可能會漏了從對稱性角度來思考菱形的性質，可以給出跟進追問：在學習矩形時，我們知道矩形不僅是中心對稱圖形，還是軸對稱圖形，那么，菱形的對稱性如何呢？（也是中心對稱圖形、軸對稱圖形）接著追問學生菱形的對稱軸（對角線所在的直線就是它的對稱軸）.

過渡語：下面我們從軸對稱的角度來做一個剪拼活動！在活動中驗證上面大家發現的菱形性質吧！

剪拼驗證：將一個矩形的紙對折兩次，沿圖中虛線剪下，再打開，就得到一個菱形（如圖3）.

圖3

觀察得到的菱形，

（1）你能看出圖中哪些線段或角相等？

（2）得到哪些特殊三角形？

（3）菱形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？對稱軸之間有什么位置關系？

設計意圖：通過跟進實驗活動激發學生的學習興趣，并驗證基于圖形的一些發現，即做到直觀與理性的呼應，讓學生知道不僅證得到，而且實驗也能看得到.

下面探討菱形的面積公式.

問題：如圖4，如何求菱形ABCD的面積？

圖4

預設：學生可能很快會利用圖4，作出菱形一邊上的高AE，利用平行四邊形的面積公式：S菱形=BC·AE求出答案；同時注意啟發學生思考其他方法，比如把菱形的面積看成四個小直角三角形的面積之和.

啟發：你有什么發現？（預設：菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，即S菱形ABCD=AC·BD）

（三）典例講評與變式

例1菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積.

預設講評：這是經典問題，多數學生都能很快獲得思路，講評時注意讓學生暴露他們的思維過程，包括草圖分析，如何利用菱形性質獲得思路等.如果學生在求菱形面積時沒有使用上面總結出來的“對角線乘積的一半”，則引導其他學生優化思路.

例2如圖5，菱形花壇ABCD的邊長為20cm，∠ABC=60°，沿菱形的兩條對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積.

圖5

預設講評：學生解決也不困難，重點是由這道習題出發，引導學生積累一類更加特殊的菱形，即含60°角的菱形，接下來給出這類特殊菱形的系列變式.

變式1：如圖6，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度數.

圖6

變式2：如圖6，邊長為a的菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠B=60°，菱形的邊長為a，且CE+CF= a，試分析△AEF的形狀.

變式3：在“變式2”的條件下，分析△CEF的面積是否發生變化.若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值.

（四）課堂小結與檢測

小結問題1：你是從哪些角度來研究菱形的性質的？小組內交流一下.

小結問題2：菱形的性質，你對哪一條性質印象最深，讓你印象最深的理由是什么？

小結問題3：今天的解題中，你覺得應該重視哪一種特殊的菱形？這類菱形中有哪些更特殊的性質呢？（預設：含60°角的菱形）

聽課檢測題：（每小題20分，共100分）

題1：有如下兩個操作活動和命題.

命題1：如圖7，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分四邊形ABCD就是菱形；

圖7

圖8

命題2：將一張長方形紙對折，再在折痕上取任意長為底邊，剪一個等腰三角形，然后打開即是菱形（如圖8）.

請判斷上述兩個命題的真假：__________.

題2：已知菱形ABCD的周長為20cm，且相鄰兩內角之比是1∶2，則菱形的面積是______cm2.

題3：（文字命題的證明）求證：菱形的四條邊都相等.

題4：如圖9，菱形ABCD的邊AB上有一點F，連接DF交AC于點E.當∠AFD=70°時，求∠CBE的度數.

題5：如圖6，菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD 上.若∠EAF=60°，判斷△AEF的形狀，并說明理由.

圖9

設計意圖：這5個小題分別對應本課學習的順序，檢測題在課中都能找到原型或“影子”.

附：板書設計

二、教學立意的進一步闡釋

1.通過對話追問向學生傳遞圖形研究的“基本套路”意識

如鄭毓信教授所指出的，當前教學研究的一個重點即是從關注“教”轉向關注“學”，深入下去，應該是在關注“學”的前提下重新思考“教”，也就是心中裝著學情、預設和促進生成的情況下設計教學的各個環節.上文課例中，我們在各個教學環節都充分考慮了與學生的可能對話與互動，并且跟進追問，促進對話.比如，在探究菱形性質的教學環節，通過先觀察菱形從猜想與證明的角度得出菱形的性質，讓學生在對話中增強研究菱形問題的“基本套路”意識，促進學生從“學會”到“會學”，促進學生“學力”的發展（李庾南老師語）.

2.利用變式拓展促進學生體會特殊菱形在解題中的價值

數學教學離不開解題教學，解題教學走向高效的一個途徑就是課前認真選取典型問題，并在此基礎上設計豐富的變式拓展問題，將學生對一個典型問題的思考引向深處，一方面實現了“做一題、會一類、通一片”的解題效果，另一方面也是追求有深度的教學效果.比如，我們在例題講評環節選用的例1是教材上的原型問題，而例2則將例1的生活情境抽象掉，變成一個純幾何問題，保留含60°角的特殊菱形的基本結構，在此基礎上預設了系列變式，追求了很好的教學效果，讓不同層次的學生都有向上的動力.而且最后的課堂檢測第5題，也跟進檢測聽課效果.順便指出，根據筆者近年來的教學經驗，加強對所講評過習題的變式檢測，對評估學生是否真正聽懂確有實效，值得更多一線教師跟進實踐和研究.

三、結束語

章建躍博士指出：“教學設計能力是教師專業水平和教學能力的關鍵，其本質是‘理解數學，理解學生，理解教學’的水平和能力.”想來，就筆者所見有很多所謂的“熱點研究”，歸根到底還是應該落實在自己的課堂教學中去，而教學設計這項基本功的修煉應該是永遠“在路上”，也正是基于上述認識，筆者把自己的一節常態教研課呈現出來，拋磚引玉，期待更多苦心經營的教學設計的實踐與反思，讓教學設計研究走向更深處.

參考文獻：

1.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.

2.章建躍.全面深化數學課改的幾個關鍵［J］.課程·教材·教法，2015，35（5）.