幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的新視域

王薏

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展兒童的幾何直觀，能幫助兒童更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和促進思維的發(fā)展，提升兒童分析問題和解決問題的能力。幾何直觀既是一種方法，又表現(xiàn)為兒童運用這種方法的能力。探尋數(shù)學(xué)課堂發(fā)展兒童幾何直觀的路徑，可以借助直觀模型，發(fā)展兒童形象思維；可以創(chuàng)設(shè)操作空間，發(fā)展兒童直觀思維；可以運用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展兒童圖形語言；可以利用信息技術(shù)，發(fā)展兒童空間想象力。發(fā)展兒童幾何直觀，最終形成對幾何的明銳洞察力和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何 幾何直觀 含義 教學(xué)實踐 教學(xué)建議

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，數(shù)學(xué)學(xué)科無論從課程設(shè)計理念、教學(xué)目標(biāo)和教材編寫等方面都有了新的改變與嘗試。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》首次將“幾何直觀”作為新增的4個核心概念之一，它不僅存在于“圖形與幾何”教學(xué)之中，而且對“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都發(fā)揮著重要作用，可以說幾何直觀貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。因此在小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生的幾何直觀應(yīng)引起廣大一線教師的重視，我們既應(yīng)厘清概念、明晰價值，更應(yīng)不斷探尋其培養(yǎng)的路徑，并落實于課堂教學(xué)之中。

一、對“幾何直觀”及相關(guān)概念的解析

“幾何直觀”的提出并不是構(gòu)建一個新的數(shù)學(xué)概念，而是化抽象為具體，幫助兒童加深對數(shù)學(xué)的理解，把抽象的數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)換成易于理解和運用的直觀形式，引導(dǎo)兒童形成各種直觀的概念意象，靈活地運用各種幾何直觀形式，幫助兒童理解數(shù)學(xué)。

（一）什么是“直觀”

所謂直觀，《辭海》（第六版）的解釋是：“①即感性認(rèn)識。其特點是生動性、具體性和直接性；②指舊唯物主義對認(rèn)識的理解。”《中國大百科全書》的解釋是：“通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識。”通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西，更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西和以前看到的東西進行思考和想象。

（二）什么是“幾何直觀”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。”正如數(shù)學(xué)家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中所談到的：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。”幾何直觀憑借圖形的直觀性特點，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來，啟迪學(xué)生的思維，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

（三）“幾何直觀”是否等同于“數(shù)形結(jié)合”

通過理論學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)兩者既相互交融又有不同。數(shù)形結(jié)合涉及圖形中的“形”與數(shù)量中“數(shù)”兩個對象，其中“形”主要是指幾何圖形和坐標(biāo)系中的圖象；而幾何直觀中的圖形不僅包括數(shù)形結(jié)合中的“形”，也包括憑借相關(guān)經(jīng)驗在頭腦中想象出的圖形、圖示甚至不規(guī)則的示意圖。數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。在解決問題時，借助“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，同時反過來用“數(shù)”與“式”的描述來刻畫“形”的特征；幾何直觀含有數(shù)形結(jié)合中“以形助數(shù)”的方面，但還包括由“形”到其他領(lǐng)域的問題。如借助長（正）方體的展開圖研究其表面積、用割補等方法探究平行四邊形的面積等。研究“幾何直觀”的最終目的是發(fā)展兒童的幾何直觀能力，促進其數(shù)學(xué)思考方法的發(fā)展，從而提高解決實際問題的能力。

二、發(fā)展兒童“幾何直觀”的教學(xué)實踐

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展兒童的幾何直觀，能幫助兒童更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和促進其思維的發(fā)展，提升兒童分析問題和解決問題的能力，而且有助于創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)。幾何直觀既是一種方法，又表現(xiàn)為兒童運用這種方法的能力。幾何直觀能力包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力等。

（一）借助直觀模型，發(fā)展兒童形象思維

所謂形象思維又稱“直感思維”，是指以具體的形象或圖像為思維內(nèi)容的思維形態(tài)。它對于發(fā)展兒童的幾何直觀十分重要。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖形表象相結(jié)合，抽象思維與形象思維相結(jié)合，直觀表述出問題的本質(zhì)，幫助兒童思考。借助“直觀模型”可以促進兒童積極地思考、分析問題，從而發(fā)展思維能力。如教學(xué)人教版五年級下冊“打電話”時，教師拋出研討問題：李老師要通知7名同學(xué)到校，如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，怎樣能夠盡快通知到這些同學(xué)？至少需要幾分鐘？請你大膽猜測一下。教師話音剛落，“7分鐘、6分鐘、5分鐘……”學(xué)生的答案此起彼伏。“到底誰的答案正確呢，你們能不能想辦法說明一下？”教師引導(dǎo)學(xué)生把抽象的問題通過示意圖，直觀地表達出來，促進其思考。

在表達思考過程時，絕大部分學(xué)生利用畫樹狀圖的形式來描述。這樣，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，簡明、直觀地呈現(xiàn)出來，并且學(xué)生借助示意圖發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律：從第2分鐘開始，新增接到通知的人數(shù)是前1分鐘人數(shù)的2倍。教學(xué)中，教師鼓勵學(xué)生借助直觀模型（示意圖）把打電話通知的過程簡潔地描述出來，用示意圖輔助學(xué)生思考，學(xué)生通過畫圖、讀圖，找到了問題的答案，同時借助直觀模型，發(fā)展了學(xué)生的形象思維。

