思考核心問題積累思維經(jīng)驗(yàn)

沈華斌 范新林

【摘 要】數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)積累，以“面積板塊”教學(xué)為例，教師可以以“與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對(duì)嗎，如何驗(yàn)證？”為核心問題，以及這些問題在不同階段的表達(dá)形式，闡述如何幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的思維能力。

【關(guān)鍵詞】核心問題 思維經(jīng)驗(yàn) 面積教學(xué)

“面積板塊”教學(xué)是從認(rèn)識(shí)“面積和面積單位”開始的，那么面積教學(xué)的思維生長(zhǎng)點(diǎn)是什么呢？帶著學(xué)生去思考：平面圖形的面積大小“與什么有關(guān)？是什么關(guān)系？關(guān)系對(duì)嗎，怎么驗(yàn)證？” 本文試圖結(jié)合面積板塊的教學(xué)談?wù)剬?duì)“思維經(jīng)驗(yàn)”的認(rèn)識(shí)。

一、懵懂階段——在幫扶下感受面積計(jì)算

【案例1】長(zhǎng)方形的面積

1.自主探究

師：請(qǐng)同學(xué)們大膽地猜測(cè)，長(zhǎng)方形的面積和什么有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？

生：和長(zhǎng)有關(guān)。

生：和長(zhǎng)、寬都有關(guān)。

生：和周長(zhǎng)有關(guān)。

2.實(shí)踐探究，合作交流

師：你們的猜測(cè)是否正確呢？現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們觀察合作要求，運(yùn)用相關(guān)學(xué)具（1平方厘米的正方形），完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

課件出示合作要求：

（1）以小組為單位，運(yùn)用小正方形學(xué)具擺一擺、數(shù)一數(shù)，合作搭建3個(gè)長(zhǎng)方形，完成實(shí)驗(yàn)記錄表。

（2）仔細(xì)觀察記錄表，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）嘗試用比較規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)驗(yàn)過程及實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

反饋：

生：我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積和它的長(zhǎng)和寬有關(guān)，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

師：你們是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生：我們通過先把正方形學(xué)具擺一擺，一行擺4個(gè)，擺這樣3行，就擺成了一個(gè)長(zhǎng)方形。再數(shù)一數(shù)、算一算，它的面積就是3×4=12（平方厘米）。

師：哪些小組聽懂了他們組的發(fā)言，也來說一說。（請(qǐng)其他小組發(fā)言）

師：那長(zhǎng)方形的面積和它的周長(zhǎng)有關(guān)嗎？

生：沒有直接的關(guān)系，比如我們小組擺了每行6個(gè)，有這樣2行的長(zhǎng)方形，面積大小和長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形一樣，都是12平方厘米，但它們的周長(zhǎng)是不一樣的。

生：我們組也認(rèn)為沒有關(guān)系，周長(zhǎng)同樣是16厘米的長(zhǎng)方形，可以擺成長(zhǎng)6厘米、寬2厘米，也可以擺成長(zhǎng)5厘米、寬3厘米，還可以擺成長(zhǎng)7厘米、寬1厘米，但它們的面積分別是12平方厘米、15平方厘米、7平方厘米。

……

師：讓我們?cè)賮聿聹y(cè)問題，現(xiàn)在覺得長(zhǎng)方形的面積和什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系呢？我們是怎么得到這樣的關(guān)系的呢？

生：和長(zhǎng)、寬有關(guān)。

生：“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的關(guān)系。

【思考】

思維經(jīng)驗(yàn)的形成是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)中形成的，對(duì)于“數(shù)的大小、長(zhǎng)度的多少”學(xué)生已經(jīng)有前經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)積累：明確了面積單位的統(tǒng)一后，單位正方形的個(gè)數(shù)就是圖形面積的大小。這是對(duì)學(xué)生描述性概念的回顧，也是對(duì)后續(xù)面積公式推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)的一種喚起，讓學(xué)生通過用“小正方形學(xué)具擺長(zhǎng)方形”也就順理成章，從而探究長(zhǎng)方形的面積。開始教師通過設(shè)問，讓學(xué)生先提出問題，長(zhǎng)方形的面積與什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？學(xué)生通過實(shí)際動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形的面積探究就是數(shù)出其中若干個(gè)面積單位，一排有幾個(gè)（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)），有這樣的幾排（長(zhǎng)方形的寬），從而推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)、寬有關(guān)，長(zhǎng)方形的面積就等于長(zhǎng)×寬（一共有幾個(gè)面積單位）。在這一階段中，學(xué)生在教師幫扶下初步感受到與面積大小相關(guān)的條件，并且在提供學(xué)具的基礎(chǔ)上通過小組探究“條件之間的關(guān)聯(lián)”，初步體會(huì)長(zhǎng)方形面積如何計(jì)算的探究過程。

