電場問題的簡化策略

王宇陽

摘 要：通過對不同種電場的場強（E）和電勢（φ）等概念的研究，結合中學物理電學知識，得到電場所含物理量的規律及相互關系，從而得到解決相關物理問題的簡便方法。

關鍵詞：電場問題；簡化策略；規律

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）26-0242-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.26.157

一、一個點電荷形成的電場

眾所周知，一個點電荷形成的是非勻強的電場，其電場強度（E）和電勢（φ）大小的分布規律有其自身的特點，點電荷的電場線總體分布呈“球心放射狀”。電場矢量的方向既為電場強度（E）的方向，又是電場強度減弱的方向，同時也是電勢（φ）降低的方向。

由點電荷場強公式以及電勢公式作出φ-R圖像，見圖1所示。

圖1中，R為電場中某點到場源電荷Q的距離，則有，即圖像在該點切線的斜率等于電場強度（E）。

過點電荷的橫切面上，電場的電勢用等勢面表示見圖2，同一條虛線上電勢相同。若場源電荷為正，則φA>φB>φC；若場源電荷為負，則φA<φB<φC。

以正場源電荷為例，以一條電場線為一條軸R（表示與場源電荷的距離），以過場源電荷且垂直于電場所在平面的直線為另一條軸φ（表示電勢高低），再引入一個新變量θ（表示在電場所在平面內，沿R軸逆時針轉過的角度），作出φ-（R，θ）圖像，相當于將圖1中曲線繞O-φ軸旋轉一周，如圖3。其中：A點表示所得曲面上任意點，其坐標為 ， 表示A點在過場源電荷的橫切面上的位置，φ0則表示該位置電勢，A點在其與φ軸共同確定的面上的斜率大小表示該位置的電場強度（E0）的大小，由此，可以求出與電勢能等相關的圖像。

圖3電荷的電勢-空間位置分布

顯然，圖3很直觀地體現場源電荷所在平面內的電勢等物理量的分布特點。利用此圖，將電勢的概念形象為重力場中的海拔高度，結合生活經驗，就能解決抽象的電場問題。下面用案例一作進一步剖析。

案例一：

如圖4示，在點電荷Q產生的電場中，已知a，b兩點在同一等勢面上，c，d在同一等勢面上，無窮遠處電勢為零。甲、乙兩帶電粒子經過a點時動能相同，甲粒子運動軌跡為acb，乙粒子運動軌跡為adb。由此可判斷（ ）。

A.甲粒子經過c點與乙，粒子經過d點時動能相等

B.甲乙粒子帶同種電荷

C.甲粒子經過c點時的電勢能小于乙粒子經過d點時的電勢能

D.兩粒子經過b點時擁有相同動能

解析例一：

（1）甲粒子軌跡為acb，即在c點時受電場力方向由c指向場源電荷Q，故甲粒子與場源電荷帶異種電荷（參照圖5模型，甲粒子在該電場中的電勢能與位置的關系如圖5。

a到c過程中，電場力對甲粒子做正功，甲粒子動能增大、電勢能減小；

c到b過程中，電場力對甲粒子做負功，甲粒子動能減小、電勢能增大。

（2）乙粒子軌跡為adb，即在d點時受電場力方向由Q指向場源電荷c，故乙粒子與場源電荷帶同種電荷。

a到d過程中，電場力對乙粒子做負功，乙粒子動能減小、電勢能增大；

d到b過程中，電場力對乙粒子做正功，乙粒子動能增大、電勢能減小。

選項分析：

甲粒子從a到c動能增大，乙粒子從a到d動能減小，又由兩粒子初始動能相等，得甲粒子經過c點時的動能大于乙粒子經過d點時的電勢能；A選項錯誤。

甲粒子與場源電荷帶異種電荷，乙粒子與場源電荷帶同種電荷；B選項錯誤。

甲粒子與場源電荷帶異種電荷，故電勢能恒為負，乙粒子與場源電荷帶同種電荷，故電勢能恒為正；C選項錯誤。

a、b兩點位于同一等勢面上，即甲乙兩粒子在從a到b全過程中的初末電勢能不變，由動能定理，他們在從a到b全過程中的動能也不變；D選項正確。

答案：D

二、兩個（或多個）點電荷形成的電場

分析兩個（或多個）點電荷形成的電場時，可利用電場疊加原理，得到兩個（或多個）電荷形成的電場，求得有關電場強度（E）、電勢（φ） 等分布的規律，進而解決相應問題。現在再分析以下例題。