（二）創(chuàng)設(shè)操作空間，發(fā)展兒童直觀思維

所謂直觀思維，就是人們不經(jīng)過逐步分析，而迅速對問題的答案做出合理的猜測、設(shè)想或頓悟的一種躍進性思維。它與幾何直觀都具有思維的跳躍性。直觀思維是在動手操作中發(fā)展起來的。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)為兒童提供動手操作的機會，調(diào)動兒童的多種感官，使其參與到數(shù)學(xué)活動之中，充分感知大量直觀形象的事物，獲得感性認(rèn)識，從而發(fā)展兒童的直觀思維。如教學(xué)人教版三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，教師出示例題：每套書有14本，王老師買了12套。一共買了多少本？教師引導(dǎo)學(xué)生進行估算之后，提出問題：你能計算出一共有多少本嗎？然后鼓勵學(xué)生用手中的點子圖，在上面畫一畫，找到解決問題的方法，并且寫出自己的思考過程。隨后展示學(xué)生的多樣化算法，具體如下：

在操作過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助點子圖，通過圈一圈、畫一畫、寫一寫，建立起圖、口算算式與筆算算式之間的聯(lián)系，學(xué)生通過在點子圖上表示出計算方法，將新知轉(zhuǎn)化為舊知解決了新問題，其中圖6學(xué)生呈現(xiàn)的解決方法與豎式計算的算理相對應(yīng)，為后面學(xué)生理解豎式計算的算理和算法做好鋪墊。學(xué)生在操作過程中，直觀思維也得到了很好的發(fā)展。

（三）運用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展兒童圖形語言

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀。”數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)與具體的形有機結(jié)合起來，由圖形帶來的直覺，能增進兒童對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)他們的創(chuàng)造力，而對圖形的探索和推導(dǎo)，則有助于培養(yǎng)兒童借助直觀進行推理的能力，發(fā)展兒童的圖形語言。如教學(xué)人教版五年級上冊“植樹問題”時，教師出示：六年級學(xué)生在全長1000米的小路一邊植樹，每隔10米栽一棵。一共需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？請學(xué)生大膽猜測樹苗的棵數(shù)。“100棵、99棵、101棵”學(xué)生中出現(xiàn)了不同的答案。“你們有沒有辦法來說明自己的思考？”在教師的啟發(fā)下，學(xué)生一致認(rèn)為，先研究數(shù)據(jù)小的情況。學(xué)生提出：先研究在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？教師鼓勵學(xué)生呈現(xiàn)自己的思考過程，絕大部分學(xué)生采用了畫線段圖的方法來表示出不同的栽法。

在解決問題時，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀的圖形語言，建立了抽象與直觀之間的聯(lián)系，學(xué)生從直觀圖形中提取所反映的信息，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思考的能力，進而解決問題。因此，發(fā)展學(xué)生的圖形語言是提高解決問題能力的重要途徑。

（四）利用信息技術(shù)，發(fā)展兒童空間想象力

所謂空間想象力，就是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力。隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展與成熟，為數(shù)學(xué)研究提供了很多便利條件，尤其是在研究圖形的旋轉(zhuǎn)與平移等各種動態(tài)的數(shù)學(xué)問題中，借助信息技術(shù)手段， 可以豐富研究和思考的形式，讓一些需要想象的幾何圖形能直觀地呈現(xiàn)出來。如教學(xué)人教版五年級下冊“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，教師設(shè)計了在方格紙上操作三角形旋轉(zhuǎn)90°的活動（如圖8）。首先，請學(xué)生想象三角形AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后到方格的位置。其次，利用三角形學(xué)具，在有方格的紙上進行操作，對剛才的想象進行驗證。最后，再次展開想象，如果依次繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，最終會旋轉(zhuǎn)成一個什么圖案？（如圖9）請學(xué)生大膽想象，之后教師通過多媒體課件的動態(tài)演示，驗證學(xué)生的猜測。課上，教師將想象與操作有機結(jié)合，通過動態(tài)演示，有效地激發(fā)了學(xué)生的空間想象力。

三、發(fā)展兒童“幾何直觀”的教學(xué)建議

小學(xué)階段兒童的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步過渡到抽象邏輯思維，因此在小學(xué)階段發(fā)展兒童的幾何直觀可謂是最佳時期。而發(fā)展幾何直觀需要遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進。教師在發(fā)展兒童“幾何直觀”時需注意以下幾點。

（一）注重數(shù)學(xué)實驗，積累豐富表象

幾何直觀是一種立足于“形”卻帶有思維跳躍性的解決數(shù)學(xué)問題的方式，它是基于表象的、在人頭腦中進行的“快捷推理”。因此，在觀察、測量、畫圖等實驗活動中，應(yīng)運用多種感官參與，積累豐富表象。

（二）充分參與活動，經(jīng)歷探究過程

幾何直觀既是一種方法，又是一種運用方法的能力，因此，發(fā)展幾何直觀離不開有效的實踐活動，只有兒童經(jīng)歷自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和體驗的過程，才能獲得能力的提升。

（三）運用幾何語言，鼓勵交流對話

發(fā)展兒童的幾何直觀，需要在教學(xué)中鼓勵兒童大膽地把自己所看、所想用正確的幾何語言描述出來，幾何語言的運用是反映兒童幾何直觀水平的另一角度。

總之，發(fā)展幾何直觀對促進兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有十分重要的作用，同時它是兒童數(shù)學(xué)能力的重要組成部分。教學(xué)時，教師要依據(jù)兒童的年齡特點，以學(xué)習(xí)內(nèi)容為依托，用直觀架起具體與抽象的橋梁，逐步引導(dǎo)兒童借助“形”研究和思考問題，引導(dǎo)兒童穿梭于圖形直觀與抽象概念之間進行探索，從而提高兒童解決問題的能力。

參考文獻：

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（北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校雙花園校區(qū) 100125）