歸納思維能力培養的三個階段

邢紅琴

【摘 要】歸納思維在數學學習過程中發揮著重要的作用，其思維水平的發展是一個不斷遞進、連續建構的過程。小學階段根據學生年齡特點在具體的教學活動中可利用思維活動經驗的積累過程，分“啟蒙、發生、發展”三個階段逐步培養。啟蒙階段在觀察、操作中激活思維活動經驗，喚醒歸納思維的意識；發生階段借助猜想、表達積累思維活動經驗，夯實歸納思維的基礎；最后在檢驗、評估中應用思維活動經驗，形成歸納思維的基本模式。在循序漸進的過程中幫學生積累思維經驗，并由淺入深地促進學生歸納思維的發展。

【關鍵詞】 思維活動經驗 歸納思維 三個階段

小學數學的各種概念，以及計算法則、計算公式、運算性質等命題，絕大多數是通過較為豐富的具體實例，逐步抽象、概括得出的，在這個過程中歸納思維占據了主導地位。歸納思維是學生開展歸納推理的內在思維特點，歸納推理的過程也是思維活動的過程。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）明確提出，歸納推理的學習應該貫穿在整個小學階段的認知活動中。雖然《課標》在“學段目標”的“數學思考”和“情感與態度”部分的表述中對歸納推理提出了不同層次的要求，提及了歸納推理培養的過程，也針對各個學段學生的年齡特點給出了教學建議。但是大部分教師對其目標定位的理解還是比較模糊，對數學課程中關于歸納推理的要求沒有形成完整系統的認識，因此在教學中便存在無序、隨意、有心無力的現象，導致將一些具有教育價值的教材內容或有歸納功能的練習題退化成了一般的數學內容講解和習題演練。怎樣訓練學生的歸納思維從而促進其歸納推理能力的形成呢？筆者以數學思維活動經驗的積累為視角在小學數學教學中開展了一系列的實踐與研究，并遵循由淺入深、由具體到抽象、從低級向高級的發展原則，將學生歸納思維的培養過程大致分成啟蒙階段、發生階段、發展階段，現結合不同階段的教學案例加以闡述與說明。

一、啟蒙階段——在觀察、操作中喚醒意識

【案例1】一年級下冊“找規律”

（說明：通過畫一畫、擺一擺活動學會觀察，積累思維活動經驗，了解規律。）

一年級的學生在生活中已經有了關于歸納的生活閱歷和日常經驗，這些生活經驗對于歸納思維的培養是有利的，但還遠遠不夠。此時，學生是通過觀察對數學對象產生感性的認識，但是他們往往對獲得的結論以及過程不能準確地用語言、文字或者符號加以說明或者表達。教師要根據學生的年齡特征在數學教學中為學生創造思維活動的機會，以實物、具體圖形、具體數量為載體，讓學生在這樣的活動中初步掌握觀察的方法，養成觀察的習慣，在觀察中思考，獲得學習歸納思維的啟蒙訓練，并在動手操作的活動中初步培養歸納推理的意識。在案例1中，學生正是在觀察、操作的活動中，激活數學思維經驗，學會觀察的角度、順序、方法，進而了解數學規律，形成觀察的意識。再如：一年級的學生在計算的過程中經歷了大量類似于1+2=2+1的計算，已經逐漸積累了“兩個數交換位置和相等”這樣的表層經驗，只是還不會完整地進行交換律的表征，因此我們可以在觀察的基礎上經常開展一些具有規律性的演算歸納訓練。如讓學生演算下面各題后，發現一種規律：7-7=□，6-6=□，5-5=□，…9-8=□，8-7=□，…2-1=□。計算教學從低年級的整數加減法到高年級的分數乘除法，幾乎都是通過一系列的具體算例歸納計算方法的，只要我們在一年級開展類似觀察、操作的活動訓練，就能激活學生思維經驗，幫助他們有序地進行思維，從而喚醒學生歸納思維的意識。

二、發生階段——在猜想、表達中夯實基礎

【案例2】二年級下冊“推理”

有語文、數學和品德與生活三本書，下面三人各拿一本，小紅說：“我拿的是語文書。”小麗說：“我拿的不是數學書。”你能判斷出小剛拿的是什么書？小麗呢？

（說明：會主動選擇有用信息進行簡單的歸納和類比。）

師：從題目中，你知道了什么？要解決的問題是什么？“有語文、數學和品德與生活三本書，下面三人各拿一本”這句話是什么意思？

師：他們三人分別拿的是什么書呢？請同學們先想一想，然后把解決問題的過程用自己喜歡的方式記錄在紙上。完成后把你的想法在小組內交流一下。

反饋：

1.語言表達：小紅拿的是語文書，那小麗和小剛拿的就是數學書和品德與生活書。小麗又說她沒拿數學書，她肯定拿的就是品德與生活書，剩下的小剛拿的就是數學書了。

2.連線表達：把人名和書名寫成兩行，再根據每一個條件分別連線（如右圖）。

3.列表表達：寫上三個名字，再根據推測在名字下方寫上相應的書名（如右圖）。

【案例3】三年級下冊“筆算乘法”