二、感悟階段——在引導(dǎo)下感悟面積計(jì)算

學(xué)數(shù)學(xué)是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，教數(shù)學(xué)是讓學(xué)生能夠積累知識(shí)，形成正確思維經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成數(shù)學(xué)能力，這樣的過程才是一個(gè)提升的過程。從長(zhǎng)方形的面積到平行四邊形面積的推導(dǎo)，再到梯形、三角形的面積教學(xué)，這個(gè)教學(xué)過程中又積累了怎樣的思維經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀磕蔷褪歉形蛑R(shí)間的“聯(lián)系”和“轉(zhuǎn)化”，進(jìn)一步體會(huì)探究面積的3個(gè)問題“與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對(duì)嗎，如何驗(yàn)證？”

（一）聯(lián)系：從未知到已知

數(shù)學(xué)不同板塊知識(shí)之間存在著緊密聯(lián)系，特別是未知知識(shí)與已知知識(shí)的聯(lián)系，對(duì)于未知知識(shí)我們經(jīng)常不會(huì)直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結(jié)果（已知知識(shí)），設(shè)法將面臨的問題轉(zhuǎn)化為某一規(guī)范的問題，以便運(yùn)用已知的理論、方法和技術(shù)使未知問題得到解決。

【案例2】平行四邊形的面積

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，之前我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的面積，還記得我們是怎么學(xué)習(xí)的嗎？

師：對(duì)了，在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)我們也來帶著這些問題思考：與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對(duì)嗎？如何驗(yàn)證？

生：和它的底有關(guān)。

生：和底和鄰邊有關(guān)。

生：和底、高有關(guān)。

1.自主探究平行四邊形的面積（每一小格代表1，也可以利用學(xué)具平行四邊形來幫助）。

反饋：

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積和它的鄰邊沒有關(guān)系，因?yàn)閳D①的鄰邊是4分米，底是3分米，相乘得12平方分米，而實(shí)際我們通過數(shù)方格發(fā)現(xiàn)它的面積只有9平方分米。

生2：應(yīng)該和平行四邊形的底和高有關(guān)，將圖①沿著高將它的一半（三角形）平移，與它的另一半合成了一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)是3分米，面積等于9平方分米，正好等于平行四邊形的底和高相乘。

師：圖②你們又是怎樣探究的？

生3： 1+1+1+1+1=5

生4： 1×5=5

2.反饋：你是通過什么方法怎么得到的？

小結(jié)反思：平行四邊形的面積與誰(shuí)有關(guān)？你們是怎么探究的？關(guān)系對(duì)嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，我們把平行四邊形沿著高剪開，變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高。

【思考】

平行四邊形面積推導(dǎo)和長(zhǎng)方形面積探究一樣，同樣是提出3個(gè)問題，在長(zhǎng)方形面積探究中則要求學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，但是對(duì)于學(xué)生來說他們是怎樣想到轉(zhuǎn)化的呢？這就需要經(jīng)驗(yàn)。有的經(jīng)驗(yàn)是長(zhǎng)久積累的，有的經(jīng)驗(yàn)是直接鋪墊的。本片段中體現(xiàn)了學(xué)生將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，或?qū)⑵叫兴倪呅卫梅礁駡D轉(zhuǎn)化成“能數(shù)的面積單位”，或?qū)⑵叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積，從而探究出長(zhǎng)方形的面積與它的底和高有關(guān)。學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了面積單位，會(huì)用數(shù)方格的方法來求出面積的大小。平行四邊形面積中的轉(zhuǎn)化探究是讓學(xué)生體會(huì)到“形狀求變”的策略，面積“大小不變”是基礎(chǔ)。比如圖②的面積探究，生3是原生態(tài)的轉(zhuǎn)化，生4則是在生3的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加工后的轉(zhuǎn)化。這個(gè)過程實(shí)際也是尋找已知與未知聯(lián)系的“思維經(jīng)驗(yàn)”積累，這樣的經(jīng)驗(yàn)積累有助于學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重尋找知識(shí)間的聯(lián)系來探究新知。

（二）遷移：從一例到一類

轉(zhuǎn)化是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí)，達(dá)到最終解決問題。通過轉(zhuǎn)化思想，可以幫助學(xué)生很好地解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行四邊形面積之后，已對(duì)轉(zhuǎn)化方法的運(yùn)用有了一定的基礎(chǔ)，對(duì)平面圖形面積的大小和什么有關(guān)已有了一定的認(rèn)知，在梯形、三角形、組合圖形等面積教學(xué)時(shí)需進(jìn)一步地運(yùn)用，才能內(nèi)化為學(xué)生自己的東西，形成思維經(jīng)驗(yàn)。

【案例3】多邊形的面積

多邊形的面積包括四部分內(nèi)容：平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積。而學(xué)習(xí)這些圖形的面積計(jì)算則以長(zhǎng)方形面積計(jì)算為基礎(chǔ)，教師在教學(xué)中以平面圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開展學(xué)習(xí)。三角形（梯形）的面積與什么有關(guān)，你是怎么發(fā)現(xiàn)的？如下圖：

在學(xué)習(xí)梯形面積時(shí)，轉(zhuǎn)化方法就應(yīng)用得更加靈活，既可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積，如圖：，又可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積，如圖：，也可以轉(zhuǎn)化成多種圖形面積的組合，如圖：等，最終都可以得出梯形的計(jì)算面積公式，從而將新知內(nèi)化為自己的知識(shí)。