案例二：

如圖6，電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中C點電勢最高，則下列說法正確的是（ ）。

A：C點的電場強度大小為零；B：A點的電場強度大小為零；C：NC間場強方向向x軸正方向； D、將一負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功。

解析：（以q1、q2分別表示兩點電荷）

（1）由圖，q1處電勢為正無窮，故q1帶正電；q2處電勢為負無窮，故q1帶負電。

（2）因為q2右側仍有電勢大于零處，故q1帶電荷量大于 q2。

選項分析：圖6中φ-x圖像在C點處切線斜率為零，在A點處切線斜率不為零，由圖1及其結論得，C處電場強度為零，A處電場強度不為零。故A選項正確，B選項錯誤。φ-x圖像中，N點電勢高于C，可判斷電場強度方向為由C到N，C選項錯誤。

根據，負點電荷電勢能變化情況如圖7示。

N到C過程中，負點電荷電勢能減小，電場力對該電荷做正功；C到D過程中，負點電荷電勢能增大，電場力對負點電荷做負功。D選項正確。

答案：AD

三、平行板電容器形成的電場

平行板電容器的兩個極板分別帶等量異種電荷且點和分布均勻，正負極板之間產生勻強電場（忽略邊緣效應）。電容器的電容C的決定式及定義式（ε為介電常數，k為靜電常數）；主要變量中，S為極板相對有效面積，d為極板間距離，U為兩極板間電勢差，Q為極板所帶電荷量。其電路圖以及產生電場的特點如圖8示。

由物理課本相關內容：該電場中電場強度（E）方向處處相同、大小處處相等且都為。

如圖8其中O點為兩極板表示的點相連線段的中點，x表示電場中的位置，φ表示該位置的電勢。圖像斜率為，（E為電場強度）即斜率為該點處的電場強度E，且斜率與Q成正比 。可見圖像斜率既可以直接表示電場強度E，又可以間接表示兩極板所帶的電量Q。現進行以下討論：

（一）兩極板所帶電荷量Q不變

保持兩極板帶電量Q不變，改變兩極板間距離d或有效正對面積S，會對電場產生以下的影響，如圖9示。

①增大極板間的距離d，由公式，得兩極板間電勢差U增大；φ-x圖像中：電勢最大值增大，最小值減小，由于Q不變，圖像斜率不變，即tanα=tanβ=不變；

②減小極板間有效正對面積S等效于1中增大極板間距離d；

③減小極板間的距離d，由公式，得兩極板間電勢差U減小，φ-x圖像中，電勢最大值減小，最小值增大，電量Q不變，圖像斜率不變，即tanα=tanβ=不變；

④由于，增大兩極板有效正對面積S時，等效于3中減小極板間距離d。

（二）兩極板間電勢差U不變

保持兩極板間電勢差U不變，改變兩極板間距離d或有效正對面積S，會對電場產生以下的影響，如圖10所示。

①增大極板間的距離d，由公式，得兩極板所帶電荷量Q減小，φ-x圖像中：圖像斜率減小，即 =tanβ

②減小極板間有效正對面積S等效于1中增大極板間距離；

③減小極板間的距離d，由公式，得兩極板間所帶電荷量Q增大，φ-x圖像中，圖像斜率增大，即= tanα>tanβ=；由于U不變，電勢最大值和最小值不變；

④由于，增大兩極板有效正對面積S時，等效于3中減小極板間距離d。

案例三：

如圖11，在平行板電容器正中有一個帶電微粒。K閉合時，該微粒恰好能保持靜止。在保持K閉合、充電后將K斷開的前提下，用什么方法可以使它打到上極板（ ）

A.上移上極板M B.上移下極板N

C.左移上極板M D.把下極板N接地

解析：

（1）由題得粒子受電場力和重力，且正處于平衡狀態，即電場力和重力等大反向（重力豎直向下，電場力豎直向上）。

（2）要使粒子打在上極板，需要增大電場力，使其上移。題中前提表明兩極板間電勢差保持不變，符合上述討論中（2）。 選項分析：

由圖11中的分析及結論：上移上極板M（相當于過程①）會使電場力減小；上移下極板N（相當于過程③）

會使電場力增大：左移上極板M（相當于過程②）會使電場力減小；故A、C錯誤，B選項正確。

把下極板N接地會使N板電勢由正值變為零，而M板電勢不變；故兩極板間電勢差減小電場力減小；D選項錯誤

答案：B

總之，解決抽象的電場問題利用圖像法代替繁雜的公式的簡化策略，更加直觀、不易出錯，簡單可靠。