算一算，想一想

3×3-2×4=；4×4-3×5=；5×5-4×6=

1.你發現了什么規律？（相鄰三個整數組成的乘減算式，計算結果都是1）

2.按照你發現的規律，寫三個這樣的等式。（6×6-5×7=1；7×7-6×8=1；8×8-7×9=1……）

3.你能不計算寫出下列結果嗎？25×25-24×26=； 98×98-97×99=

（說明：不但用歸納思維解決新問題，而且發現新結論，這個結論可以提高計算技巧，激發求知欲。）

【案例4】四年級下冊“三角形內角和實踐活動”

要求：我們知道三角形三個內角之和是180°。自己想辦法探索一下四邊形的四個內角之和是多少度？說說你是怎樣得出結論的。

（說明：能進行有條理的思考，并對結論的合理性作出有說服力的說明。）

生：我畫了一個長方形，它的每一個角都是90°，四個角為360°。

生：我隨便畫了一個四邊形，量了一下四個角的度數，加起來正好是360°。

生：因為任何一個四邊形都可以分割成兩個三角形。而三角形的內角和我們已經驗證過是180°，因為兩個三角形的內角和是360°，所以四邊形的內角和是360°。

……

小學中段的學生正處于歸納思維的發生階段，教師要做到以下幾點：第一，善于發掘題目中蘊含的教育契機，用心設計教學，給學生創造機會進行有根據、有條理的思考與表達，這也是與推理能力密切相關的思維習慣的培養。案例2中教師根據學生的年齡特征先引導學生提取有用信息，進行簡單的推理，接著開放性地選取自己喜歡的方式對結論進行表達，可以是口頭言語的數學表達，也可以是連線或表格等數學描述。總之是在輕松的氛圍中通過各類形式的表達積累思維活動經驗。第二，要在這一階段鼓勵學生猜想。在案例3中教師結合三年級的筆算乘法的練習讓學生在計算中進行對計算規律的基本認識，并能提出一些簡單的猜想，會用自己的語言或者是數學語言進行表征。而案例4中學生的回答可以清晰地反映出有些孩子能得出正確的結論，但是往往不能對結論作出合理性的說明，說明學生的推理正處于混沌狀態，他們或者以個別代表一般，或者用直覺作根據，或者張冠李戴，缺乏推理的嚴密性。無論是學生隨心所欲提出的猜想抑或脫離數學事實提出的想法，教師都應當引導學生以事實、經驗為基礎，由個別到一般或由此及彼，發現問題、提出問題，大膽假設。在這一階段“猜想”與“表達”密不可分，學生可以在觀察、演算中進行合理的猜想，并在表達中發現規律特征。要引導學生完善推理的語言，理清推理的思路。可以從模仿開始，也可以從復述起步。可以由最開始的“說完整”到“說準確”，到最后要求“說簡單說清晰”。除此之外我們也可以在二、三、四年級的學習中結合數（萬以內的整數、分數、小數）、幾何圖形（簡單幾何體、常見平面圖形）的相關知識學習，通過操作、觀察，對數學對象進行分析比較，發現事物的共同性與差異性，引導學生多多關注數量特征和圖形特征方面的探討。例如在學習“認識角”后可以設計一組練習，認認“其中哪些角與下列角不是同一類”（如左圖），讓學生根據自己感官的知覺發現數學對象的表面特征或者表面的聯系，并且嘗試用適當的語言、符號去表達發現的規律特征。實踐表明，加強猜想表達這樣的環節訓練是可行而有效的，有了猜想與表達便是增加了思辨的過程，那么學生的歸納推理便不再是盲目的。在這一階段的各類訓練中學生將積累大量的思維活動經驗，夯實歸納思維的基礎。

三、發展階段——在檢驗、評估中形成模式

【案例5】 五年級上冊“分數基本性質練習”

小紅將的分子和分母同時加上一個數2，得到新的分數，分數變大。然后又將的分子和分母同時加上一個數3，得到新的分數，分數也變大。于是，小紅得出結論：“分數的分子和分母同時加上一個大于0的數，分數變大。”你認為她說的對嗎？為什么？

（說明：通過舉反例推翻結論，說明枚舉歸納所得結論不一定是正確的。）

生：老師，我發現小紅說的是對的，因為我又舉了、試了一下，得到的新分數還是比原來的分數大。

師：你用大量的例子去說明一個猜想，的確是一種方法。還有誰也舉例了？（教師將學生列舉的數寫在黑板上）請你們觀察一下你們舉例的分數，有什么想說的？

生：老師，我發現這些分數都是真分數，我覺得應該舉一個假分數試試。

師：你的想法非常有價值，要想說明她的結論對或錯，舉例的時候的確要考慮各類分數才更嚴密。

生3：的分子和分母同時加上1，得到的分數為，分數變小了。小紅的說法是錯的。

師：剛才大家的說明過程非常寶貴，說明雖然有大量的舉例說明她的結論是對的，但是只要舉出一個反例就能將結論推翻。這個結論對真分數是成立的，對假分數不成立。

【案例6】六年級下冊“圓錐的體積”