知識(shí)技能的獲得和經(jīng)驗(yàn)的積累是相互的。長(zhǎng)方形面積的學(xué)習(xí)是平行四邊形面積推導(dǎo)的基礎(chǔ)，平行四邊形面積的學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)三角形面積積累了經(jīng)驗(yàn)，三角形面積的學(xué)習(xí)為梯形面積的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，三角形和梯形的面積推導(dǎo)直接由平行四邊形面積推導(dǎo)方法遷移而來，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)對(duì)高的認(rèn)知，給三角形和梯形的面積推導(dǎo)帶來了便利，通過將平行四邊形、三角形、梯形之間面積的互相轉(zhuǎn)化，把兩個(gè)完全一樣的三角形或梯形拼補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，厘清了三角形面積大小與它的底和高有關(guān)，梯形面積的大小與上下底之和、高有關(guān)，而在這一過程中正是“轉(zhuǎn)化”方法運(yùn)用的逐步積累，讓學(xué)生在對(duì)面積探究中，逐步完善自己對(duì)面積推導(dǎo)的思維經(jīng)驗(yàn)積累。

三、運(yùn)用階段——在自覺運(yùn)用中探知面積計(jì)算

思維經(jīng)驗(yàn)是一種思考的經(jīng)驗(yàn)，是可以幫助學(xué)生來選擇方法策略的經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一位數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累豐富又善于選擇方法策略的學(xué)生，那么他對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力肯定會(huì)隨著思維經(jīng)驗(yàn)的累積而加強(qiáng)。

【案例4】圓的面積

1.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

師：你打算怎么研究圓的面積？

師：大家還記得平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式分別是如何推導(dǎo)出來的嗎？（學(xué)生回憶后匯報(bào)，教師演示，激活探究思路）

2.第一輪探究——明確思路，體會(huì)轉(zhuǎn)化

小組匯報(bào)。你們小組是怎么研究的？

生：我們小組認(rèn)為圓的面積可能和它的半徑大小有關(guān)，我們的方式是剪圓。

師：怎么剪呢？沿著什么剪？

生：沿著直徑或半徑剪開。

（小組演示2等份、4等份、8等份，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)邊越來越直，剪拼的圖形越來越接近平行四邊形）

3.第二輪探究——明確方法，體驗(yàn)極限

師：剛才我們將圓分別剪成4等份、8等份再拼成新的圖形的目的是什么呀？

生：想把圓形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

師：那還能轉(zhuǎn)化得更像嗎？

生：可以將圓平均分成16份。

（引導(dǎo)學(xué)生把16、32等份的圓拼成近似的長(zhǎng)方形，上臺(tái)展示）

師：從哪兒可以看出這兩幅圖更接近平行四邊形了？

生：邊更直了。

師：是什么方法使得邊越來越直了？

生：平均分的份數(shù)越來越多。

（課件演示，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)把圓平均分成64份、128份……剪拼后的圖形越來越接近長(zhǎng)方形）

師：如果我們平均分的份數(shù)足夠多，最后拼成的圖形就成——長(zhǎng)方形了。

……

師：回憶一下，我們是用怎樣的方法來探究圓的面積的？

【思考】

思維經(jīng)驗(yàn)的累積相比知識(shí)本身更側(cè)重于對(duì)學(xué)習(xí)策略和學(xué)習(xí)方法的逐步積累，在平時(shí)的課堂中讓學(xué)生的思維在課中動(dòng)起來，通過“比較、反思”等方法，以此想通、悟透知識(shí)間的來龍去脈，選擇優(yōu)化的方法策略。學(xué)生到小學(xué)六年級(jí)學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，已經(jīng)積累了多個(gè)平面圖形面積計(jì)算的探究經(jīng)驗(yàn)，通過教師的引導(dǎo)對(duì)面積探究的“3個(gè)核心問題”已有一定的體驗(yàn)和感知，所以在案例4中老師放手讓學(xué)生自主探究，自覺運(yùn)用探究面積的方法來研究“圓的面積”計(jì)算方法。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師讓學(xué)生會(huì)思考，愿意思考，讓他們的思維真正參與其中是關(guān)鍵因素。面積板塊的教學(xué)，是讓學(xué)生通過對(duì)已知與未知的比較和聯(lián)系，初步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想方法；通過梯形、多邊形面積的學(xué)習(xí)，掌握對(duì)轉(zhuǎn)化思想方法的熟練運(yùn)用；通過圓的面積自主推導(dǎo)，遇到問題，善于思考知識(shí)間的聯(lián)系，運(yùn)用已學(xué)的方法來解決問題。最終讓學(xué)生在積極的思維參與中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心，學(xué)生這種積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的思考思維有利于達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解和融會(huì)貫通。所以“思維經(jīng)驗(yàn)”的積累，不僅在于思考知識(shí)的“聯(lián)”，還在于對(duì)方法的靈活運(yùn)用。

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[3]李蘭瑛.在問題解決過程中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)[J].江蘇教育，2014（11）.

（浙江省湖州市織里實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 313000

浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) 313000）