（說明：在具體的教學任務中，提出猜想，應用素材進行驗證得出結論，掌握合情推理的基本方法和模式。）

1.提出任務：圓錐體積

2.提出猜想

猜想1：我們猜想圓錐的體積可能和圓柱的體積有關。猜想理由：圓柱與圓錐的底面都是圓形，側面都是一個曲面，而且圓柱能削成一個圓錐，它們很相似。

猜想2：我們研究的時候應該用等底等高的圓柱和圓錐。因為圓柱的體積是由高和底面積決定的，圓錐的體積可能也是由底面積和高決定，用等底等高的圓柱與圓錐比較方便。

猜想3：兩者有什么關系呢？圓錐的體積肯定比等底等高的圓柱體積要小，會是二分之一嗎？

3.實驗驗證

驗證1：

材料：等底等高的實心圓柱、圓錐，長方體容器、水、尺子。

在長方體容器中倒入適量的水，然后放入圓柱，量出水面上升的高度是3厘米，然后再放入圓錐，上升的高度是1厘米，由此得出圓柱的體積是圓錐的3倍。

驗證2：

材料：同等材料等底等高的實心圓柱、圓錐，天平。

在天平左盤放上圓柱，右盤放上圓錐，當放到第3個圓錐時天平平衡。由此證明圓柱的體積是圓錐的3倍。

驗證3：

材料：等底等高的空心圓柱、圓錐，細沙。

先在圓錐中倒滿細沙，再倒入圓柱。這樣倒了3次，圓柱剛好倒滿。證明以上結論的正確性。

4.得出結論：圓錐的體積等于和它等底等高圓柱體積的。

在小學的五、六年級，學生經過四年的學習已經積累了大量的活動經驗以及思維經驗，教師要根據教學內容創設學習任務，并結合數、形知識的進一步擴展，繼續深化觀察、分析、比較、分類及實驗等活動，幫助學生應用以及掌握小學階段歸納推理的基本模式，即“從問題出發→提出猜想→實驗驗證（舉例驗證）→形成歸納→驗證推廣”。在這個階段學生不僅能對所獲得的結論（猜想）的正確性通過足夠多的、具有典型性的特例進行實驗、計算檢驗并作出評估，也能對錯誤結論用反例確認。通過錯誤猜想，使學生懂得歸納所得的結論具有或然性，從而明確檢驗的必要性，并能用反例推翻錯誤猜想。美國課程標準認為：“在學習的過程中形成猜想并在經驗的基礎上對猜想作出評估應該是常規。學生應該認識到幾個例子說明猜想正確是不夠的，并認識到可以用反例來反駁一個猜想。他們應該學習通過考慮一系列例子，能夠對一般性質以及他們發現的聯系進行推理。”[5]同時在授課內容的選擇上既要結合正在學習的數學概念和性質，又要更多側重于數量之間、圖形之間以及數形之間的關系方面的探討。需要說明的是，在小學高年級蘊含著眾多演繹推理的教學契機，兩種推理形式相輔相成。我們要努力使學生既能發現結論，又能驗證結論，為進入初中形成完整的數學推理能力做好鋪墊與銜接。

歸納思維的學習是貫穿整個小學階段的認知活動。學生歸納思維的形成建立在實踐的基礎之上，更多地依賴于過程。而過程的教學在于“學生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等”。在教學中我們要充分認識和體會歸納思維水平的發展是一個不斷遞進、連續建構的過程。在啟蒙階段我們側重于直觀的、幾何形象的、數量相對較少的數學對象，關注對象外部特征、外部關系的內容。發生階段則關注從直觀形象的狀態向本質抽象水平的過渡。到了發展階段，則可選擇抽象的、數量相對較多的數學對象，側重于內部特征與內部關系的內容，并注意探討數學對象與屬性之間的因果聯系。我們相信，只有讓學生經歷用歸納思維解決問題的全過程，學生才能在循序漸進中不斷積累思維活動經驗，才能在知識形成過程中理解數學知識，最終發展歸納思維并形成歸納推理的能力。

參考文獻：

[1]曹培英.“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）[J].小學數學教師，2015（7～8）.

[2]曹培英.“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（下）[J].小學數學教師，2015（9）.

[3]王瑾.小學數學課程中歸納推理的理論與實踐研究[D].東北師范大學，2011.

[4]史寧中.《數學課程標準》的若干思考[J].數學通報，2007（5）.

（浙江省湖州市吳興區妙西學校 313000）